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1、第四章 数列4.1等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，第n项，.3.通项公式：一般地，如果数列an的第项与序号之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4. 有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5. 无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫做这个数列的递推公式.递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出a1,a2,然后用递推
2、关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用表示 8.等差中项:如果，这三个数成等差数列，那么我们把叫做和的等差中项 二、疑难知识导析1.数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；（2）同一数列中可以出现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集(1，2，3，n)的函数.2.一个数列的通项公式通常不是唯一的.3.数列an的前n项的和Sn与an之间的关系：若a1适合an(n2
3、),则不用分段形式表示，切不可不求a1而直接求an.4.从函数的角度考查等差数列的通项公式：an= a1+(n-1)d=dn+ a1-d, an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点（n,）均匀排列在一条直线上，由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为，若令A，Ba1，则An2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，a1，an，d，n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲例1已知数列1，4，7，10，3n+7,其中后一项比前一项大3.（1）指出这个数列的通项公式；（2）指出1+4+（3
4、n5）是该数列的前几项之和.错解：（1）an=3n+7;(2) 1+4+（3n5）是该数列的前n项之和.错因：误把最后一项（含n的代数式）看成了数列的通项.（1）若令n=1,a1=101,显然3n+7不是它的通项.正解：（1）an=3n2;(2) 1+4+（3n5）是该数列的前n1项的和. 例2 已知数列的前n项之和为 求数列的通项公式。错解： 错因：在对数列概念的理解上，仅注意了anSnSn-1与的关系，没注意a1=S1.正解： 当时， 当时， 经检验 时 也适合， 当时， 当时， 例3 已知等差数列的前n项之和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于 。错解：S30= S102
5、d. d30， S40= S30+d =100.错因：将等差数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等差数列误解为Sm, S2m, S3m成等差数列.正解：由题意：得代入得S40 。例4等差数列、的前n项和为Sn、Tn.若求；错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.错因：误认为正解：例5已知一个等差数列的通项公式an=255n，求数列的前n项和；错解：由an0得n5前5项为非负，从第6项起为负，Sn=a1+a2+a3+a4+a5=50(n5)当n6时，Sn=a6+a7+a8+an Sn=错因：一、把n5理解为n=5，二、把“前n项和”误
6、认为“从n6起”的和.正解： 例6已知一个等差数列的前10项的和是310，前20项的和是1220，由此可以确定求其前项和的公式吗？解：理由如下：由题设： 得： 例7已知： （） （1） 问前多少项之和为最 大？（2）前多少项之和的绝对值最小？ 解：（1） （2） 当近于0时其和绝对值最小 令： 即 1024+ 得： 例8项数是的等差数列，中间两项为是方程的两根，求证此数列的和是方程 的根。 （） 证明：依题意 （获证）。 四、典型习题导练1已知，求及。2设，求证：。3.求和: 4.求和： 5.已知依次成等差数列，求证：依次成等差数列.6.在等差数列中， ，则 （ ）。A72B60C48D367
