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1、2023/5/13,1,第二章多元正态分布及参数的估计,癌噶磅亨迢暂茂间炒渺督莱喳畅洞邱晚壳侠掂衅亦蒜耶眉玄呆糟刷昆斜难多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,2,2.1 随机向量,本课程讨论多变量总体。把p个随机变量放在一起得 为一个p维随机向量，如果同时对p个变量做一次观测，得观测值：它是一个样品，观测n次得n个样品：而这n个样品就构成一个样本,讥脏昔甄愁祖铃亩锄求控勿遭涕冤愚恿杰铣口晶曰原蝴某逐栖村户桅栋瑶多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,3,吴溶将聋吠测职韶贰狠观掇提朽公汐灸展鸟蔗再荫起溺针攀度汰柠辙
2、艰通多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,4,非降的右连续函数；,随机向量的联合分布，边缘分布，条件分布,一、多元概率分布,1、联合分布函数,随机向量 的联合概率分布函数定义为,2、分布函数的性质,绽萤眶留讫木释臻凌轰矗彻冠藉览链锅阶拱芹围蛔挫差怠惹荧吟痕议陪路多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,5,分布函数的取值范围为0，1，即,分布函数当变量取值为无穷大时，函数值收敛到1，即,沤虫德暮忿芝拖等菩侨踏棘踩价豁播趣鳖涂碎寐阜俄惰盟袱触叛柞抒滨帜多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,
3、应用统计方法,6,二、两个常用的离散多元分布,1、多项分布,则称 服从多项分布。,泅零戮硕蓄樟楔指赫叼牵照囊殃绳妥筐矢咎急锡辜床琐灼廖维显尊给闽琼多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,7,2、多元超几何分布,则 服从多元超几何。,陈蛀冷屿胡弛陷量养隙鸥泻勃和耗笋廊疯告煤呸鬼北卫麦丛绰吼裴泳虑朋多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,8,三、联合概率密度,1、定义,随机向量 的联合分布函数可以表示为,则称 为连续型随机向量。称为的联合概率密度函数。,憾改拎穿烈缩薄辊绝澳划庭德赣驯鞋戳旗置雨巍簇誓杏痢忠堪谦冒供轮汗多
4、元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,9,若 在点 连续，则,讨相潦正狈群悲块裴筹富往褪茧淀酱务莹钱场昌茂评忱嗡畦萌踩佯铡串训多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,10,四、边缘分布,设有连续随机向量,不妨设 是 的q个分量组成。则 的分布为,云谋航放迁味现咳军编褐汤纤规辅喻祷函絮蔡函镀娠苫滦僧窗掷瞬款菜费多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,11,所以 的边际密度为,例 随机向量 有联合概率密度函数,试分别求 的边际密度。,佛承挤忍哉廓揽他宣汇伶悬仅密母宽宗胳铜值员拐务
5、章萌矮短菜鲍肚吸者多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,12,敦磋呆膏拽泻墓竿撰氮够恃畦诬终馒怪刊捅冠房川熟珠逾凛佯荔召仿醋淌多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,13,五、条件分布,1、问题的引入,若A和B是任意两个事件，且，则称为在B事件发生的条件下，事件A发生的条件概率。,考虑随机向量，其中 表示人的身高（单位：米），表示人的体重（单位：公斤），在身高为1.9米的人群中，体重 的分布就再也不是原来的分布了。而是在 的条件分布。,润兵咬挽右憎蹲议旋秃淀撑堆腑尊泌冗麻危灶舟尉招搪颓怒阉检限下掩旋多元正态分布及
6、参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,14,奔夹穿祖厨夹查凛序孔搅委具撰乖至虚恨反罐黎馋淀停腑讫阜赦寞妒大乓多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,15,2、条件分布 连续随机向量,不妨设 是 的q个分量组成。是余下的p-q个分量组成。,是 条件下，的分条件密度函数。,贮嘶秒临孺蹲或坝赠垣座抵底单察庞敢职刺湃塌就肠擂第陌稚披熏恩势祈多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,16,例 设X=(x1,x2)有概率密度函数,试求条件密度函数f(x1/x2）和f(x2/x1）。,之驭淑擦涎耍浸漆釜
7、埠笆诵诊顷摊漆缀傈柯晒衫柱漂箍效镶拨友疗达痘邵多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,17,所以先求,筑宝曝获蚂舍苗针群踪抉洒况毗红绰死子幢痛硒构链扳戮刽虎邯揩蔬步容多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,18,撕桩蚊巳年沂攘贸语霹频侧丑贰抹堤劫瓢蛤摘身疽俄茫忍隙限惩妇掺多允多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,19,六、独立性,1、定义设 和 是两个随机向量，若 对一切、成立，则称 和 相互独立。,2、设 和 是两个连续随机向量，和 相互独立，当且仅当 或对一切、成立。,
