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1、从数学的美说开去(数学创新与科学）求精中学 董金昌 数学很好玩,数学很漂亮。 在数学家眼中，数学就像一位恋人 在数学家大会上，一位位数学大师用洋溢着激情的字眼描绘数学。虽然从呀呀学语之时就学着数：一、二、三、四但数学真的那么美吗？对于大多数中国学生来说，他们感受不到数学的魅力。 现在，中小学里爱好数学、成绩好、又学得比较轻松的学生不太多。多数学生对学习数学缺乏兴趣，花的力气不少，但成绩并不好，数学成了学习的负担。 著名数学家、中科院数学与系统科学院院长杨乐认为，这其中有教材内容过多过繁的原因；有教师水平不齐整，教得不够活的原因；更有现行考试模式的影响，因为数学是主科，总归要考，考试指挥棒的牵制
2、力是很大的。“我们的数学教育必须改革！”北京师范大学数学系一位教授参与制定了新的中小学数学课程标准，他对现在的数学教学很有些不满：“数学并不枯燥，是我们把它教枯燥了。不能再让孩子学得那么痛苦，要把数学的美丽还给他们。” 这几年，我国参加国际数学奥林匹克竞赛，获得的金牌总数常常高居榜首，成为当之无愧的数学“奥赛”第一大国。有人认为，中国的数学“新苗”正在成长，意味着中国的数学研究前景大有希望。但也有人担心，为竞赛而刻意进行的强化训练，实际上和让孩子喜爱并且研究数学背道而驰。“现在这类事情在中小学搞，无非是让学生做些复杂的、偏一些的题，这些解题技巧多半又是“填鸭”式地“灌”给学生，学生没有消化思考
3、的时间，又忽略了兴趣，很难把它真正变成自己的东西，反倒弄成了负担。”数学家杨乐对此表示担忧。 不光多数中小学生不爱学数学，不少大学生对数学也没兴趣，甚至连理工科大学生也往往忽略数学学习。只是以后需要用到大量的数学知识时，这些学生才恍然大悟，原来数学如此重要。 前来参加数学大会的著名数学家、菲尔茨奖获得者丘成桐，在哈佛大学曾碰到一件令他十分惊讶的事情。有一天，几个从清华大学来这里念工程学的学生找到丘成桐，求教几何方面的问题，问如何把图像运动表示出来。丘成桐感到很奇怪，这不是微分几何方面的古典问题吗，原本是在读本科时就应该掌握的数学知识。他说：“希望即使是学工程的学生也要多花点时间在纯数学上，打破
4、门户之见。” 对于丘成桐的这番话，一位电力系统专业出身的工程师颇有感触。他最近在编写一个应用软件时，就屡屡遇到数学问题的障碍，不得已三番五次地找一位数学博士请教。他感叹，真是“数”到用时方恨少！ 无论对于传统的工科、理科，还是信息、经济、管理等新兴学科，甚至于人文学科的学习来说，数学方法都是必要的基础和工具。杨乐教授说，研究生的培养、高层次人才所特别需要的创新能力的培养，都离不开数学基础。 北京师范大学刘兼教授透露，目前我国中小学数学教育改革正在逐步推进。记者了解到，新的数学课程标准已经拟定。新标准对目前“繁”、“难”的数学内容适当做了删减，并要求教材编写结合学生生活实际，激发学生学习数学的兴
5、趣。 而大学的数学教育改革也正引起关注和讨论。我国的大学数学教育，一定程度上存在重理论轻实践的倾向，而且数学课程的设置也不灵活。南开大学数学系定光桂认为，对于非数学专业学生的数学教育，必须以数学的应用和应用数学为主要教学内容。同时，要开设多门供不同专业学生选修的课程。即使对于数学专业的学生，也不要将课程规定得太死，除了必修的数学基础课外，大量开设一些数学选修课，让学生们得以独立自由地发展，发挥他们的创造性。1.数学是美的。大数学家克莱因认为：“数学是人类最高超的智力成就，也是人类心灵最独特的创作。音乐能激发或抚慰情怀，绘画使人赏心悦目，诗歌能动人心弦，哲学使人获得智慧，科学可改善物质生活，但数
