专题六万有引力定律典型例题.doc

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1、专题六 万有引力定律【题型总结】 一、万有引力定律在自然界中的应用：（1）割补法：例：如图所示，半径为r的铅球内有一半径为的球形空腔，其表面与球面相切，此铅球的质量为M ，在铅球和空腔的中心连线上，距离铅球中心L处有一质量为m的小球（可以看成质点），求铅球小球的引力。解：设想把挖去部分用与铅球同密度的材料填充，填充部分铅球的质量为M1 。为了抵消填充球体产生的引力，在右边等距离处又放置一个等质量的球体，如图所示。设放置的球体的质量为M1 ，则：M1 = 1 ()3 =M0 =M填补后的铅球质量：M0 = M + M1 =M原铅球对小球引力：F = F0F1 =练习：如图所示，一个质量为M的匀质

2、实心球，半径为R，如果从球上挖去一个直径为R的球，放在距离为d的地方。求下列两种情况下，两球之间的万有引力是多大？ （1）从球的正中心挖去（2）从与球相切处挖去解：（1）（2）当dR时，计算结果相同。（2）等效法例：在密度为的无限大的液体中，有两个半径为R、密度为的球，相距为d，且 。求两球受到的万有引力。解析：设两球的球心分别是 ，球的质量为 ，如果去掉球 ，只有球单度处于无限大的液体中，由于四周液体对它的引力具有对称性，各质元对它的引力相互平衡，故球受到的合外力为零，将球放回原处后，相当于用密度为的球代替了密度为的同体积液体球，因为 ，我们可以用“等效”的观点，将这个代替过程视为处的质量增

3、加了 ，所以，根据万有引力定律，两球受到的万有引力是 。答案：二、万有引力定律在天文学中的应用：（一）万有引力与重力：例1：宇航员站在一星球表面上的某处，沿水平方向抛出一小球，经过时间t ，小球落到星球表面，测得抛出点与落地点之间的距离为L ,若抛出时的初速度增大到2倍，则抛出点与落地点之间的距离为 ，已知两落地点在同一水平面上，该星球的半径为R ，引力常量为G ，求该星球的质量M 。解：设抛出点的高度为h ，第一平抛的水平射程为：x ，则有 由平抛物体运动规律可知，当抛出的初速度增大到2倍，则水平射程也增大到2 x ，可得： 由解得 设该星球上重力加速度为g ，由平抛物体运动规律，得： 设m

4、为小球的质量，则有 联立，解得例2：火箭内平台上放有测试仪器，火箭从地面起动后，以加速度g/2竖直向上做匀加速直线运动。升到某一高度时，测试仪器对平台的压力为起动前压力的17/18，已知地球半径为R，求此时火箭离地面的高度（g为地面附近的重力加速度）。解：取测试仪为研究对象，由物体的平衡条件和牛顿第二定律有： 由题意知 ，则 又 ，解得点评：物体在地球表面做自由落体运动、抛体运动，通常忽略距地面高度h ；物体离开地球表面，在太空中运动，通常不能忽略距地面高度h 。物体在地球表面运动（距地心较近）；通常不能忽略地球半径，物体在太空中运动（距地心较远），通常忽略地球半径。练习1：在地球某处海平面上

5、，测得物体自由下落高度h ，所需的时间为t ；到高山顶，测得物体自由下落同样高度h ，所需时间增加了 。已知地球半径为R ，试求山的高度H。解：在海平面： ，自由落体时间： ，在高山顶：，自由落体时间： ，由以上两式可得：练习2：地球可视为球体，其自转周期为T。在它的两极处，用弹簧秤测得其物体重为P。在它的赤道上，用弹簧秤测得同一物体重为0.9P，则地球的平均密度是多少？解析：只有在两极处，重力等于地球对物体的万有引力；在地球的其他地方，重力都小于地球对物体的万有引力。由于重力与地球对物体的万有引力差别极小，所以通常近似视为重力等于地球对物体的万有引力。解：设被测物体的质量为m，地球的质量为M

