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1、1,第十章 压杆稳定,101 压杆稳定的概念,粗短压杆强度破坏低碳钢短柱:屈服破坏;铸铁短柱:断裂破坏;细长压杆失稳破坏,2,3,桁架结构,4,失稳破坏,5,在工程实际中,为了保证构件或结构物能够安全可靠地工作,构件除了满足强度、刚度条件外,还必须满足稳定性的要求。,稳定性:指构件或体系保持其原有平衡状态的能力。失稳:指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性,由稳定平衡状态转变为不稳定状态。,6,平衡的三种状态:体系受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡状态,当干扰消除后,它能够恢复到原有的平衡状态,则原有平衡状态称为稳定平衡状态。当干扰消除后,它不能够恢复到原有的平衡状态,且趋向于远离原有的平衡状态
2、,则原有平衡状态称为不稳定平衡状态。当干扰消除后,它不能够恢复到原有的平衡状态,但能够在新的状态维持平衡,则原有平衡状态称为随遇平衡状态。,7,平衡的三种状态,随遇平衡状态,稳定平衡状态,不稳定平衡状态,8,稳定平衡状态,不稳定平衡状态,干扰力,9,临界平衡状态:压杆处于稳定平衡与不稳定平衡 之间的临界状态。两重性既可在直线状态保持平衡,又可 在微弯状态维持平衡。临界(压)力:压杆处于临界平衡状态时所受的 轴向压力。,Fcr,或 使压杆保持直线状态平衡的最大 轴向压力。或 使压杆失稳的最小轴向压力。,10,其它形式的构件也存在稳定性问题:,浅拱失稳,薄壁容器失稳,薄壁杆件弯扭屈曲,11,102
3、 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式,假设理想压杆处于临界平衡状态的微弯状态,材料处于线弹性范围。距离原点x处截面m的挠度为y=f(x)。,12,由图(b)所示隔离体的平衡可知:,则挠曲线近似微分方程为:,而,令,则,13,微分方程的解:,边界条件:,14,由于临界力Fcr是使压杆失稳的最小压力,故n应取不为零的最小值,即取n=1。,上式即为两端铰支细长压杆临界力Fcr的计算公式,由欧拉(L.Euler)于1744年首先导出,所以通常称为欧拉公式。应该注意,压杆的弯曲是在其弯曲刚度最小的平面内发生,因此欧拉公式中的I应该是截面的最小形心主惯性矩。,欧拉公式,15,在临界荷载Fcr作用下,,16,
4、对于各种支承情况的理想压杆,其临界力的欧拉公式可写成统一的形式:,式中 称为长度系数,与杆端的约束情况有关。l 称为计算长度;代表压杆失稳时挠曲线上两拐点之间的长度。,17,表101 各种支承条件下细长压杆的临界力,18,一、欧拉公式的应用范围,104 欧拉公式的应用范围临界应力总图,实验表明:粗短压杆没有失稳现象;中等长度的压杆失稳时的临界力,与欧拉公式计算的临界力并不符合;细长压杆失稳时的临界力,可以用欧拉公式来计算。临界应力cr:为量化欧拉公式的适用范围,定义临界力Fcr除以压杆横截面面积A为临界应力。,19,则,引入压杆长细比或柔度:,式中 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。,挠曲线的近
5、似微分方程建立在胡克定律基础上,因此只有材料在线弹性范围内工作时,即只有crp时,欧拉公式才能适用。,20,欧拉临界应力曲线,通常称p的压杆为大柔度杆或细长压杆。,欧拉公式的应用范围:,21,例如对于Q235钢,E=206GPa,p=200MPa,,故对于Q235钢压杆,欧拉公式的适用范围为100。,例题151 图示各杆均为圆截面细长压杆(p),已知各杆所用的材料和截面均相同,各杆的长度如下图所示,问哪根杆能够承受的压力最大?哪根能够承受的压力最小?,22,23,解:比较各杆的承载能力只需比较各杆的临界力,因为各杆均为细长杆,所以都可以用欧拉公式计算临界力。,由于各杆的材料和截面都相同,因此只
6、需比较各杆的计算长度l 即可。杆a:l=2a=2a 杆b:l=11.3a=1.3a 杆c:l=0.71.6a=1.12a 杆d:l=0.52a=a临界力与l 的平方成反比,所以杆d能够承受的压力最大,杆a能够承受的压力最小。,24,例题102 图示压杆用30304等边角钢制成,已知杆长l=0.5m,材料为Q235钢,试求该压杆的临界力。,25,解:首先计算压杆的柔度。要注意截面的最小惯性半径为对y0轴的惯性半径 iy0=0.58cm,由此可计算出其柔度(长细比)为:,可见该压杆属于大柔度杆,可以使用欧拉公式计算其临界力。仍要注意截面的最小惯性矩为对y0轴的惯性矩 Iy0=0.77cm4,由此可
7、计算出该压杆的临界力为:,26,例题 10-3 图示一矩形截面的细长压杆,其两端用柱形铰与其它构件相连接。压杆的材料为Q235钢,E=210GPa。(1)若l=2.3m,b=40mm,h=60mm,试求其临界力;(2)试确定截面尺寸b和h的合理关系。,27,解:(1)若压杆在xy平面内失稳,则杆端约束条件为两端铰支,长度系数1=1,惯性半径,若压杆在xz平面内失稳,则杆端约束条件为两端固定,长度系数2=0.5,惯性半径,则柔度,则柔度,28,由于12,因此该杆将在xy平面内失稳。该杆属于细长杆,可用欧拉公式计算其临界力。,(2)若压杆在xy平面内失稳,其临界力为:,29,若压杆在xz平面内失稳