7、. 已知是等差数列，且满足，则等于_。8.已知数列成等差数列，且，求的值。4.2等比数列的通项与求和一、知识导学1. 等比数列：一般地，如果一个数列从第项起，每一项与它的前一项的比都等于 同 一 个 常 数，那 么 这 个 数 列 就 叫 做 等 比 数 列，这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母表示2. 等比中项：若，成等比数列，则称 为 和 的等比中项3.等比数列的前n项和公式： 二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0，因此q也不为0.2.对于公比q，要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是因为首项没有“前一项”
8、，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这时可以说此数列从. 第2项或第3项起是一个等比数列.4.在已知等比数列的a1和q的前提下，利用通项公式an=a1qn-1,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列中任意两项的前提下，使用an=amqn-m可求等比数列中任意一项.6.等比数列an的通项公式an=a1qn-1可改写为.当q0，且q1时，y=qx是一个指数函数，而是一个不为0的常数与指数函数的积，因此等比数列an的图象是函数的图象上的一群孤立的点.7在解决等比数列问题时，如已知，a1，an，d，n中任意三个，可
9、求其余两个。三、经典例题导讲例1 已知数列的前n项之和Sn=aqn（为非零常数），则为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：（常数）为等比数列，即B。错因：忽略了中隐含条件n1.正解：当n1时，a1=S1aq;当n1时，（常数）但既不是等差数列，也不是等比数列，选C。例2 已知等比数列的前n项和记为Sn，S10=10 ，S30=70，则S40等于.错解：S30= S10q 2. q 27，q， S40= S30q =.错因：是将等比数列中Sm, S2m Sm, S3m S2m成等比数列误解为Sm, S2m, S3m成等比数列.正解：
10、由题意：得，S40=.例3 求和：a+a2+a3+an.错解： a+a2+a3+an.错因：是（1）数列an不一定是等比数列，不能直接套用等比数列前n项和公式（2）用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a0时，a+a2+a3+an0; 当a1时，a+a2+a3+ann;当a1时， a+a2+a3+an.例4设均为非零实数， 求证：成等比数列且公比为。证明：证法一：关于的二次方程有实根， ， 则必有：，即，非零实数成等比数列 设公比为，则，代入 ，即，即。证法二： ，且 非零，。 例5在等比数列中，求该数列前7项之积。 解： ，前七项之积 例6求数列前n项和 解： 两式相减：例7从盛
11、有质量分数为20%的盐水2kg的容器中倒出1kg盐水，然后加入1kg水，以后每次都倒出1kg盐水，然后再加入1kg水，问：(1)第5次倒出的的1kg盐水中含盐多kg？ (2)经6次倒出后，一共倒出多少kg盐？此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少？解：(1)每次倒出的盐的质量所成的数列为an，则： a1= 0.2 （kg）, a2=0.2（kg）, a3= ()20.2（kg） 由此可见：an= ()n-10.2（kg）, a5= ()5-10.2= ()40.2=0.0125（kg）。 (2)由(1)得an是等比数列 a1=0.2 , q= 答：第5次倒出的的1kg盐水中含盐0.01
12、25kg；6次倒出后，一共倒出0.39375kg盐，此时加1kg水后容器内盐水的盐的质量分数为0.003125。四、典型习题导练1.求下列各等比数列的通项公式：1) a1=-2, a3=-82) a1=5, 且2an+1=-3an 3) a1=5, 且2.在等比数列，已知，求. 3.已知无穷数列， 求证：（1）这个数列成等比数列 （2）这个数列中的任一项是它后面第五项的， （3）这个数列的任意两项的积仍在这个数列中。4.设数列为求此数列前项的和。5.已知数列an中，a1=-2且an+1=Sn，求an ,Sn6.是否存在数列an，其前项和Sn组成的数列Sn也是等比数列，且公比相同？7.在等比数列
13、中，求的范围。4.3数列的综合应用一、知识导学1. 数学应用问题的教学已成为中学数学教学与研究的一个重要内容.解答数学应用问题的核心是建立数学模型，有关平均增长率、利率（复利）以及等值增减等实际问题，需利用数列知识建立数学模型.2. 应用题成为热点题型，且有着继续加热的趋势，因为数列在实际生活中应用比较广泛，所以数列应用题占有很重要的位置，解答数列应用题的基本步骤：（1）阅读理解材料，且对材料作适当处理；（2）建立变量关系，将实际问题转化为数列模型；（3）讨论变量性质，挖掘题目的条件，分清该数列是等差数列还是等比数列，是求Sn还是求an.一般情况下，增或减的量是具体体量时，应用等差数列公式；增