6、，半径为R；在两极处时物体的重力等于地球对物体的万有引力。在赤道上，因地球自转物体做匀速圆周运动，地球对物体的万有引力和弹簧秤对物体的拉力的合力提供向心力，根据牛顿第二定律有：由以上两式解得地球的质量为：根据数学知识可知地球的体积为根据密度的定义式可得地球的平均密度为同类变式 某行星一昼夜运动时间T0=8h，若用一弹簧秤去测量同一物体的重力，结果在行星赤道上比在两极处小9%，设想该行星的自转角速度加快到某一值时，在赤道上的物体将完全失重，则这时行星的自转周期为 h。解：解法一：在行星的两极处，弹簧秤的示数为物体受到行星的万有引力F，在赤道处的示数为F，由题意可知F-F= 当行星自转的角速度加快

7、后，在赤道上的物体完全失重，则F=0，有F= 由题意可知 F-F=0.09F 由式和式可得：0.09F= 由式和式得 T=0.3T0=2.4h解法二：由题意可知，物体在赤道处的失重部分提供其做匀速圆周运动所需要的向心力，即有：0.09F= ， 每个行星都有一个第一宇宙速度v1（就是在行星表面所受到的万有引力提供向心力时的速度），且 当行星自转的角速度增大到赤道上的物体完全失重时，赤道上物体的线速度也就是第一宇宙速度，故此时的周期T= =0.3T0=2.4h。（二）万有引力与向心力：1、双星问题、三星问题：例1： 两颗靠得较近的天体称为双星。宇宙中有某一对双星，质量分别为m1、m2，它们以两者连

8、线上某点为圆心，各自做匀速圆周运动，已知两双星间距离为L，不考虑其他星球对它们的影响求：两颗星体的轨道半径和运动的周期分别为多少?解：答；：点评：双星的万有引力相等；角速度、周期相等；轨道半径之和等于双星间的距离。质量与线速度、轨道半径均成反比。例2：宇宙中存在一些离其他恒星较远的、由质量相等的三颗星组成的三星系统, 通常可忽略其它星体对它们的引力作用。已观测到稳定的三星系统存在两种基本的构成形式: 一种是三颗星位于同一直线上, 两颗星围绕中央星在同一半径为 R 的圆轨道上运行；另一种形式是三颗星位于等边三角形的三个项点上, 并沿外接于等边三角形的圆形轨道运行。设每个星体的质量均为 m。(1)

9、 试求第一种形式下, 星体运动的线速度和周期。(2) 假设两种形式星体的运动周期相同, 第二种形式下星体之间的距离应为多少?解: 由万有引力定律和牛顿第二定律得： 解得： ，由万有引力定律和牛顿第二定律得： 解得：点评：解决此类问题的关键： 确定万有引力公式中的和向心力公式中的轨道半径。 确定万有引力的来源：不能漏力；不能弄错方向。练习：设某一宇宙飞船从地球飞向月球，在某一时刻飞船中的人感觉不到自己受到引力的作用，这一情况发生时飞船应距地球中心多远？（已知地球中心到月球中心相距 ，月球与地球质量比为）解析：“船中的人感觉不到自己受到引力的作用”表明地球、月球对他的万有引力相等。解： 2、星球解

10、体问题：例：1976年10月，剑桥大学研究生贝尔偶尔发现一个奇怪的放射电源，它每隔1.337s发出一个脉冲讯号。贝尔和他的导师曾认为他们和外星人接上了头，后来大家认识到，事情没有这么浪漫，这类天体被定名为“脉冲星”，“脉冲星”的特点是脉冲周期短，且周期高度稳定，这意味着脉冲星一定进行准确的周期运动，自转就是一种很准确的周期运动。（1）已知蟹状星云的中心星PS0531是一颗脉冲星，其周期为0.331 s，PS0531的脉冲现象来自自转，设阻止该星离心瓦解的力是万有引力，估计PS0531的最小密度。（2）如果PS0531的质量等于太阳质量，该星的可能半径最大是多少?（太阳质量是M=2 1030 k

11、g）解：（1）设 PS0531脉冲星的质量为M，半径为R，最小密度为，体积为V ，则：=m，又 =，V=，解得，=kgm31.31012 kgm3（2）由 V=，R=m7.161015 m点评：星体高速自转不瓦解，必须使星球表面的某物体m所受的万有引力恰不小于向心力。临界条件：万有引力恰好等于向心力。练习：中子星是由密集的中子组成的星体，具有极大的密度.通过观察已知某中子星的自转速度=60rad/s，该中子星并没有因为自转而解体，根据这些事实人们可以推知中子星的密度.试写出中子星的密度最小值的表达式为=_，计算出该中子星的密度至少为_kg/m3.（假设中子通过万有引力结合成球状星体，保留2位有

