全等三角形万能学案.docx

《全等三角形万能学案.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《全等三角形万能学案.docx（38页珍藏版）》请在三一办公上搜索。

1、全等三角形专题知识点一：全等三角形的定义及性质（1）定义：全等三角形是能够完全重合的两个三角形或形状相同、大小相等的两个三角形（2）性质：全等三角形的 相等。知识点二、学习全等三角形的符号表示及读法和写法针对性练习（1）全等用符号_表示，读作_（2）三角形ABC全等于三角形DEF，用式子表示为_全等三角形的判定（一）一全等三角形的判定1：三边对应相等的两个三角形全等.简写成“边边边”或“”几何符号语言：在和中（）二例题：如图，小龙用四根木条钉了一个四边形，其中木条，.小龙发现拉动、两点，和的大小发生变化，但和一直相等.你认为小龙的发现正确吗？说明理由.三练习：1如图，点、在同一直线上，.求证：

2、2在中，、分别为、上的点，且，.求证：3如图，点、在同一直线上，求证：4如图，已知，求证：5如图，与交于点，、是上两点，且，求证：；6.如图，已知，求证：全等三角形的判定（二）一全等三角形的判定2：两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等.简写为“边角边”或“”几何符号语言：在和中 （）二 例题：如图，是中边的中点，且.求证： 三练习：1如图，已知，.求证：2点、在同一直线上，且.求证： 3如图，于，于，.求证：4如图，和都是等边三角形，连接、交于.求证： 5.如图，是和的平分线，.求证：6.如图，已知、是线段上的两点，且，.求证：全等三角形的判定（三）一全等三角形的判定3：有两角和其夹边对应

3、相等的两个三角形全等.简写成“角边角”或“”全等三角形的判定4：有两角和其一角对边对应相等的两个三角形全等.简写成“角角边”或“”几何符号语言：在和中 （）或：在和中 （）二例题：如图，求证：三练习：1如图，已知，求证：2如图，.求证：3已知，和分别是和边上的高，和相等吗？为什么？4如图，已知，那么，你知道这是为什么吗？直角三角形全等的判定一全等三角形的判定5：斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等.简写为“斜边、直角边”或“”几何符号语言：在和中 二例题：如图，于，于，且求证：三练习：1如图，于，于，.求证：2如图，点、在同一条直线上，且求证：3在中，是过点的一条直线，且于，于.当直线

4、处于如图1的位置时，猜想、之间的数量关系，并证明.请你在图2选择与不同位置进行操作，并猜想中的结论是否还成立？加以证明；归纳、，请你用简洁的语言表达、之间的数量关系.4.如图，于.求证：平分，5.如图，于，于.求证：6.如图，在和中，、分别是高，并且，.求证：7.如图，、在同一条直线上，于，于，.探究与的关系，并说明理由. 全等的综合判定一全等三角形的性质：全等三角形的对应角 ，对应边 .二全等三角形的判定：1.判定两个三角形全等的方法有：_的两个三角形全等()_的两个三角形全等()_的两个三角形全等()_的两个三角形全等(AAS)2，判定两个直角三角形全等的方法还有：_的两个直角三角形全等(

5、)三例题：1.如图，.猜想线段、的关系，并说明理由.2. 已知，请问图中有哪几对全等三角形？并任选其中一对给予证明.3.如图，以的边、为边分别向外作正方形和正方形，连结，试判断与面积之间的关系，并说明理由全等三角形问题中常见的辅助线的作法巧添辅助线一1倍长中线【夯实基础】例1：中，AD是的平分线，且BD=CD，求证AB=AC【经典例题】例2：ABC中，AB=5，AC=3，求中线AD的取值范围例3：已知在ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上一点，且BE=AC， 延长BE交AC于F，求证：AF=EF例4：已知：如图，在中，D、E在BC上， 且DE=EC，过D作交AE于点F，DF=AC. 求证

