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1、二次函数复习提纲一、二次函数的概念和图像 1、二次函数的概念一般地，如果，那么y叫做x 的二次函数，叫做二次函数的一般式。2、二次函数的图像：二次函数的图像是一条关于对称的曲线，这条曲线叫抛物线。抛物线的主要特征：有开口方向；有对称轴；有顶点。几种特殊的二次函数的图像特征如下：函数解析式开口方向对称轴顶点坐标当时开口向上当时开口向下（轴）（0,0）（轴）(0, )(,0)(,)()例：（2012泰安）二次函数的图象如图，则一次函数的图象经过（ ）A第一、二、三象限B第一、二、四象限C第二、三、四象限D第一、三、四象限二、二次函数的解析式（1）二次函数有四种表达形式二次一项式型：形如y=ax2（
2、a是常数，且a0），x取任意实数。二次二项式型：形如y=ax2+bx（a是常数，且a0，b是常数，b0），x取任意实数。二次二项式型：形如y=ax2+c（a是常数，且a0，c是常数，c0），x取任意实数。二次三项式型：形如y=ax2+bx +c（a是常数，且a0，b是常数，b0，c是常数，c0），x取任意实数。（2）不论是哪一种表示形式，都必须规定a0，否则，就没有了二次项，二次函数就没有意义了。（3）二次函数解析式的三种形式：（1）一般式：（2）顶点式：（3）交点式：（a0）当抛物线与x轴有交点时，即对应二次好方程有实根和存在时，根据二次三项式的分解因式，二次函数可转化为两根式（a0）。如果
3、没有交点，则不能这样表示。例:（2012泰安）将抛物线向上平移3个单位，再向左平移2个单位，那么得到的抛物线的解析式为（ ）ABCD三、二次函数的最值 如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当时，。如果自变量的取值范围是，那么，首先要看是否在自变量取值范围内，若在此范围内，则当x=时，；若不在此范围内，则需要考虑函数在范围内的增减性，如果在此范围内，y随x的增大而增大，则当时，当时，；如果在此范围内，y随x的增大而减小，则当时，当时，。四、二次函数的性质 1、二次函数的性质函数二次函数图像a0a0 y 0 x y 0 x 性质（1）抛物线开口向上，并向上无限
4、延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而增大，简记左减右增；（4）抛物线有最低点，当x=时，y有最小值，（1）抛物线开口向下，并向下无限延伸；（2）对称轴是x=，顶点坐标是（，）；（3）在对称轴的左侧，即当x时，y随x的增大而减小，简记左增右减；（4）抛物线有最高点，当x=时，y有最大值，2、二次函数中，的含义：表示开口方向：0时，抛物线开口向上，0时，抛物线开口向下与对称轴有关：对称轴为x=表示抛物线与y轴的交点坐标：（0，）例2（2012烟台）已知二次函数y=2（x3）2+1下列说法：其图象的开口向下；其图象的对称轴为直线x=3；其图象顶点
5、坐标为（3，1）；当x3时，y随x的增大而减小则其中说法正确的有（ ） A1个B2个C3个D4个例3（2012德阳）设二次函数y=x2+bx+c，当x1时，总有y0，当1x3时，总有y0，那么c的取值范围是（） A c=3 B c3 C1c3 D c3五、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与轴交点情况）：一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况.图象与轴的交点个数： 当时，图象与轴交于两点，其中的是一元二次方程的两根这两点间的距离. 当时，图象与轴只有一个交点； 当时，图象与轴没有交点. 当时，图象落在轴的上方，无论为任何实数，都有； 当时，图象落在轴的下方
6、，无论为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数中，的符号，或由二次函数中，的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的点坐标，或已知与轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标.抛物线与轴有两个交点二次三项式的值可正、可零、可负一元二次方程有两个不相等实根抛物线与轴只有一个交点二次三项式的值为非负一元二次方程有两个相等的实数
7、根抛物线与轴无交点二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是所含字母的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：例1（2012杭州）已知抛物线y=k（x+1）（x）与x轴交于点A，B，与y轴交于点C，则能使ABC为等腰三角形的抛物线的条数是（ ） A2B3C4D5例2：（2012泰安）二次函数的图象如图，若一元二次方程有实数根，则 的最大值为（ ） A B3 C D9六、确定二次函数关系式的基本题型1二次函数关系式设为：y=ax2（a0）例1、 有一座抛物线形拱桥，正常水位时，AB宽为20米，水位上升3米就