12、效数字）解： 代入数据，解得： 3、追击问题例：如图为宇宙中有一个恒星系的示意图，A为该星系的一颗行星，它绕中央恒星O运行轨道近似为圆，天文学家测得到A行星运动的轨道半径为R0，周期为T0：（1）中央恒星O的质量是多大？（2）长期观察发现，A行星实际运动的轨道与圆轨道总存在一些偏差，且周期性地每隔t0时间发生一次最大的偏转，天文学家认为形成这种现象的原因可能是A行星外还存在着一颗未知的行星B（假如其运动轨道与A在同一平面内，其与A的绕行方向相同），它对A行星的万有引力引起A轨道的偏离。根据上述现象及假设，你能对未知行星B的运动得到哪些定量的预测。解：（1）设中央恒星质量为M，A行星的质量为m，

13、则有,解得.（2）求周期T0：由题意可知，A、B相距最近时B对A的影响最大，且每隔t0时间相距最近，这时A行星恰好比B行星多运行了一圈即2。法一：由，解得。法二：设B行星周期为TB，则有，解得。求半径R0：法一：设B的行星质量为m/,运行的轨道半径为RB，则有，解得法二：由开普勒第三定律：，解得练习：2003年2月1日美国哥伦比亚号航天飞机在返回途中解体，造成人类航天史上又一悲剧。哥伦比亚号航天飞机是在赤道上空飞行，轨道半径为r，飞行方向与地球自转方向相同。设地球的自转角速度为，地球半径为R，地球表面的重力加速度为g。在某时刻航天飞机通过赤道上某建筑物的上方，则它下次通过该建筑物上方所需时间为

14、（ ） A2/ B2/ C2 D2/解析：用表示航天飞机的角速度，用m 、M分别表示航天飞机及地球的质量，则有： ，解得 用t表示所需时间，则有： ，解得 答案：A 4、变轨问题：例：发射地球同步卫星时，先将卫星发射到近地圆轨道1，然后点火，使其沿椭圆轨道2运行，最后再次点火，将卫星送入同步圆轨道3。轨道1、2相切于Q点，轨道2、3相切于P点，如图所示，则当卫星分别在1、2、3轨道上正常运行时，下列说法中正确的是 ( )A. 卫星在轨道3上的速率大于在轨道1上的速率B. 卫星在轨道3上的角速度小于在轨道1上的角速度C. 卫星在轨道1上经过Q点时的加速度大于它在轨道2上经过Q点时的加速度D. 卫

15、星在轨道2上经过P点时的加速度等于它在轨道3上经过P点时的加速度解析：（1）比较线速度、角速度大小： 轨道1、3是圆周运动，由 轨道2是椭圆运动，由物体做离心运动的条件可知， 由万有引力提供向心力（力与速度的夹角大于）可知， 同理，可以比较角速度的大小。 （2）比较加速度的大小： 由可知，加速度大小由距中心天体的距离决定。若r一定，则a一定。Qv2v3Pv4v1答案：BCD练习1：如图所示，某次发射同步卫星时，先进入一个近地的圆轨道，然后在P点点火加速，进入椭圆形转移轨道（该椭圆轨道的近地点为近地圆轨道上的P，远地点为同步轨道上的Q），到达远地点时再次自动点火加速，进入同步轨道。设卫星在近地圆

16、轨道上运行的速率为v1，在P点短时间加速后的速率为v2，沿转移轨道刚到达远地点Q时的速率为v3，在Q点短时间加速后进入同步轨道后的速率为v4。试比较v1、v2、v3、v4的大小，并用小于号将它们排列起来_。解析：v1、v2、v3、v4分别为近地圆轨道、椭圆轨道近地点、椭圆轨道远地点、远地圆轨道的线速度。根据题意在P、Q两点点火加速过程中，卫星速度将增大，所以有v2v1、v4v3；而v1、v4是绕地球做匀速圆周运动的人造卫星的线速度，由于它们对应的轨道半径r1v4。把以上不等式连接起来，可得到结论：v2v1v4v3。（卫星沿椭圆轨道由PQ运行时，由于只有重力做负功，卫星机械能守恒，其重力势能逐渐