6、学能给予以上的一切。”美作为现实的事物和现象，物质产品和精神产品、艺术作品等属性总和，具有：匀称性、比例性、和谐性、色彩变幻、鲜明性和新颖性。作为精神产品的数学就具有上述美的功能。数学，始终是美的。审美教育的范围正日益广泛地渗透到人类社会的各个领域之中。人们不仅通过音乐、艺术，而且也通过自然美、社会美、科学美，得到美的熏陶，美化精神境界。数学教学的目的之一，应当是让学生对数学美具有一定的审美能力，这不仅有利于激发他们对数学科学的爱好，也有助于他们的创造发明能力。基于上面数学美的论述，下面就谈谈数学美的功能。1.1 数学美能够培养人们创造发明数学的能力。 首先，我们可以看一看如下例子。据说，古希
7、腊数学家帕普斯是丢番图最得意的一个学生，他很小的时候就跟随丢番图学习数学。有一天他向老师请教一个问题：有四个数，把其中每3个相加，其和分别为22、24、27、20，求这四个数。这个问题看起来很简单，但具体做起来却有一定的复杂性。帕普斯请教丢番图有没有什么巧妙的方法可以解答这个问题。丢番图提出了一个巧妙的解法，他不是分别设四个未知数，而是设四个数之和为x，那么四个数就分别为x-22,x-24,x-27和x-20,于是有方程x=(x-22)+(x-24)+(x-27)+(x-20)。解之得x=31。从而得到四个数分别为9、7、4、11。对老师漂亮的解法帕普斯非常佩服，从而坚定了毕生研究数学的意愿，
8、后来成了一位著名的数学家。1.2 而在教学过程中具体表现如何呢？众所周知，圆锥曲线的标准方程之形式是如此简洁、优美、匀称，它给人以一种美的享受。就双曲线而言，平面内与两个定点F1、F2的距离之差的绝对值是常数（小于F1F2）的点的轨迹叫做双曲线。如图，取过焦点F1、F2的直线为x轴，线段F1F2的垂直平分线为y轴建立直角坐标系，设M(x,y)是双曲线上的任意一点，焦距是2c，与F1,F2两点距离之差绝对值等于常数2a，则得其标准方程为 =1 ，在数学过程中 ，可以提出为什么要取“2c”与“2a”，而不取“c”与“a”呢？为什么要引进b呢？为何叫标准方程呢？1.3 我们说，数学的发明和创造，除了
9、反映客观世界的数量关系和空间形式，还来源于对美的追求。衡量一个理论是否成功，不仅有实践标准，逻辑标准，还有美的标准。当一种理论尚未达到美的境界时，就必须继续改进发展，“按照美的规律来制造”。如上一问题，按定义可得：p=MMF1-MF2=2a得方程 =2a，此可作为双曲线方程。但它不符合简单性原则。故方程可化为(c2-a2)x2-a2y2=a2(c2-a2)即=1。我们说，此方程简单多了。但是，双曲线具有对称性，它所表示方程也该有对称性。于是，由于c2-a20，故令c2-a2=b2，即得 =1，此式是如此简洁优美。至此，我们清楚知道，一开始选择“2c”、“2a”正是为了追求简单性，而产生b是人为
10、制造的，但实践证明，b正好是双曲线虚半轴，又具有鲜明几何意义。为何称为标准方程呢？应该说，对于同一个双曲线，建立不同的坐标系就可得到不同方程，其中若不规定一个作为标准的，那人们就没有共同的语言。如此教学，通过深挖教材中数学美之因素，既能阐明问题的本质，又能提高学生的完美能力，增强创造意识。1.4 寓美于教，能激发学生的学习兴趣。我们知道，对数的学习是比较机械的、枯燥的。如在本章学习之前，先提出一个问题，“一张0.01mm厚的纸折叠十次以后，有多厚”学生是可以计算得了。再此，又提出问题，若是折了100次呢？有的学生或许可以算得，估算即为2100层纸厚，为2100=(210)10(103)10=1
