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1、第一章 极限与连续代数公式：； ； ；三角公式：同角关系：；倍角关系：；降幂公式：； 一、函数的概念：1、函数的定义域：（1）分式：分母； （2）偶次根式：被开方式；（3）对数式：真数式； （4）、：；2、函数的解析式：3、反函数：函数与反函数：定义域与值域互换；图形关于直线对称4、奇偶性：对任意，若，则为偶函数，偶函数图形关于轴对称；若，则为奇函数，奇函数图形关于原点对称5、整理函数表达式的技巧：（1）有理化：例： ； ；（2）拆分：例：；二、极限：1、极限类型：（1）；（2） 代入法： ； “”型：； 若是多项式的商，则因式分解，约去零因子； 若的分子或分母含无理式，则有理化约去零因子；（
2、3） “”型： 若含三角式，用第一个重要极限（）； 洛必达法则： （亦可用于“型）； 等价代换：时，； “”型： 用第二个重要极限（）；（4）无穷小性质：无穷小有界函数=无穷小；（常见有界函数：、）（5）其它类型：（如夹逼准则等）夹逼准则：若（时）且，则2、无穷小的比较：设，（1）若，则称是比高阶的无穷小，记作，或称是比低阶的无穷小；（2）若，则称与是同阶无穷小；当时，称与是等价无穷小，记作三、连续：1、连续： （ ） 或 ；2、间断点：第一类间断点（可去间断点、跳跃间断点）；第二类间断点（无穷间断点、振荡间断点等）；3、零点定理：设在上连续，且，则至少有一点，使得第二章 导数一、导数基本概念
3、：1、导数定义：特殊地：2、导数的几何意义：切线斜率切线方程：；法线方程：；3、微分定义：4、微分的几何意义：当是曲线的纵坐标的增量时，就是切线的纵坐标对应的增量；5、关系：有定义有极限连续可导可微有切线二、导数和计算：1、公式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）； （7）； （8）；（9）； （10）； （11）； （12）；（13）；（14）；（15）； （16）法则：； ； ； ； 2、高阶导数：，公式：； ；3、隐函数求导：方程两边对求导，只含的项直接求导，只含的项对求导后乘；4、参数方程求导：， ，三、导数的应用：1、函数的单调性、极值：（1）驻点：若，则叫做函数
4、的驻点（又叫稳定点）；（2）单调性：，（1）若，则单调增加；（2）若，则单调减少；（3）极值：（极值点必是驻点或不可导点）第一充分条件：在点处，左增右减，则为极大值；左减右增，则为极小值；第二充分条件：，则为极大值；，则为极小值2、曲线的凹凸性、拐点：（1）凹凸性：，（1）若，则曲线凹；（2）若，则曲线凸；（2）拐点：（拐点必是或不存在的点）在的左右凹凸转变，则点为拐点；3、渐近线：若，则有水平渐近线； 若，则有垂直渐近线；4、最值：（1）求出内所有驻点及不可导点，计算这些点及两端点处的函数值，取其最大、最小值；（2）设变量并写出自变量的范围，列函数关系，求其导数并求驻点，若唯一驻点，则即为所
5、求；5、微分中值定理：（1）罗尔定理：若在上连续；在内可导；，则至少有一点，使得（2）拉格朗日中值定理：若在上连续；在内可导，则至少有一点，使得6、不等式的证明：常用方法：（构造函数）：（1）中值定理：（2）单调性；（3）最值 第三章 不定积分一、不定积分的定义与性质：1、原函数：若（或），则为的一个原函数；2、（或） ；3、或；或；二、不定积分的计算：1、基本积分公式：（1）； （2）； （3）； （4）；（5）； （6）；（7）； （8）；（9）； （10）；（11）； （12）；（13）； （14）.2、不定积分的运算法则：； ；3、积分法：（1）直接积分法：对被积函数进行恒等变形；（2
6、）凑微分法（第一换元法）：；（3）直接换无法（第二换元法）：；根式代换：设；三角代换：含，设； 含，设；含，设；（4）分部积分法：；的选择：优先、；其次；不考虑对数和反三角；*（5）杂例：含绝对值的函数和分段函数的不定积分第四章 定积分一、定积分的几何意义：在上时，（曲边梯形面积）二、定积分的性质性质1 ； ；性质2 ；性质3 如果在区间上，则；性质4 如果在区间上，；性质5 ；性质6 （估值定理） 若在上，则；三、定积分的计算：1、牛顿莱布尼兹公式：2、法则：； ；3、积分法：直接积分法、凑微分法、直接换元法（换元必须换限）、分部积分法4、广义积分：； ； ；四、变上限定积分： 五、定积分的
7、应用：1、平面图形的面积：由，及，()围成：；由，及，()围成：；2、旋转体体积：由，及轴围成的曲边梯形绕轴旋转：；由，及轴围成的曲边梯形绕轴旋转：；第五章 微分方程一、微分方程基本概念微分方程、微分方程的阶、微分方程的解：通解、特解、初始条件二、一阶微分方程1、最简单的一阶微分方程： 解法：两边直接积分2、可分离变量的微分方程： 解法：分离变量法：.3、齐次方程：，解法：作变量代换，则，代入原式化为可分离变量的方程.4、一阶线性微分方程：解法：（1）常数变易法：把相应齐次方程通解中的常数变易为待定函数（2）公式法：三、二阶微分方程：1、二阶常系数齐次线性微分方程：解法：特征方程：，特征根：（