6、：AE平分例5：已知CD=AB，BDA=BAD，AE是ABD的中线， 求证：C=BAE2截长补短法引辅助线 例1. 如图，ABC中，ACB2B，12。 求证：ABACCD 例2 如图1-2，AB/CD，BE平分ABC，CE平分BCD，点E在AD上，求证：BC=AB+CD。例3、如图，ADBC，EA,EB分别平分DAB,CBA，CD过点E，求证;ABAD+BC。 3与角平分线有关的辅助线角平分线具有两条性质：a、对称性；b、角平分线上的点到角两边的距离相等。对于有角平分线的辅助线的作法，一般有两种：从角平分线上一点向两边作垂线；利用角平分线，构造对称图形（如作法是在一侧的长边上截取短边）。通常情

7、况下，出现了直角或是垂直等条件时，一般考虑作垂线；其它情况下考虑构造对称图形。至于选取哪种方法，要结合题目图形和已知条件。（1）截取构全等如图1-1，AOC=BOC，如取OE=OF，并连接DE、DF，则有OEDOFD，从而为我们证明线段、角相等创造了条件。例1 已知：如图1-3，AB=2AC，BAD=CAD，DA=DB，求证DCAC例2 已知：如图1-4，在ABC中，C=2B,AD平分BAC， 求证：AB-AC=CD例3 如图，ABAC, 1=2，求证：ABACBDCD。例4 如图，BCBA，BD平分ABC，且AD=CD，求证：A+C=180。例5 如图，ABCD，AE、DE分别平分BAD各A

8、DE，求证：AD=AB+CD。例6、如图，已知在ABC中，B=60，ABC的角平分线AD,CE相交于点O， 求证：OE=OD（2）角分线上点向角两边作垂线构全等过角平分线上一点向角两边作垂线，利用角平分线上的点到两边距离相等的性质来证明问题。例1 如图2-1，已知ABAD, BAC=FAC,CD=BC。求证：ADC+B=180例2 如图2-2，在ABC中，A=90，AB=AC，ABD=CBD。 求证：BC=AB+AD例3 已知如图2-3，ABC的角平分线BM、CN相交于点P。 求证：BAC的平分线也经过点P。（3）作角平分线的垂线构造等腰三角形从角的一边上的一点作角平分线的垂线，使之与角的两边

9、相交，则截得一个等腰三角形，垂足为底边上的中点，该角平分线又成为底边上的中线和高，以利用中位线的性质与等腰三角形的三线合一的性质。（如果题目中有垂直于角平分线的线段，则延长该线段与角的另一边相交）。一、 已知：如图3-1，BAD=DAC，ABAC,CDAD于D，H是BC中点。 求证：DH=（AB-AC）二、 已知：如图3-2，AB=AC，BAC=90，AD为ABC的平分线，CEBE.求证：BD=2CE。4出现中垂线：连接两端做辅助线1、如图，ABC中，AD平分BAC，DGBC且平分BC，DEAB于E，DFAC于F. （1）说明BE=CF的理由；（2）如果AB=，AC=，求AE、BE的长.5、旋

10、转例1 正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 例2 D为等腰斜边AB的中点，DMDN,DM,DN分别交BC,CA于点E,F。（1） 当绕点D转动时，求证DE=DF。（2） 若AB=2，求四边形DECF的面积。例3 如图，是边长为3的等边三角形，是等腰三角形，且，以D为顶点做一个角，使其两边分别交AB于点M，交AC于点N，连接MN，则的周长为 ；应用：1、已知四边形中，绕点旋转，它的两边分别交（或它们的延长线）于当绕点旋转到时（如图1），易证当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样

11、的数量关系？请写出你的猜想，不需证明2、（西城09年一模）已知:PA=,PB=4,以AB为一边作正方形ABCD,使P、D两点落在直线AB的两侧.(1)如图,当APB=45时,求AB及PD的长;(2)当APB变化,且其它条件不变时,求PD的最大值,及相应APB的大小.3、在等边的两边AB、AC所在直线上分别有两点M、N，D为外一点，且,BD=DC. 探究：当M、N分别在直线AB、AC上移动时，BM、NC、MN之间的数量关系及的周长Q与等边的周长L的关系图1 图2 图3（I）如图1，当点M、N边AB、AC上，且DM=DN时，BM、NC、MN之间的数量关系是 ； 此时 ； （II）如图2，点M、N边