11、030即为1030.010.010.01km=1022km，这有1022公里长度。学生都为之惊叹。这一数字，只是估算，学生有趣、好奇，它的新颖奇特在学生的心灵中引起了一种愉快的惊异，趣中孕育着“美感”。进一步为了解决这一繁而惊人的计算，因而追求计算的“简单性”数学美的表现形式之一，导致了对数计算方法的产生。学生带着兴趣、美感、追求，开始学习对数运算。1.5 又如，在学习完黄金数x=W= =0.618，可以引申出，建筑物的窗口，宽与高度的比一般为W；人们的膝盖骨是大腿与小腿的黄金分割点，人的肘关节是手臂的黄金分割点，肚脐是人身高的黄金分割点；当气温为23摄氏度时，人感到最舒服，此时23:37（体
12、温）0.618；名画的主题，大都画在画面的0.618处，弦乐器的声码放在琴弦的0.618处，会使声音更甜美。建筑设计的精巧、人体科学的奥秘、美术作品的高雅风格，音乐作品的优美节奏，交融于数的对称美与和谐美之中。1.6 具有和谐美、对称美的例题，能达到以美启智，提高学生探索问题和解决问题的能力。解析几何是用数研究形的数学分科，形数结合是研究解析几何的基本观点，运动变化是解析几何的主导思想。若能注意点拨这一优美、和谐的知识结构，将可以增强学生的“美的意识力”。1.7 庞卡莱指出：“在解中，在证明中，给我们以美感的东西是什么呢？是各部分的和谐，是它们的对称，是它们的巧妙、平衡”。审美帮助我们进行猜测
13、，为解题指出了方向。事实上，为了满足某些条件，满足某种和谐关系，事物必须是完美的。这反映了数学解题中美与真的统一。追求数学美，是数学发展的深层动力。中学数学中，在数学的和谐美等驱使下，常常能更快取得成果。2.数学中的创新美 面向全体学生实施素质教育，培养创新人才，这是每一位教育工作者面临的一个全新课题。数学教学要标新立异，改变观念，注重能力培养。把创新教育渗透到课堂教学中，精心创设求异情境，把学生引入一个多思、多问、多变的广阔的思维空间，开发智能，提高数学素质。现代高科技和人才的激烈竞争，归根结底就是创造性思维的竞争，而创造性思维的实质就是求新、求异、求变。创新是教与学的灵魂，是实施素质教育的
14、核心；数学教学蕴含着丰富的创新教育素材，数学教师要根据数学的规律和特点，认真研究，积极探索培养和训练学生创造性思维的原则、方法。当前，数学教学改革和发展的总趋势就是发展思维，培养能力。要达到这一要求，教师的教学就必须从要优化学生的思维品质入手，把创新教育渗透到课堂教学中，激发和培养学生的思维品质。2.1 探索问题的非常规解法，培养思维的创造性培养学生的想象力和创造精神是实施创新教育中最为重要的一步。教师要启迪学生创造性地“学”，标新立异，打破常规，克服思维定势的干扰，善于找出新规律，运用新方法。激发学生大胆探讨问题，增强学生思维的灵活性、开拓性和创造性。教学中的切入点很多：例1已知p+q+10
15、,求证:1位于方程x2 + px + q=0 的两根之间.此题若按常规思路,先用求根公式求出方程的两根x1 , x2 ,再求证结论,则将陷入困境,因此另觅新路.证明:设y=x2 + px + q,显然抛物线的开口向上.令x = 1,则y = p + q + 1, 由已知p + q + 10,即点(1, p+q+1)在x轴下方(如图).故原方程有两根x1 , x2 ,且1位于这两根之间.这种解法通常称为“图象法”。 例2解方程： 本题若用常规解法很繁琐，教学时我由浅入深，引导学生从一个基本等式 的正用和逆用入手，点拨学生采用“通分法”与“拆项法”来解。上述基本等式的逆用，训练了学生的逆向思维，又