8、1）实根时，方程的通解为：；（2）实根时，方程的通解为：；（3）虚根时，方程的通解为：2、二阶常系数非齐次线性微分方程： 解法：通解相应齐次方程的通解此方程特解（1）时，特解（其中，是与特征根的重根数）（2）时，特解（其中，是与特征根的重根数）四、特殊类（可降阶的高阶微分方程）：1、： 解法：通过次积分即可2、（不显含）：解法：令，则，代入原方程化为一阶方程3、（不显含）：解法：设，则，代入原方程化为一阶方程五、杂类：第六章 级数一、级数的概念与性质：1、级数定义: 、 一般项、 部分和、 部分和数列2、级数的收敛与发散: 若，则收敛, 叫做的和，记作. 若不存在，则发散.3、级数的基本性质：
9、性质1、设两收敛级数,则级数收敛,其和为.收敛发散=发散； 发散发散=不确定（可能收敛也可能发散）.性质2、如果收敛级数,则级数亦收敛，其和为.性质3、级数收敛的必要条件：级数收敛二、正项级数及其审敛法1、比较审敛法：设正项级数和且,若收敛,则收敛；反之，若发散，则发散.2、比较审敛法的极限形式：设与都是正项级数，如果则(1) 当时，二级数有相同的敛散性；(2) 当时，若收敛，则收敛；(3) 当时，若发散，则发散比较审敛法的不便: 须有参考级数.参考级数：（1）几何级数 ； （2）P-级数3、比值审敛法(达朗贝尔DAlembert判别法)：设是正项级数,如果，则时级数收敛；时级数发散； 时失效
10、，级数可能收敛也可能发散.三、交错级数及其审敛法莱布尼茨定理：若交错级数满足条件:()；(),则级数收敛.四、绝对收敛与条件收敛定义：若收敛, 则为绝对收敛；若发散,而收敛, 则为条件收敛.五、幂级数1、 幂级数: 称为的幂级数； 称为 的幂级数；其中为幂级数系数.2、幂级数的收敛性:定理1、若幂级数的所有系数,则收敛半径.收敛域可能有四种情况：，3、幂级数的性质（1）设和的收敛半径为和，则的收敛半径为 ；（2）在收敛区间内可逐项求导， (收敛半径不变)；（3）在收敛区间内可逐项积分， (收敛半径不变).4、函数展开成幂级数 第七章 矢量与空间解析几何一、空间直角坐标系1、概念：原点、坐标轴、
11、坐标面、卦限、点的坐标2、空间两点间的距离： 二、空间向量1、概念：向量的模、单位向量、零向量、基向量； 平行向量、相等向量、相反向量向量的坐标：； 向量的方向角、方向余弦：，2、运算：（1）加减法：设，则平行四边形法则、三角形法则；交换律、结合律（2）数乘向量：设，则； ； 结合律、分配律； 与同向的单位向量（3）向量的数量积：交换律，对加法的分配律，与数乘的结合律； ； ；（4）向量的向量积：；方向：右手法则（与都垂直）反交换律，与数乘的结合律，对向量加法的分配律3、关系：平行：； 垂直：4、投影：向量在上的投影：三、平面方程1、平面的点法式方程：2、平面的一般式方程：， 其法向量为（1）
12、时，平面过原点；（2）时，平面平行于轴；同理，或时，平面分别平行于轴和轴；（3）时，平面平行于面；同理，可讨论和的情况.3、平面的截距式方程： （分别为平面在轴、轴、轴上的截距）4、点到平面的距离公式：点到平面的距离为.四、直线方程1、空间直线的点向式方程（或对称式方程）：.2、空间直线的一般式方程： .3空间直线的参数式方程： ，（为参数）.二几种常见曲面1、球面：2、柱面：（母线平行于轴的柱面）；（母线平行于轴的柱面）；（母线平行于轴的柱面）3、旋转曲面：坐标面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面：；绕轴旋转所得的旋转曲面：；坐标面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面：；绕轴旋转所得的旋转曲面：；坐标
13、面上的曲线绕轴旋转所得的旋转曲面：；绕轴旋转而成的旋转曲面：4、椭球面： 5、椭圆抛物面：； ； 6、双曲抛物面：； ； 7、单叶双曲面：； ； 8、双叶双曲面：； ； 第八章 多元函数微积分一、多元函数微分：1、一阶偏导数：， 或 ， 或 ， 或 ， 方法：对求偏导时，把看成常数； 对求偏导时，把看成常数。2、二阶偏导数： ； ； ； 其中，叫做混合偏导数。定理：如果和在区域D内连续，那么在该区域内。3、全微分的概念：4、隐函数求导：对求偏导时：对直接求导，对看成常数，对求导后再乘；对求偏导时：对直接求导，对看成常数，对求导后再乘；或者用公式法：对于隐函数： 和 5、复合函数的偏导数： ； u x锁链法则： z 若求二阶偏导，则继续使用此法则。v y二、多元函数积分：1、二重积分的几何意义：当时，表示以为曲顶、D为底面、母线平行于z轴的曲顶柱体的体积。3、二重积分的性质：（1）；（2）；（3）若，则4、二重积分的计算：（化成二次积分） （1）直角坐标系下：X型区域（，）： Y型区域（，）： （2）极坐标系下：