17、增大，动能逐渐减小，因此有v2v3。）同类变式 欧洲航天局用阿里亚娜火箭发射地球同步卫星。该卫星发射前在赤道附近（北纬5左右）南美洲的法属圭亚那的库卢基地某个发射场上等待发射时为1状态，发射到近地轨道上做匀速圆周运动时为2状态，最后通过转移、调试，定点在地球同步轨道上时为3状态。将下列物理量按从小到大的顺序用不等号排列：这三个状态下卫星的线速度大小_；向心加速度大小_；周期大小_。解析：比较2、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为r2r3，所以v3v2；比较1、3状态，周期相同，即角速度相同，而r1r3由v=r，显然有v1v3；因此v1v3v2。比较2、3状态，都是绕地球做匀速圆周运动，因为

18、r2r3，而向心加速度就是卫星所在位置处的重力加速度g=GM/r21/r2，所以a3a2；比较1、3状态，角速度相同，而r1r3，由a=r2r，有a1a3；所以a1a3a2。 比较1、2状态，可以认为它们轨道的周长相同，而v1 v2，所以T2T1；又由于3状态卫星在同步轨道，周期也是24h，所以T3=T1，因此有T2T1=T3。练习2：在研究宇宙发展演变牟理论中，有一种学说叫“宇宙膨胀说“，这种学说认为引力常量G在缓慢地减小，根据这一理论，在很久很久以前，太阳系中地球公转情况与现在相比( ) A、公转半径R较大 B、公转周期T较小 C、公转速率v较大 D、公转角速度较小解析：由万有引力定律提供

19、向心力可知，由于引力常量G在缓慢减小，地球所受的万有引力将逐渐减小，则地球将做离心运动，公转半径R将增大；由可知随R的增大，公转速率v将减小；同理可知：随R增大v变小，公转角速度变小，公转周期变大。答案：BC同类变式在地球大气层外有很多太空垃圾绕地球做匀速圆周运动，每到太阳活动期，由于受太阳的影响，地球大气层的厚度开始增加，而使得部分垃圾进入大气层，开始做靠近地球的向心运动，产生这一结果的原因是：（） A、由于太空垃圾受到地球引力减小而导致的向心运动 B、由太空垃圾受到地球引力增大而导致的向心运动 C、由于太空垃圾受到空气阻力而导致的向心运动 D、地球的引力提供了太空垃圾做匀速圆周运动所需的向

20、心力，故产生向心运动的结果与空气阻力无关解析：太空垃圾受到空气阻力，线速度瞬时减小，向心力减小，万有引力不变，将做向心运动，既而轨道半径减小，线速度一直增大（万有引力远大于空气阻力，起决定性作用）。答案：C【巩固练习】1、用m表示地球同步通信卫星的质量、h表示卫星离地面的高度、M表示地球的质量、R0表示地球的半径、g表示地球表面处的重力加速度、T0表示地球自转的周期、0表示地球自转的角速度，则：（1）地球同步通信卫星的环绕速度v为（ ）A.0（R0+h） B. C. D. （2）地球同步通信卫星所受的地球对它的万有引力F的大小为（ ）A.m B.m20（R0+h） C.m D.m解析：（1）

21、将GM代入选项一一检验均符合。（2）答案：ABCD ABCD2、如图所示，两个质量均为M的星体，其连线的垂直平分线为AB。O为两星体连线的中点，一个质量为M的物体从O沿OA方向运动，则它受到的万有引力大小变化情况是（ ）A. 一直增大 B. 一直减小C. 先减小，后增大 D. 先增大，后减小解析：物体放于O点时，由于两星体对物体的万有引力大小相等，方向相反，互相抵消，当物体置于无穷远处时，万有引力都为零，把物体放在其它点时，万有引力及合力都不是零。答案：D3、设想人类开发月球,将月球上矿藏不断运到地球,经长时间后,月球仍可看作是均匀球体,且运动轨道不变,则与开采前相比( ) A，地球与月球间万