16、展现了一种重要的数学方法: 拆项法。 当用常规方法不能解决问题时，应教授学生及时改变思路，另选突破口，切忌在原方法上徘徊。否则难以使思维发生质的飞跃，也不利于创造性思维的培养。例3解方程（x - 1）（x + 2）= 70 该题的一般解法是把方程化为标准的一元二次方程求解。除此之外应激发学生去思考有无更巧更妙的解法？诱导学生去发现x+2与x-1的关系：它们的差是3，且x+2x-1，故可把70分解成差为3的两个因数，从而求解。解：原方程化为（x-1）（x+2）=710 =-10（-7） x+2 x1 x+2 =10 或 x+2 =-7 x1 =8，x2 =-9。题目的新颖解法来源于观察分析题目的
17、特点，以及对隐含条件的挖掘。因此，教师应从开发智能、培养能力这一目标着眼，有意识地引导学生联想、拓展，平时教学中注意总结解题规律，逐步培养学生的创新意识。 2.2 开拓思路,诱发思维的发散性徐利治教授曾指出:创造能力 = 知识量发散思维能力。思维的发散性，表现在思维过程中，不受一定解题模式的束缚，从问题个性中探求共性，寻求变异，多角度、多层次去猜想、延伸、开拓，是一种不定势的思维形式。发散思维具有多变性、开放性的特点，是创造性思维的核心。在教学中，教师的“导”：需精心创设问题情境，组织学生进行生动有趣的“活动”，留给学生想象和思维的“空间”，充分揭示获取知识的思维过程，使学生在过程中“学会”并
18、“会学”，优化学生的思维品质，从而得到主体的智力发展。教学中不仅要求学生的思维活跃，教师的思维更应开放，教师只要细心大胆挖掘，这样的结合点随处可见： 例1 写出以 的解的方程（组）题中未明确是何种类型的方程(组)?解题方法无模式好循,诱导学生展开想象,多方位探寻,得出以下结果:.(x-1)2+(y-2)2=0 .（可写出无数个方程（组）思路拓展：把 看做坐标系中的一点（1，2），过此点的任意两条直线的解析式构成的方程组都可以。 例2在ABC中，ACB = 90，CDAB，如图。由上述条件你能推出哪些结论？此题求解的范围、想象的空间是广阔的，思维是开放的。让学生在求解过程中求新、求速度、求最佳，
19、通过不断思考，互相启发，多数学生能找出710个结论，然后教师诱导学生从边、角、相似及三角函数关系等方面归纳出至少 15种结论：BCD=A，ACD=B，ADC=BDC=ACB.AC2+BC2=AB2，AD2+CD2=AC2，BD2+CD2=BC2. AC2=ADAB，BC2=BDAB，CD2=ADDB.（射影定理）ACBC=ABCD ，.ABCACDCBD.SinA = cosB, tgA = ctgB, sin2A + cos2A = 1, tgActgA = 1.又如淄博市2000年中考试题：四边形ABCD中，如果 ，那么对角线AC和BD互相垂直。这类题具有很强的严密性和发散性，通过训练把学
20、生的思维引到一个广阔的空间，培养了学生思维的广度和深度。这类题的题设与结论不匹配，需要周密思考，恰当运用数学知识去发挥、探索、推断，从而得到多个结果。此类题往往称为“开放型”试题。开放型问题设计是数学教学的一种形式，一种教学观，又是一种创设问题情境的意识和做法，具有很好的导向性，是今后出题的一种趋势。2.3 创新多变，探索思维的求异性求异思维是指在同一问题中，敢于质疑，产生各种不同于一般的思维形式，它是一种创造性的思维活动。在教学中要诱发学生借助于求异思维，从不同的方位探索问题的多种思路。学起于思，思源于疑，疑则诱发创新。教师要创设求异的情境，鼓励学生多思、多问、多变，训练学生勇于质疑，在探索
