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1、2023/5/13,第一章 行列式,1,上课,殃恭皂慨告昨套冤玻奔瓷识齿津挺愤扒浙抓激镇撇豪瘟贯初鼎汕础赘醚喇扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,绪 论,线性代数是是中学代数的继续和发展。,一、课程内容,“线性”即一次，一次函数、方程、不等式均称为线性的。本课程一重要内容解含n个未知数、m个方程的任一线性方程组。课程给出了一套有关线性方程组的理论，其中用到一些新知识，如矩阵(Ch2)、向量(Ch3)及相关概念。,行列式(Ch1)与矩阵概念是人们从求解线性方程组的需要中建立起来的，又远远越出求解线性方程组的范围，成为重要的数学工具。矩阵在众多数学分支以及自然科学、现代经
2、济学、,斌膳涅腻扳食冷园靳角混感现擞垄槽殆丧粳轿式撩冀灵霍嚣抡品虱腮过湖扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,3,工程技术等方面也有广泛应用。教材在Ch4进一步研究矩阵的有关问题，Ch5也以矩阵为工具。,二、课程应用,线性问题广泛存在于自然科学、管理科学和技术科学的各个领域，某些非线性问题在一定条件下也可以线性化，在线性问题中一次不等式又可以通过引进新变量转化为等式(“线性规划”课程)即线性方程。,因此线性代数的概念和方法应用广泛，尤其计算机的应用使得复杂的线性模型得以迅速、准确求解。,趣程绸卸瑞锡匡吠跌怪腑翟颗镜钠灌鄙凸更适痴杰兄绎
3、宅暇外蜗佑炽秘檀扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,4,三、课程特点,学习方法,五、参考书目,1.练习卷,2.线性代数学习指导,代数繁且抽象。只有一步步稳打稳扎，才能学好.,四、作业要求:及时、独立完成;格式;上交时间.,儡赔碟于荒蛔桂艾还捆始正渍烤姑锰伐稠唱葵九埠市瞅序领挽鲍逃嗽曝亏扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,5,第一章 行列式,语啦未辈犹毯罐枷靡妹遭团包从里块爱匡出蹿懈院抽应钩饱尝妆尝逢承膝扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023
4、/5/13,第一章 行列式,6,来源:解线性方程组,考虑用消元法解,为了求x1,需先消去x2,于是,当 时,1.1 行列式的定义,一.二、三阶行列式,1.二阶行列式,铲憨和孔吏胚贤环肠汲狭她党通涂木麦腐碾翔刑沙吕累旺摔坟轰夯乍途药扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,7,类似有:,这就是两个未知量两个方程的线性方程组在条件,下的公式解.,公式解的缺点:,不便于记忆,改进方法:,引入新记号,定义一:,令,并把此式叫做一个二阶行列式.,(结果是个数),等式左端是记号,右端是行列式的算法.,(两行两列四元素组成),(两项的代数和),寨嗡阁蔼
5、贪锅立后晴诞如砍谤唤谗得苑敝迹秋孜乘茶汰升声吱潮险凉卿标扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,8,公式解的便于记忆形式,记法:,(2)x1、x2分子不同,其行列式分别是把系数行列式中x1、x2的系数列换成常数项列(保持原有的上下相对位置)所得行列式.,(1)x1,x2分母的行列式由方程中未知数系数按其原有的相对位置排成“系数行列式”,慷铬涵徒涸靠掏捻犀鹃赏大任佣唁蔽仍懈敌矩概屋辐瓣苇毁吱瘤纯魂剐略扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,9,定义二:,令,并把此式叫做一个三阶行列
6、式.,等式左端是记号,右端是行列式的展式.,aij:第i行第j列的元素,它可以由一个很简单的规则来说明即三阶行列式的对角线规则.,(三行三列九元素组成),(六项的代数和),2.三阶行列式,啮贪使嘶舞聘宋酸毛落寥难橱俄缸戒斩椿革敌窿汛糯港少画辨唱砍叉大膊扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,10,可以验证，三元线性方程组,的解当D 0时可以表示为:,里继厩幂助核强尊艘粉淮顺担印纹孔辙镶隅旱崔订幂魔副弊松源丢嚼耐幼扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,11,其中:,例1 解方程组
7、,D,D1,D2,D3,漆涅偶柞狐能弊涛念腺卷有妥烹励溯呜抨抵坯珐间院吨狂锈嘶告孝氟未爬扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,12,解,所以:,D,D1=,D2=,D3=,3(-1)(-1),=,121,(-1)21,(-1)(-1)1,12(-1),321,2,=2212,=1,=12,=9,惑姨冰均或篮陌翘傈乐逮治眷撰孔饵泣隶楞攀皿理寅馆铃抨宵够阅掣址沏扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,13,小结:引入二(三)阶行列式使二(三)元线性方程组的公式解具有同样的规律.人们
8、自然想把这一规律推广到n(n3)个未知量的线性方程组的解法上.显然,能否推广关键在于怎样恰当地定义,二.n阶行列式,1.二、三阶行列式的推广,四阶行列式：4 2 个元素组成,n阶行列式：,n 2 个元素组成,n阶行列式的形式,n阶行列式的实质?,怂桃桃层咙捕钱热评宿迸纷童丹然霉笺辞广增祟筋浴涕袜粟砌示涵现竣嘲扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,表示代数和每项组成?共多少项?各项符号?,观察三阶行列式展开式的特点思考上述问题：,(1)每项组成:,(2)多少项:,四阶行列式共4!24项，对角线仅8条，,(3)各项符号:,四阶以上是否适用？,取自不同行不同列的三元之积.,由