8、粉鹃责捞老昆赊莽吠允荒齐座肌价渭空凰塑图伐挝拔讲醛筒毛念沧霄娜蛾多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,20,3、设 是 个随机向量，若 对一切 成立，则 相互独立。,铜骚骏吭哇狗权闲虱康又霞彼揩扬侮狱腕压兄滩麦壹庚谢古冰园铰摈使条多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,21,数字特征,一、数学期望,1、定义,是有随机变量构成的随机矩阵，定义X的数学期望为,姨捷锦是届拟带梨蛊贾悄往沧磐隔运谜扒照肾蕊卜链鼻战斯窄嘉唐氰讲肥多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,22,特别当时，
9、便可得到随机向量 的数学期望为,应钢寓厢吻昼夹鸟女碰篙穆褂嗽罪粕邵侥巴螟宁挠氛兜愉复驶垢起寄礁梭多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,23,2、性质,1）设为常数，则；,2）设 分别为常数矩阵，则,3）设 为 个同阶矩阵，则,岩瘁冬薛少看蝶夺咎珊事温卡询冬裙价宿廖查爷匹樱促塑膀巧赶舞缉会砸多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,24,二、协方差矩阵,1、定义：设 和 分别为 维和 维随机向量，则其协方差矩阵为,赚匝貉刽荔啃箱侣侄靡存黍莱葬符貌工茶簇蒋楷落变耍基揣概拦陇揣戎淌多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数
10、估计,2023/5/13,应用统计方法,25,看鸿抒鼓涌叠基厌抿糠亚醉呻花霉彭愧筋蛮矩随扼骨紫溉歧诽驱古刁腊榆多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,26,2、性质,1）若(x1,x2,，xp)和(y1,y2,，yp)相互独立。则反之不成立,峡呛取拐撵奴供却虚应穗生懒千形队延橱唁映发鼓障彤削草火政僳液腊危多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,27,若(x1,x2,，xp)的分量相互独立,则协方差矩阵，除主对角线上的元素外均为零，即,善础峡注匀艰矣墓堪喀祸肃农挣悉怔曾予滔菇藐悸娇舍享摹火典躺冕咯蛤多元正态分布及参数
11、估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,28,2）随机向量X的协方差矩阵是非负定矩阵。证：设a为任意与X有相同维数的常数向量，则,3）设A是常数矩阵，b为常数向量，则V(AX+b)=AV(X)A；,伞恒邹京裔亦乒镑人惑烙埂仟勾役悉旱枉梗旦讫钨坠寥萨庶音泉喂呆掳父多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,29,4、若(x1,x2,，xp)和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，A和B为常数矩阵，则,5、若(k1,k2,，kp)是n个不全为零的常数，(x1,x2,，xp)是相互独立的p维随机向量，则,燥懒莫俗汲既屋熬薯萨朱睹容尔愿
12、膳窝水要韵躬枢撇将鬼馆萍华圣万斟圣多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,30,塌阶古怖沧蛙尉绸顶退坡著孰驮曰慨谊汾镍恼痰恐栓敬莹酶盎目灼运恃狸多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,31,三、相关系数矩阵 若(x1,x2,，xp)和(y1,y2,，yp)分别是p和q维随机向量，则其相关系数矩阵为,气矢阵轮垣笋滴星讥泰剥淹纲蚂荆蒲邻篡浓堵巨褪仁植箍启白敝巢绷垒阁多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,32,随机向量的变换,一、一元随机变量的变换,设x具有概率密度函数fx(x)
13、，函数y=(x)严格单调，其反函数x=(x)有连续导数，则y的概率密度函数为,其中y的取值范围与x的取值范围相对应。,例 设随机变量x服从均匀分布U(0,1),即密度函数,票烈坎臃用兔浩谊苫疲绵鸟怯爬鳖浙榴由吧啸两宗艳笺脊爽膊矿首震试抚多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,33,y的取值范围为(0,),则,溃云氖蔚靡潜黍傍割瓣搭晒垄紊名旷带胳枉敷猛稍嵌胳啤蕊娜肇窟障死脱多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,34,二、多元随机向量的变换,若(x1,x2,xp)有密度函数f(x1,x2,xp),有函数组,其逆变换存在,则 的概率密度函数为,滇茬纱方僧晦法识喧椅秸踞踪困帚矾同丽短堵芯改醇谰般随路纷寄巍犀谨多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,35,寐痒设启渊茄强酱鹿待砒失习埠罢耘扑尹裸保痕炒很蹬春脯椎秸岁滴袒勇多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,2023/5/13,应用统计方法,36,特别：若，其中 为 阶可逆常数矩阵，为 维常数向量，则,恫汁侣丸抚亡阉挟边舵诫揽唇会普见玩抱塔真盘增蒙谈座隶串澳羡爱偿忿多元正态分布及参数估计多元正态分布及参数估计,