21、和求异中有所发现和创新。本人教授“2.7平行线的性质”一节时深有感触，一道例题最初是这样设计的：例.如图已知a / b , c / d , 1 = 115， 求2与3的度数 ， 从计算你能得到1与2是什么关系？学生很快得出答案，并得到1=2。我正要向下讲解，这时一位同学举手发言：“老师，不用知道1=115也能得出1=2。”我当时非常高兴，因为他回答了我正要讲而未讲的问题，我让他讲述了推理的过程，同学们报以热烈的掌声。我又借题发挥，随之改为：已知：a/b , c/d 求证： 1=2让学生写出证明，并回答各自不同的证法。变化如下：变式1：已知a/b , 1=2 , 求证：c/d。变式2：已知c/d
22、 ，1=2 , 求证：a/b。变式3：已知a/b, 问1=2吗？（展开讨论）这样，通过一题多证和一题多变，拓展了思维空间，培养学生的创造性思维。对初学几何者来说，有利于培养他们学习几何的浓厚兴趣和创新精神。数学教学中，发展创造性思维能力是能力培养的核心，而逆向思维、发散思维和求异思维是创新学习所必备的思维能力。数学教学要让学生逐步树立创新意识，独立思考，这应成为我们以后教与学的着力点。 3.数学中的猜想美 没有大胆的猜想，就没有伟大的发现。如何在数学教育中培养学生的创新能力和创新意识，是摆在每位数学教育工作者面前的重大课题。传统的数学教学注重演绎推理，教师进行“像是帽子里突然跑出一只兔子”式的
23、讲解，学生进行“程序输入”式的解题训练，教材也毫不吝啬地砍去了活生生的知识发生过程，这些极大地妨碍了学生思维能力的培养，尤其妨碍学生可持续发展潜力的挖掘。反思传统的数学教学，笔者提倡教猜想、学猜想，通过猜想能力、猜想意识和猜想习惯的培养，使创新能力和创新意识的培养落到实处。猜想思维无疑是创造性思维，而猜想意识和猜想习惯是学生可持续发展的重要品质。本文拟对猜想粗抒已见，以求教于大方。3.1 猜想：数学思辨活动的关键一步猜想是对研究的对象或问题进行观察、实验、分析、比较、联想、类比、归纳等，依据已有的材料知识作出符合一定的经验与事实的推测性想象的思维方法。人们认识事物是一个复杂的过程，往往需要经历
24、若干阶段才逐渐从现象认识到事物的本质。开始只能根据已有的部分事实及结果，运用某种判断推理的思维方法，对某类事实和规律提出一种推测性的看法。这种推测性的看法就是猜想。因此，数学猜想就是指依据某些已知事实和数学知识，对未知量及其关系所作出的一种似真推断。现代认知理论认为，学习是主体主动的意义建构活动，是主体在头脑里建立和发展数学认知结构的过程，是数学活动及其经验内化的过程。因此，猜想是在建构活动中，主体的数学认知结构对当前面临的新知识、新问题进行的预测性的重组、整合的过程，它使外部知识与内部创造的不平衡达到暂时的平衡。鉴于此，笔者进一步认为：猜想是对抽象化的、形式化的数学材料进行思辨的建构活动。思
25、辨中缺少了猜想（有些猜想人们无法意识到，或者说达到了自动化），数学材料就不能形成主体的心理意义，从而造成意义建构失败。所以，猜想是构建数学认知结构时，主体思辨活动的关键一步。从另一侧面，猜想能促进知识的同化和顺应的进行，加速知识的发生和迁移。同时，猜想既有一定的科学性，又有一定的假定性，这一层面上又反映出猜想思维的敏捷性、灵活性以及批判性。值得指出的是，数学猜想和数学演绎并不是对立的。在数学演绎中蕴含着猜想，而猜想又应以演绎为前提和后行的。猜想是一种合情推理，它与论证所用的逻辑推理相辅相成，是一种创造性的思维活动。它既是科学发现的先导，也是实现问题解决的一种重要手段。3.2 猜想：生动活泼，妙