8、达到警戒水位线CD，这时水面的宽度为10米。请你在如图1所示的平面直角坐标系中，求出二次函数的解析式。2二次函数关系式设为：y=ax2+bx（a0）例2、（2008年巴中市）王强在一次高尔夫球的练习中，在某处击球，其飞行路线满足抛物线，其中（m）是球的飞行高度，（m）是球飞出的水平距离，结果球离球洞的水平距离还有2m，如图2所示。（1）请写出抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴（2）请求出球飞行的最大水平距离（3）若王强再一次从此处击球，要想让球飞行的最大高度不变且球刚好进洞，则球飞行路线应满足怎样的抛物线，求出其解析式3二次函数关系式设为：y=ax2+c（a0）例3、桂林红桥位于桃花江上，是桂
9、林两江四湖的一道亮丽的风景线，该桥的部分横截面如图3所示，上方可看作是一个经过、三点的抛物线，以桥面的水平线为轴，经过抛物线的顶点与轴垂直的直线为轴，建立直角坐标系，已知此桥垂直于桥面的相邻两柱之间距离为米（图中用线段、等表示桥柱）米，米（1）求经过、三点的抛物线的解析式。（2）求柱子的高度。4二次函数关系式设为：y=a(x-h)2（a0）例4、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，0），且过点B（3，4）求该二次函数的解析式。5.二次函数关系式设为：y=a(x-h)2+k(a0）例5、在直角坐标平面内，二次函数图象的顶点为A（1，-4），且过点B（3，0）求该二次函数的解析式。七 二
10、次函数压轴题常考公式1、两点间距离公式（当遇到没有思路的题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法） 如图：点A坐标为（x1，y1）点B坐标为（x2，y2）则AB间的距离，即线段AB的长度为2，二次函数图象的平移图象平移示意图一般地，平移二次函数y=ax2的图象便可得到二次函数y=a（x- h）2+k的图象y=ax2上、下移y=ax2+k左、右移y=a（x- h）2y=a（x- h）2+k左、右移上、下移上、下移且左、右移图象的平移方法1、用配方法将二次函数y=ax2+bx+c转化成y=a（x- h）2+k的形式 即y=ax2bxc 图1y=ax2x y O y= a（x）2y= a（x）2+=
11、 a（x2x）= a x22x（）2（）2= a（x）22、图象的平移的方向和大小根据的正（负）将其图象向左（右）平移|个单位；再根据的正（负）将其图象向上（下）平移|个单位，即可得到二次函数y=ax2+bx+c的图象，如图1所示平移规律 在原有函数的基础上“值正右移，负左移；值正上移，负下移”特别记忆-同左上加 异右下减 (必须理解记忆)说明： 函数中ab值同号，图像顶点在y轴左侧同左，a b值异号，图像顶点必在Y轴右侧异右。向左向上移动为加左上加，向右向下移动为减右下减。3.直线斜率： ， b为直线在y轴上的截距。4、直线方程：两点 由直线上两点确定的直线的两点式方程，简称两式: 此公式有
12、多种变形 牢记点斜 斜截 直线的斜截式方程，简称斜截式: ykxb(k0)截距 由直线在轴和轴上的截距确定的直线的截距式方程，简称截距式：5、设两条直线分别为，： ： 若，则有且。 若6， 点P（x0，y0）到直线y=kx+b(即：kx-y+b=0) 的距离: 7，抛物线中， a b c,的作用 （1）决定开口方向及开口大小，这与中的完全一样. （2）和共同决定抛物线对称轴的位置.由于抛物线的对称轴是直线，故：时，对称轴为轴；（即、同号）时，对称轴在轴左侧；（即、异号）时，对称轴在轴右侧. 口诀 - 同左 异右 （3）的大小决定抛物线与轴交点的位置. 当时，抛物线与轴有且只有一个交点（0，）：
13、 ，抛物线经过原点; ,与轴交于正半轴； ,与轴交于负半轴. 以上三点中，当结论和条件互换时，仍成立.如抛物线的对称轴在轴右侧，则 .例1（2012乐山）二次函数y=ax2+bx+1（a0）的图象的顶点在第一象限，且过点（1，0）设t=a+b+1，则t值的变化范围是（）A0t1B0t2C1t2D1t1例2：（2012潜江）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，它与x轴的两个交点分别为（1，0），（3，0）对于下列命题：b2a=0；abc0；a2b+4c0；8a+c0其中正确的有（）A3个B2个C1个D0个例3：（2012菏泽）如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90，得到ABO（1）一抛物线经过点A、B、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PBAB的面积是ABO面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由（3）在（2）的条件下，试指出四边形PBAB是哪种形状的四边形？并写出四边形PBAB的两条性质7 / 7