22、有引力变大 B，地球与月球间万有引力变小C，月球绕地球运动的周期将变大 D，月球绕地球运动的速度将变小解析：答案：B4、 宇宙飞船和空间站在同一轨道上运动，若飞船想与前面的空间站对接，可以采取的方法是（ ）A. 飞船加速直到追上空间站完成对接B. 飞船从原来的轨道减速至一个较低的轨道，再加速追上空间站完成对接C. 飞船加速至一个较高轨道再减速追上空间站完成对接解析：如果飞船加速，它受到的万有引力将不足以提供向心力而做离心运动，到达更高的轨道，这使它的周期变长。这样它再减速回到空间站所在的轨道时，会看到它离空间站更远。如果飞船先减速，它的轨道降低，运行周期减小。这样它再加速回到空间站所在轨道时，

23、它离空间站的距离就会缩短。调节好飞船减速和加速的量度，通过这种方式能使它与空间站完成对接。答案：B5、地球上空有人造地球同步通信卫星，它们向地球发射微波。但无论同步卫星数目增到多少个，地球表面上总有一部分面积不能直接收到它们发射来的微波问这个面积S与地球表面积S0之比至少有多大？结果要求保留两位有效数字。已知地球半径R06.4106m，半径为R，高为h的球缺的表面积为S12Rh，球面积为S4R2。rOR0解：由题意可知： ， sin=一个极周围收不到微波的面积：S2（1cos） ，代入已知数据得：=0.0116、侦察卫星在通过地球两极上空的圆轨道上运动，它的运动轨道距地面高度为h，要使卫星在一

24、天的时间内将地面上赤道各处在日照条件下的情况全都拍摄下来，卫星在通过赤道上空时，卫星上的摄象机至少应拍摄地面上赤道圆周的弧长是多少？设地球的半径为R，地面处的重力加速度为g，地球自转的周期为T。解：侦察卫星绕地球做匀速圆周运动的周期设为T1，则 地面处的重力加速度为g，则 由上述两式得到卫星的周期 其中r=h+R地球自转的周期为T，在卫星绕行一周时，地球自转转过的角度为 摄象机应拍摄赤道圆周的弧长为s=R7、某颗地球同步卫星正下方的地球表面上有一观察者，他用天文望远镜观察被太阳光照射的此卫星，试问，春分那天（太阳光直射赤道）在日落12小时内有多长时间该观察者看不见此卫星？已知地球半径为R，地球

25、表面处的重力加速度为g,地球自转周期为T，不考虑大气对光的折射。解：设所求的时间为t，用m、M分别表示卫星和地球的质量，r表示卫星到地心的距离.有 太阳光EOSARr春分时，太阳光直射地球赤道，如图所示，图中圆E表示赤道，S表示卫星，A表示观察者，O表示地心. 由图1可看出当卫星S绕地心O转到图示位置以后（设地球自转是沿图中逆时针方向），其正下方的观察者将看不见它. 据此再考虑到对称性，有， ， 由以上各式可解得， 8、一个曾经提出所谓的“登天缆绳”的设想：用一绳竖在赤道正上方，使绳随着地球同步自转，只要这根绳子足够长，就不会坠落。人们可以沿着这条“登天缆绳”到太空中去游览。这一大胆的设想已被

26、科学家证实在理论上是可行的，并且其长度也被算出约为1.5105km。(1) 试利用相关的物理规律说明“登天缆绳”这一设想的理论可行性。(2)指出“登天缆绳”上哪一点最容易断。解： (1)“登天缆绳”的重力提供缆绳随地球同步自转所需的向心力，故不会坠落。(2)将缆绳分为无数个小段，在与同步卫星等高的h处，该小段缆绳所受地球引力正好提供其绕地球同步转动的向心力。由和可知，若r增大，则减小而增大；反之，若r减小，则增大而减小。可见，当rh时，各小段缆绳所受地球引力不足以提供其所需的向心力，有远离地球的趋势；而当rh时，各小段缆绳所受地球引力大于所需的向心力，有向地球坠落的趋势。这样，缆绳在h处就出现了向上、向下两个方向的最大拉力，该处最容易断裂。10