26、想天开猜想是数学发展的动力。数学猜想不但促进了数学理论的发展，而且也促进了数学方法论的研究。我们知道，一个学科只有大量的问题提出，才能使它永葆青春。正因为历史上有诸如哥德巴赫猜想、费尔马猜想等猜想的提出，数学科学才发展为今天壮观的现代数学。数学地思维就意味着猜想的产生，如证实后，你会直觉性猜想到和。猜想的诞生就预示着数学发现，如非欧几何的发现。倘若要把数学学习与数学发现联系起来的话，那么就必须给学生提供一些解决问题的机会，让他们对一些适合自己水平的数学事实先进行猜想，然后再补行证明。以下例子，一方面以小见大，阐明猜想是充满生机的心智活动.3.3 圆的面积公式分析：课本中是用定理的形式把“直塞”
27、给学生。同时用内接正多边形面积“逼近”的思想权作直观解释。这种解释能让学生动手吗？既然已用了“逼近”思想，依据化生为熟的原则，何不引导学生猜想化圆为“方”呢？（如下图） 是一个近似平行四边形。能拼成近似三角形吗？近似梯形呢？（对再细分）这些近似图形的面积是多少？（注意，圆的周长公式已知）从直观图形的演变，推导面积公式，让学生感受到猜想的妙趣，又学会了一种化归思想。（在推导球的体积公式时，近似小锥体也是这样的“兔子”）2. mn(行列)的矩形棋盘街的走法数（棋盘街规定只能向右或向下走）分析：经历“试验分析猜想验证”的思维过程。如下所示试验性猜想 数字特征发现杨辉三角（联想） 构造性猜想（旋转、拓
28、展、验证） 已知如图，在直三棱柱ABC-ABC中，BCAC，BCAB，求证：ABC等腰三角形分析：此题的难点是确定 ABC的底边，这必须靠猜想。猜想：BC为底边，理由是BC同时与AC和AB垂直；猜想：若加上条件ACAB，则 ABC为正三角形；猜想：有ACAB时，此三棱柱可“旋转”，理由是直三棱柱，且AB、BC、CA具有垂直的轮换性，直觉此三棱柱沿上、下底面的（假设的）中心连线旋转120时“垂直”重合。通过猜想肯定，从而肯定。由分析可知，猜想为难点找到了突破口，而且得到猜想以及证明的途径。只有自由的思想才会这样轻松猜想。激活学生思维的火花时，让学生猜想吧！给学生“说”和“做”的机会。另外，我们清
29、醒地注意到数学高考对猜想能力的考查日趋加深，如1998年数学高考试题（理）25题、1999年的（理）23题等，而且内容上已跳出了数列范围，考查的形式也是多样的。这从另一侧面反映出猜想能力的重要性，以及培养的必要性。 3.3 猜想：分类和实现途径上海师大胡炯涛先生把猜想分为如下五种基本形式：探索性猜想；归纳性猜想；类比性猜想；试验性猜想;构造性猜想。浙江师大任樟辉先生把猜想分为如下五种形式：类比性猜想；归纳性猜想；探索性猜想；仿造性猜想；审美性猜想。从猜想的命名可知，他们的分类依据是实现数学猜想的途径和方法。由于实现猜想的途径和方法具有多样性和不定性，这就造成了以上分类的局限性和狭隘性。另外，猜
30、想作为人类赖于生存的思维方法，它的分类就应反映猜想的思维特性。基于以上考虑，笔者把猜想分为如下两类：(1)线性猜想：即直线性猜想，是指猜想的结论或解题途径唯一，是依靠形象材料（如式的特征、图形的性质）的意识得到对材料的猜想，思维清晰。单向性是其明显的特征。这种猜想往往具有直接感悟的成分。如例的直觉构造性猜想，例的类比、归纳性猜想。(2)非线性猜想：即猜想是点状发散的，点是猜想的依据，发散是多端的，联想异常丰富。当然并非所有的端点都是可行的、合理的，它需要主体的合理选择，因而充满试验性、探索性，具有演绎的痕迹。上述例子表面上看来都是线性猜想，其实不然，如例中也可猜想为近似三角形、梯形等，只是限于
31、篇幅，笔者有心割爱。事实上，猜想的发生过程是开放的，当主体的知识越丰富，分析越全面，猜想就越是多端的（即非线性猜想），突出地表现在一题多解之中。进一步，当主体的数学知识组块、数学形象直感、块状思维达到一定水平时，猜想就能以高度省略、简约、浓缩的方式洞察到问题实质，此时的猜想就很难转换成“慢镜头”。从另一侧面看，线性猜想具有盲目性、无选择性，而非线性猜想即是具有较成熟的、选择性强的猜想。非线性猜想要求的知识面无疑较广。一般学生的猜想都是较极端的线性猜想，因而我们应致力于培养学生的非线性猜想，提高其分析能力，提高猜想的合理性、有效性。至于猜想的实现途径，以上分析中已提到，它们可能是探索试验、类比、
