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1、1,第十章 压杆稳定,101 压杆稳定的概念,粗短压杆强度破坏低碳钢短柱：屈服破坏；铸铁短柱：断裂破坏；细长压杆失稳破坏,2,3,桁架结构,4,失稳破坏,5,在工程实际中，为了保证构件或结构物能够安全可靠地工作，构件除了满足强度、刚度条件外，还必须满足稳定性的要求。,稳定性：指构件或体系保持其原有平衡状态的能力。失稳：指构件或体系丧失原始平衡状态的稳定性，由稳定平衡状态转变为不稳定状态。,6,平衡的三种状态：体系受到微小干扰而稍微偏离它原有的平衡状态，当干扰消除后，它能够恢复到原有的平衡状态，则原有平衡状态称为稳定平衡状态。当干扰消除后，它不能够恢复到原有的平衡状态，且趋向于远离原有的平衡状态
2、，则原有平衡状态称为不稳定平衡状态。当干扰消除后，它不能够恢复到原有的平衡状态，但能够在新的状态维持平衡，则原有平衡状态称为随遇平衡状态。,7,平衡的三种状态,随遇平衡状态,稳定平衡状态,不稳定平衡状态,8,稳定平衡状态,不稳定平衡状态,干扰力,9,临界平衡状态：压杆处于稳定平衡与不稳定平衡 之间的临界状态。两重性既可在直线状态保持平衡，又可 在微弯状态维持平衡。临界（压）力：压杆处于临界平衡状态时所受的 轴向压力。,Fcr,或 使压杆保持直线状态平衡的最大 轴向压力。或 使压杆失稳的最小轴向压力。,10,其它形式的构件也存在稳定性问题：,浅拱失稳,薄壁容器失稳,薄壁杆件弯扭屈曲,11,102
3、 两端铰支细长压杆临界力的欧拉公式,假设理想压杆处于临界平衡状态的微弯状态，材料处于线弹性范围。距离原点x处截面m的挠度为y=f(x)。,12,由图(b)所示隔离体的平衡可知：,则挠曲线近似微分方程为：,而,令,则,13,微分方程的解：,边界条件：,14,由于临界力Fcr是使压杆失稳的最小压力，故n应取不为零的最小值，即取n=1。,上式即为两端铰支细长压杆临界力Fcr的计算公式，由欧拉（L.Euler）于1744年首先导出，所以通常称为欧拉公式。应该注意，压杆的弯曲是在其弯曲刚度最小的平面内发生，因此欧拉公式中的I应该是截面的最小形心主惯性矩。,欧拉公式,15,在临界荷载Fcr作用下，,16,
4、对于各种支承情况的理想压杆，其临界力的欧拉公式可写成统一的形式：,式中 称为长度系数，与杆端的约束情况有关。l 称为计算长度；代表压杆失稳时挠曲线上两拐点之间的长度。,17,表101 各种支承条件下细长压杆的临界力,18,一、欧拉公式的应用范围,104 欧拉公式的应用范围临界应力总图,实验表明：粗短压杆没有失稳现象；中等长度的压杆失稳时的临界力，与欧拉公式计算的临界力并不符合；细长压杆失稳时的临界力，可以用欧拉公式来计算。临界应力cr：为量化欧拉公式的适用范围，定义临界力Fcr除以压杆横截面面积A为临界应力。,19,则,引入压杆长细比或柔度：,式中 为压杆横截面对中性轴的惯性半径。,挠曲线的近
5、似微分方程建立在胡克定律基础上，因此只有材料在线弹性范围内工作时，即只有crp时，欧拉公式才能适用。,20,欧拉临界应力曲线,通常称p的压杆为大柔度杆或细长压杆。,欧拉公式的应用范围：,21,例如对于Q235钢，E=206GPa，p=200MPa，,故对于Q235钢压杆，欧拉公式的适用范围为100。,例题151 图示各杆均为圆截面细长压杆(p)，已知各杆所用的材料和截面均相同，各杆的长度如下图所示，问哪根杆能够承受的压力最大？哪根能够承受的压力最小？,22,23,解：比较各杆的承载能力只需比较各杆的临界力，因为各杆均为细长杆，所以都可以用欧拉公式计算临界力。,由于各杆的材料和截面都相同，因此只
6、需比较各杆的计算长度l 即可。杆a：l=2a=2a 杆b：l=11.3a=1.3a 杆c：l=0.71.6a=1.12a 杆d：l=0.52a=a临界力与l 的平方成反比，所以杆d能够承受的压力最大，杆a能够承受的压力最小。,24,例题102 图示压杆用30304等边角钢制成，已知杆长l=0.5m，材料为Q235钢，试求该压杆的临界力。,25,解：首先计算压杆的柔度。要注意截面的最小惯性半径为对y0轴的惯性半径 iy0=0.58cm，由此可计算出其柔度（长细比）为：,可见该压杆属于大柔度杆，可以使用欧拉公式计算其临界力。仍要注意截面的最小惯性矩为对y0轴的惯性矩 Iy0=0.77cm4，由此可
7、计算出该压杆的临界力为：,26,例题 10-3 图示一矩形截面的细长压杆，其两端用柱形铰与其它构件相连接。压杆的材料为Q235钢，E=210GPa。(1)若l=2.3m，b=40mm，h=60mm，试求其临界力；(2)试确定截面尺寸b和h的合理关系。,27,解：(1)若压杆在xy平面内失稳，则杆端约束条件为两端铰支，长度系数1=1，惯性半径,若压杆在xz平面内失稳，则杆端约束条件为两端固定，长度系数2=0.5，惯性半径,则柔度,则柔度,28,由于12，因此该杆将在xy平面内失稳。该杆属于细长杆，可用欧拉公式计算其临界力。,(2)若压杆在xy平面内失稳，其临界力为：,29,若压杆在xz平面内失稳