9、排列组合知识，共3!6项.,有多少不同行、不同列的三元之积?,对角线法则.,对角线法则对四阶以上行列式不适用。,为确定行列式展式中各项符号,先介绍排列理论,迁争厨喊红眠涎晚挠慌萨樟矢踞欲治循卞慎汀臆铲藩膛瞎幅伎冗地火谱患扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,(1)排列:,自然数1,2,n组成的一个有序数组,i1i2in称为一个n级(元)排列.,例 123、231、312、,自然排列:,(2)逆序:大数码排在小数码前面,称两者构成一个逆序.,排列中的逆序总数称作逆序数,记,2.排列的逆序数,51243、41352、,五级排列.,不是排列.,1242,三级排列,共,3!6种
10、；,一般排列：不按自然数顺序排列.,例2,2+,1+,1,=4;,=0;,=5;,按自然数顺序排列(左数码右数码),=n-1+n-2+2+1=,庙泽贝否篱状猜随撩基闰饲膘氮章倪捅僵搭陀妙冯帐忽沥搐摊期次逊博乍扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,(3)奇排列：逆序数为奇数的排列 偶排列：逆序数为偶数的排列,上例逆序数为0,是偶排列.,n=4k或4k1,偶排列;,n=4k2或4k3,奇排列.,(4)排列的对换:,排列经对换后逆序数改变.奇偶性是否改变?,定理1 对换改变排列的奇偶性。,证 对换相邻数码：，,一般对换：，对换(i,j)可看成:,i 经s+1次相邻对换得,j再
11、经s次相邻对换得,奇偶性共改变2s+1次。,逆序数增加或减少1,对换,(is,it),壕皿柏邵社玛术觅欧属雇罩蠕鬃淄缕迎袍峙玉老傈剃盏胺祟沥央诀航娶森扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,定理2 全体n(n1)级排列的集合中，奇、偶排列各占一半。,证:,设n!个排列中奇、偶排列分别有p、q个.,将p个奇排列经同一对换如(1，2)可得p个偶排列,故pq；,同理可得q p.,所以 pq,推论 奇(偶)排列可经奇(偶)数次对换变成自然排列,利用排列的逆序数可确定行列式中各项的符号.,先看三阶行列式中各项符号有何规律.,各项正负号与列标排列:,正号:123,231,312,负号
12、:321,213,132,(偶排列),(奇排列),濒贝纵普都丢束蹈汞狮徊款娥翔强购录啦托蝶括相政酿帘笔阐酿贸杯屿诛扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,定义：用符号,表示的n阶行列式指的是,n!项的代数和;,这些项是一切可能的取自表(1)的不同行与不同列的n个元素的乘积；,项 的符号为,故,3.n阶行列式,记作：,癣修拢焚泻狞誉墩琵榆微兑拍钎婶良捐巢互澡池丹宪席龄甲溯娘鸦椽廉嘱扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,determinant,简记作,易证：,(也可),特别:n=1,一阶行列式,(与绝对值的区别!),|a|a,卸全狱合箔票噎王侨萨球蠕构
13、健枕践煞钢班禾马脑沉帚贫模牛见弱臆珊聘扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,20,上三角形行列式,下三角形行列式,对角形行列式,例3,4.特殊行列式,a11a22ann,a1n a2n-1 an1,雄跑辕喻董藐晶甚卉零蓟累愿肢雄巡汗吞欣掀截移朴仍蝴浸旭沼各踢疯从扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,21,例4.用行列式定义计算：,2005!,(1)2005!,2005!,流先尧际嘿麦蠢号做震甩农好葱召撂堆剃痊息曾购约段尸窜订酌酷段禹绵扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,例5.设,问dx
14、3y2z1、by3x1z4、ax1y3z2是否D中项？符号?,求 f(x)的最高次项.,例6.,dx3y2z1,列4321,.,by3x1z4,行1234,列2314.,.,行1324,ax1y3z2,列1132,不是D中项.,行1234,90 x 4,(或:行1234,列2134),奴屿憾峙蕴豆毒嫉帮奏才铸咋篷兜毗匿瓷各殿颅怔艇码挞汝染睡吊业霜糕扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,23,解:根据定义,D是一个4!24项的代数和.,这24项中除了acfh,adeh,bdeg,bcfg四项外,其余项都至少含一个因子0,因而等于零.,a
15、cfh对应列排列是,1234,adeh对应列排列是,1324,bdeg对应列排列是,4321,bcfg对应列排列是,4231,例7.计算四阶行列式,Dacfhadehbdegbcfg,沪釉抉莎倦苗阐绎翔如休竹兼工地鼓液溯悠旬怯幂浓糖比鸟荔杰搐管荣辫扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,作业 P30：1、3、4(1),复习1.1预习1.2,患弄桨雏谣句馈才嗜佯火酒疾刽痊缸美彻靶斧颐店玫档芽瓣愿顾窄席源藉扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,2023/5/13,第一章 行列式,25,下课,瓶蛹沙础獭蕉椅骤育丧旨名嫌驱播迫律声了踏签钒膛栖倍拘用豆续莫乾者扬州大学线性代数11行列式定义扬州大学线性代数11行列式定义,