14、或减的量是百分数时，应用等比数列公式若是等差数列，则增或减的量就是公差；若是等比数列，则增或减的百分数，加1就是公比q.二、疑难知识导析 1.首项为正（或负）的递减（或递增）的等差数列前n项和的最大（或最小）问题，转化为解不等式解决；2.熟记等差、等比数列的定义，通项公式，前n项和公式，在用等比数列前n项和公式时，勿忘分类讨论思想；3.等差数列中, am=an+ (nm)d, ; 等比数列中，an=amqn-m; 4.当m+n=p+q（m、n、p、q）时，对等差数列an有：am+an=ap+aq；对等比数列an有：aman=apaq；5.若an、bn是等差数列，则kan+bbn(k、b是非零常
15、数)是等差数列；若an、bn是等比数列，则kan、anbn等也是等比数列；6.等差（或等比）数列的“间隔相等的连续等长片断和序列”（如a1+a2+a3,a4+a5+a6,a7+a8+a9）仍是等差（或等比）数列；7.对等差数列an,当项数为2n时，S偶-S奇nd；项数为2n1时，S奇S偶a中（n）；8.若一阶线性递推数列an=kan1+b（k0,k1）,则总可以将其改写变形成如下形式:(n2)，于是可依据等比数列的定义求出其通项公式；三、经典例题导讲例1设是由正数组成的等比数列，Sn是其前n项和.证明：。错解：欲证只需证2即证：由对数函数的单调性，只需证原不等式成立.错因：在利用等比数列前n项
16、和公式时，忽视了q1的情况.正解：欲证只需证2即证：由对数函数的单调性，只需证由已知数列是由正数组成的等比数列，0,.若,则 0；若,原不等式成立.例2 一个球从100米高处自由落下，每次着地后又跳回至原高度的一半落下，当它第10次着地时，共经过了多少米？（精确到1米）错解：因球每次着地后又跳回至原高度的一半，从而每次着地之间经过的路程形成了一公比为的等比数列，又第一次着地时经过了100米，故当它第10次着地时，共经过的路程应为前10项之和.即199（米）错因：忽视了球落地一次的路程有往有返的情况.正解：球第一次着地时经过了100米，从这时到球第二次着地时，一上一下共经过了100（米）因此到球
17、第10次着地时共经过的路程为300（米）答：共经过300米。例3 一对夫妇为了给他们的独生孩子支付将来上大学的费用，从孩子一出生就在每年生日，到银行储蓄a元一年定期，若年利率为r保持不变，且每年到期时存款（含利息）自动转为新的一年定期，当孩子18岁上大学时，将所有存款（含利息）全部取回，则取回的钱的总数为多少？错解：年利率不变，每年到期时的钱数形成一等比数列，那18年时取出的钱数应为以a为首项，公比为1+r的等比数列的第19项，即a19=a(1+r)18.错因：只考虑了孩子出生时存入的a元到18年时的本息，而题目要求是每年都要存入a元.正解：不妨从每年存入的a元到18年时产生的本息 入手考虑，
18、出生时的a元到18年时变为a(1+r)18，1岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)17，2岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)16，17岁生日时的a元到18岁时成为a(1+r)1，a(1+r)18+ a(1+r)17+ + a(1+r)1答：取出的钱的总数为。 例4求数列的前n项和。 解：设数列的通项为an，前n项和为Sn，则 当时， 当时，例5求数列前n项和解：设数列的通项为bn，则 例6设等差数列an的前n项和为Sn，且，求数列an的前n项和 解：取n =1，则又由 可得：例7大楼共n层，现每层指定一人，共n人集中到设在第k层的临时会议室开会，问k如何确定能使n位参加人员上、下楼梯
19、所走的路程总和最短。（假定相邻两层楼梯长相等）解：设相邻两层楼梯长为a，则当n为奇数时，取 S达到最小值当n为偶数时，取 S达到最大值 四、典型习题导练1在1000，2000内能被3整除且被4除余1的整数有多少个？2某城市1991年底人口为500万，人均住房面积为6 m2，如果该城市每年人口平均增长率为1%，每年平均新增住房面积为30万m2，求2000年底该城市人均住房面积为多少m2？(精确到0.01)3已知数列中，是它的前项和，并且， （1） 设，求证数列是等比数列； （2） 设，求证数列是等差数列。4.在ABC中，三边成等差数列，也成等差数列，求证ABC为正三角形。 5 三数成等比数列，若将第三个数减去32，则成等差数列，若再将这等差数列的第二个数减去4，则又成等比数列，求原来三个数。6. 已知 是一次函数，其图象过点 ，又 成等差数列，求的值.13