8、,其临界力为:,截面的合理尺寸应使压杆在xy和xz两个平面内具有相同的稳定性,即,由此可得:h=2b,30,二、中、小柔度杆的临界应力,如果压杆的柔度 p,则临界应力cr大于材料的比例极限p,此时欧拉公式不再适用。对于这类压杆,通常采用以试验结果为基础的经验公式来计算其临界应力。,1.直线公式,式中,a和b是与材料力学性能有关的常数,一些常用材料的a和b值见表152。,31,表102 一些常用材料的a、b、p、s值,32,*公式适用范围:临界应力不能大于极限应力(塑 性材料为屈服极限,脆性材料为强度极限)。,满足此条件的杆件称为中柔度杆或中长压杆。,塑性材料:s p,脆性材料:b p,*s的压
9、杆称为小柔度杆或短粗杆,属强度 破坏,其临界应力为极限应力。,33,2.抛物线公式,式中,a 是与材料力学性能有关的常数。,例如钢结构设计规范对小柔度杆提出了如下抛物线型近似公式:,式中,f 为钢材的强度设计值;1为与构件截面类型有关的系数;fy为钢材的屈服强度。,34,三、压杆的临界应力总图,压杆的临界应力总图:压杆的临界应力cr与柔度之间的关系曲线。,直线型经验公式的压杆临界应力总图,(1)大柔度杆:p,crp,按欧拉公式计算;(2)中柔度杆:sp,按直线型经验公式计算;(3)小柔度杆:s,cr=u,按强度问题处理。,35,抛物线型经验公式的压杆临界应力总图,(1)当c时,压杆的临界应力c
10、rc,可按欧拉公式计算;(2)当c时,压杆的临界应力按抛物线经验公式计算。,36,稳定许用应力:,105 压杆的稳定计算,一、压杆的稳定许用应力、折减系数,式中nst为稳定安全系数,通常nst随着柔度的增大而增大。稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一般钢构件,其强度安全系数规定为1.41.7,而稳定安全系数规定为1.52.2,甚至更大。,37,折减系数或稳定系数:,是的函数,即=(),其值在01之间。,二、压杆的稳定条件,即 或,压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力cr。,38,稳定性计算主要解决三方面的问题:(1)稳定性校核;(2)选择截面;(3)确定许用荷载。,注意:截面的局
11、部削弱对整个杆件的稳定性影响不大,因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面积计算。压杆的折减系数(或柔度)受截面形状和尺寸的影响,通常采用试算法求解。,39,例题 104 图示结构由两根材料和直径均相同的圆杆组成,杆的材料为Q235钢,已知h=0.4m,直径d=20mm,材料的强度许用应力=170MPa,荷载F=15kN,试校核两杆的稳定性。,例题154图,40,解:为校核两杆的稳定性,首先需要计算每根杆所承受的压力,为此考虑结点A的平衡,其平衡方程为:,由此解得两杆所受的压力分别为:FN1=0.896F=13.44 kNFN2=0.732F=10.98 kN,41,查表103,并插值可得两杆的折
12、减系数分别为,两杆的长度分别为:l1=h/sin45=0.566 m l2=h/sin30=0.8 m两杆的柔度分别为:,42,故两杆均满足稳定条件。,对两杆分别进行稳定性校核:,43,例题 105 图示两端铰支的钢柱,已知长度l=2m,承受轴向压力F=500kN,试选择工字钢截面,材料的许用应力=160MPa。,例题155图,44,解:由稳定条件不能同时确定两个未知量A与,因此必须采用试算法。(1)第一次试算:假设=0.5,由稳定条件有:,查型钢表,试选28b号工字钢,其横截面面积为,最小惯性半径为,于是,查折减系数表得,由于 与 相差较大,因此必须进行第二次试算。,45,根据稳定条件有:,
13、(2)第二次试算:假设,再选25a号工字钢,其横截面面积为,最小惯性半径为,于是:,查折减系数表并插值,由于 与 仍相差较大,故还需进行第三次试算。,46,根据稳定条件有:,(3)第三次试算:假设,再选22b号工字钢,其横截面面积为,最小惯性半径为,于是:,47,此时 与 已经相差不大,可以进行稳定校核。,最后选定22b号工字钢。,48,例题106 图示托架中的AB杆为16号工字钢,CD杆由两根506等边角钢组成。已知l=2m,h=1.5m,材料为Q235钢,其许用应力=160 MPa,试求该托架的许用荷载F。,49,解:首先考虑AB杆的平衡(图a),1.由CD杆的稳定性确定许用荷载,50,由此可得:,2.由AB杆的强度确定许用荷载 AB杆为拉弯组合受力状态,其弯矩图和轴力图分别如图b和图c所示。可见C左侧截面为危险截面,由此可以建立强度条件。,51,通过比较1和2可知,该托架的许用荷载为F=18.9kN。,