8、，其临界力为：,截面的合理尺寸应使压杆在xy和xz两个平面内具有相同的稳定性，即,由此可得：h=2b,30,二、中、小柔度杆的临界应力,如果压杆的柔度 p，则临界应力cr大于材料的比例极限p，此时欧拉公式不再适用。对于这类压杆，通常采用以试验结果为基础的经验公式来计算其临界应力。,1.直线公式,式中，a和b是与材料力学性能有关的常数，一些常用材料的a和b值见表152。,31,表102 一些常用材料的a、b、p、s值,32,*公式适用范围：临界应力不能大于极限应力（塑 性材料为屈服极限，脆性材料为强度极限）。,满足此条件的杆件称为中柔度杆或中长压杆。,塑性材料：s p,脆性材料：b p,*s的压
9、杆称为小柔度杆或短粗杆，属强度 破坏，其临界应力为极限应力。,33,2.抛物线公式,式中，a 是与材料力学性能有关的常数。,例如钢结构设计规范对小柔度杆提出了如下抛物线型近似公式：,式中，f 为钢材的强度设计值；1为与构件截面类型有关的系数；fy为钢材的屈服强度。,34,三、压杆的临界应力总图,压杆的临界应力总图：压杆的临界应力cr与柔度之间的关系曲线。,直线型经验公式的压杆临界应力总图,(1)大柔度杆：p，crp，按欧拉公式计算；(2)中柔度杆：sp，按直线型经验公式计算；(3)小柔度杆：s，cr=u，按强度问题处理。,35,抛物线型经验公式的压杆临界应力总图,(1)当c时，压杆的临界应力c
10、rc，可按欧拉公式计算；(2)当c时，压杆的临界应力按抛物线经验公式计算。,36,稳定许用应力：,105 压杆的稳定计算,一、压杆的稳定许用应力、折减系数,式中nst为稳定安全系数，通常nst随着柔度的增大而增大。稳定安全系数一般比强度安全系数要大些。例如对于一般钢构件，其强度安全系数规定为1.41.7，而稳定安全系数规定为1.52.2，甚至更大。,37,折减系数或稳定系数：,是的函数，即=()，其值在01之间。,二、压杆的稳定条件,即 或,压杆的实际工作应力不能超过稳定许用应力cr。,38,稳定性计算主要解决三方面的问题：(1)稳定性校核；(2)选择截面；(3)确定许用荷载。,注意：截面的局
11、部削弱对整个杆件的稳定性影响不大，因此在稳定计算中横截面面积一般取毛面积计算。压杆的折减系数（或柔度）受截面形状和尺寸的影响，通常采用试算法求解。,39,例题 104 图示结构由两根材料和直径均相同的圆杆组成，杆的材料为Q235钢，已知h=0.4m，直径d=20mm，材料的强度许用应力=170MPa，荷载F=15kN，试校核两杆的稳定性。,例题154图,40,解：为校核两杆的稳定性，首先需要计算每根杆所承受的压力，为此考虑结点A的平衡，其平衡方程为：,由此解得两杆所受的压力分别为：FN1=0.896F=13.44 kNFN2=0.732F=10.98 kN,41,查表103，并插值可得两杆的折
12、减系数分别为,两杆的长度分别为：l1=h/sin45=0.566 m l2=h/sin30=0.8 m两杆的柔度分别为：,42,故两杆均满足稳定条件。,对两杆分别进行稳定性校核：,43,例题 105 图示两端铰支的钢柱，已知长度l=2m，承受轴向压力F=500kN，试选择工字钢截面，材料的许用应力=160MPa。,例题155图,44,解：由稳定条件不能同时确定两个未知量A与，因此必须采用试算法。（1）第一次试算：假设=0.5，由稳定条件有：,查型钢表，试选28b号工字钢，其横截面面积为，最小惯性半径为，于是,查折减系数表得，由于 与 相差较大，因此必须进行第二次试算。,45,根据稳定条件有：,
13、（2）第二次试算：假设,再选25a号工字钢，其横截面面积为，最小惯性半径为，于是：,查折减系数表并插值,由于 与 仍相差较大，故还需进行第三次试算。,46,根据稳定条件有：,（3）第三次试算：假设,再选22b号工字钢，其横截面面积为，最小惯性半径为，于是：,47,此时 与 已经相差不大，可以进行稳定校核。,最后选定22b号工字钢。,48,例题106 图示托架中的AB杆为16号工字钢，CD杆由两根506等边角钢组成。已知l=2m，h=1.5m，材料为Q235钢，其许用应力=160 MPa，试求该托架的许用荷载F。,49,解：首先考虑AB杆的平衡（图a）,1.由CD杆的稳定性确定许用荷载,50,由此可得：,2.由AB杆的强度确定许用荷载 AB杆为拉弯组合受力状态，其弯矩图和轴力图分别如图b和图c所示。可见C左侧截面为危险截面，由此可以建立强度条件。,51,通过比较1和2可知，该托架的许用荷载为F=18.9kN。,