12、AB、AC上，且当DMDN时，猜想（I）问的两个结论还成立吗？写出你的猜想并加以证明； （III） 如图3，当M、N分别在边AB、CA的延长线上时，若AN=，则Q= （用、L表示） 全等三角形中的化规思想及构造全等的方法（1）【学习目标】1 熟悉并掌握三角形全等的“SSS”,“ASA”,“AAS”,“SAS”，“HL”条件；2 掌握全等三角形中的化规思想，能掌握“倍长中线法”和“截长补短法”。【学习重点】 全等三角形中的化规思想，“倍长中线法”和“截长补短法”的学习。【学习难点】1 在多个问的问题中，能够根据第（1）问的方法进行方法的化规，解决（2），（3）问题；2 “倍长中线法”和“截长补短

13、法”的学习，并能对相关题目进行分析方法与技巧的总结 与运用。【知识梳理】1全等三角形判定方法：(1) “边角边”或“SAS” ；(2) “角边角”或“ASA”；(3) “边边边”或“SSS”； (4) “角角边”或“AAS” ；(5) “斜边、直角边”或“HL”2构造全等三角形的方法：（1）通过翻折构造全等三角形；（2）通过旋转构造全等三角形【典例剖析】考点一：通过“基本图形”构造三角形全等（因为研究图形的性质时，往往要从研究图形中的线段相等关系或角的相等关系入手，做题时多观察，将图形进行分离为常见基本图形，从而轻松对角进行转移，难题迎刃而解，常见基本型有“K型（型）”、“蝴蝶型（X型）”、“

14、子母型”）例1：（2016最佳方案）请阅读，完成证明和填空。某数学兴趣小组展示了他们小组探究发现的结果，内容如下：（1）如图1，正三角形ABC中，在AB，AC边上分别取点M，N，使BM=AN，连接BN，CM，发现BN=CM，且NOC=60，请证明：NOC=60。（2）如图2，正方形ABCD中，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，DM，那么AN= ，且 DON= 。（3）如图3，在五边形ABCDE中，AB=BC=CD=DE=EA，BAC=B=C=D=AED=108，在AB，BC边上分别取点M，N，使AM=BN，连接AN，EM，那么AN= ,且EON= 度。 【变式】（上海中考

15、题）已知：E是正方形ABCD边AD上任意一点，FGBE。求证：FG=BE。 例2：（2016九中）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H （1）求证：EB=GD； （2）判断EB与GD的位置关系，并说明理由； 【变式】如图所示，ABC和ADE都是等腰直角三角形，且BAC=EAD=，连接BD、CE. （1）求证：BD=CE； （2）观察图形，猜想BD和CE之间的位置关系，并证明你的结论。 例3：（1）如图，DCE=90，DAC=90，BEAC于B，且DC=EC。请说明AB+AD=BE。 （2）如图：已知在ABC中，BA

16、C=90，AB=AC。AE是过点A的直线，BDAE于点D，CEAE于点E，求证：BD=CE+DE。 【变式】（2016嘉祥）如图所示在ABC中，BAC=90，AB=AC，AE是过A点的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BDAE于D点，CEAE于E点。 （1）求证：BD=DE+CE； （2）若直线AE绕点A旋转到图所示的位置时（BDCE），其余条件不变，问BD与DE、CE的关系如何？请予以证明； （3）若直线AE绕点A旋转到如图所示位置时（BDCE），其余条件不变，BD与DE、CE的关系如何？直接写出结果，不需证明； （4）归纳前三小题，用简捷的语言表述BD、DE、CE之间的关系。 考点二：全

17、等三角形的构造法1.翻折构造全等三角形 例3：如图所示，已知ABC中，AC=BC，ACB=90，BD平分ABC，试说明AB=BC+CD。 【变式1】如图，在ABC中，ABAC，A的平分线AD交BC于D求证：BDCD【变式2】如图，AD为等腰直角三角形ABC的底角平分线，C=90，试探索AC+CD与AB的关系，并说明理由. 2.旋转构造全等三角形 例4：如图所示，已知点E、F分别在正方形ABCD的边BC、DC上，并且AF平分EAD，试说明:BE+DF=AE。 【变式1】正方形ABCD中，E为BC上的一点，F为CD上的一点，BE+DF=EF，求EAF的度数. 【变式2】已知四边形中，绕点旋转，它的

18、两边分别交（或它们的延长线）于。（1）当绕点旋转到时（如图1），易证（2）当绕点旋转到时，在图2和图3这两种情况下，上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，线段，又有怎样的数量关系？请写出你的猜想，不需证明 例1：（2016蒙城县模拟）已知，点P是RtABC斜边AB上一动点（不与A、B重合），分别过A、B向直线CP作垂线，垂足分别为E、F、Q为斜边AB的中点（1）如图1，当点P与点Q重合时，AE与BF的位置关系是，QE与QF的数量关系是；（2）如图2，当点P在线段AB上不与点Q重合时，试判断QE与QF的数量关系，并给予证明；（3）如图3，当点P在线段BA（或AB）的延长线上时，此时（2

19、）中的结论是否成立？请画出图形并给予证明 例2：（台州市中考题）直线CD经过的顶点C，CA=CBE、F分别是直线CD上两点，且（1）若直线CD经过的内部，且E、F在射线CD上，请解决下面两个问题：如图1，若，则 （填“”，“”或“”号）；如图2，若，若使中的结论仍然成立，则 与 应满足的关系是 ；（2）如图3，若直线CD经过的外部，请探究EF、与BE、AF三条线段的数量关系，并给予证明 例3：如图1，ABC的边BC在直线m上，ACBC, 且AC=BC,EFP的边FP也在直线m上，边EF与边AC重合，且EF=FP. （1）在图1中，请你通过观察，测量，猜想并写出AB与AP所满足的数量关系和位置关

20、系。（2）将EFP沿直线m向左平移到图2的位置时，EP交AC于点Q，连接AP、BQ.猜想并写出BQ与AP所满足的数量关系和位置关系，并证明你的猜想。（3）将EFP沿直线m向左平移到图3的位置时，EP的延长线交AC的延长线于点Q，连接AP、BQ. 你认为（2）中所猜想的BQ与AP的数量关系和位置关系还成立吗？若成立，给出证明；若不成立，请说明理由。 例4：(1) 如图1,在正方形ABCD中,点E,F分别在边BC,CD上,AE,BF交于点O,AOF90.求证：BECF.图1 (2) 如图2,在正方形ABCD中,点E,H,F,G分别在边AB,BC,CD,DA上,EF,GH交于点O,FOH90, EF

21、4.求GH的长.图2 例5：（2016培优）数学课上，黄老师出示了问题：如图1，四边形ABCD是正方形，点E是边BC的中点，且EF交正方形外角的平行线CF于点F，求证：AE=EF经过思考，小明展示了一种正确的解题思路：取AB的中点M，连接ME，则AM=EC，易证，所以在此基础上，同学们作了进一步的研究：（1）小颖提出：如图2，如果把“点E是边BC的中点”改为“点E是边BC上（除B，C外）的任意一点”，其它条件不变，那么结论“AE=EF”仍然成立，你认为小颖的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由； （2）小华提出：如图3，点E是BC的延长线上（除C点外）的任意一点，其他条件不变，结论“AE=EF”仍然成立你认为小华的观点正确吗？如果正确，写出证明过程；如果不正确，请说明理由5.（2015宜兴市模拟）如图，ABC中，BAC=90，AB=AC，ADBC，垂足是D，AE平分BAD，交BC于点E在ABC外有一点F，使FAAE，FCBC（1）求证：BE=CF；（2）在AB上取一点M，使BM=2DE，连接MC，交AD于点N，连接ME求证：MEBC