32、归纳、构造、联想、审美以及它们之间的组合等。数学猜想是有一定规律的，如类比的规律、归纳的规律等，并且要以数学知识和经验为支柱。实施猜想前，请记住“在证明一个数学问题之前,你先得猜想这个问题的内容；在你完全作出详细证明之前，你先得猜想证明的思路”。3.4 猜想：走进数学课堂笔者在此谈论猜想，并不是要取消“逻辑证明、演绎推理”，而是针对当前数学课堂中“重形式淡过程、重知识淡能力、重证明淡猜想”的教学弊端，竭力要让猜想占有适当的位置，使猜想走进数学课堂。那么，我们该做点什么呢？(1).建立一支会猜想的科研型教师队伍。很难想象，一位既不懂猜想也不会猜想的教师能培养出具有高水平猜想能力的学生。教猜想必须
33、懂猜想、会猜想。基于这样的认识，我们的数学教师应具备较高的猜想能力，懂得现代教育心理理论，大胆地猜想和教猜想，同时密切关注学生的思维发展状况，摸索猜想规律，总结经验，并在理论上加以探索、论证。(2).探索培养学生猜想能力的数学教学模式。数学教学必须注重知识的发生过程，但真正能做到展示知识的生动发生过程的，惟有让学生参与猜想。要真正体现学生的主体性，就必须使学生的认知过程是一个再创造的过程，教学中必须渗透“猜想证明”的发现问题和解决问题的科学思维。数学教师必须发挥自己的聪明才智，总结当前好的教学模式，探索出符合培养猜想能力的教学模式。如张思明先生探索的“导学探索、自主解决”教学模式，就体现出猜想
34、的勃勃生机。(3).加强方法论意义上的以猜想为内核的学法指导。拉卡托斯指出：朴素的猜想构成了数学发现的逻辑实际出发点。从某种意义上可以断言，没有猜想和证明就没有数学。因此，应教会学生怎样猜想，如引导他们怎样整合材料、提出疑问，又如何猜想结果或问题解决的途径；介绍各种实现猜想的途径、步骤、规律、方法；共同研究猜想途径的合理性和有效性等。(4).营造宽松的、良好的猜想氛围。教师不必去限制学生思维的疆域，鼓励学生积极思考，不迷信已有结论，不满足现成解答，大胆猜想，不断开拓。教师应随时点燃学生猜想的导火线，甚至教师本身直接成为学生猜想的导火线。猜想合理的进行鼓励，猜想偏向的进行引导，不猜想的进行鞭策，
35、让猜想“访问”每一位学生，使学生的被动的猜想行为转变成自觉的猜想行为，师生共同构建数学猜想共同体。请允许笔者再一次呼吁：让我们教猜想、学猜想吧！4.培养 提高数学能力 在数学教学中,若注重对课本习题进行变式训练,不但可以抓好双基,而且还可以提高数学能力. 下面是一道课本总复习参考题的变式教学设计. 4.1 条件一般化,提高应变能力将课本习题条件一般化,是设计变式题首先考虑的一种方法.变题1 在曲线上求一点M,使此点到的距离最短,并求最短距离.解 设点M的坐标为,则若,则当时,这时点M的坐标为(2,0);若,则当时,这时点M的坐标为.4.2 改变背景,提高创新能力在教学过程中,善于引导学生变换习
36、题的形式,可激发学生的探求欲望,提高创新能力.变题2 抛物线与动圆没有公共点,求的取值范围.解 抛物线与圆没有公共点,方程组无解,在内无实数根.令则或.由(1)得,由(2)得.的取值范围为.变题3 已知抛物线,圆心在轴上的动圆在抛物线的内部相切于抛物线的顶点.求动圆半径的取值范围.解 动圆的圆心在轴上,且在抛物线的内部相切于抛物线的顶点(2,0),设动圆的方程为由得要使(*)式有且只有一根,只需即动圆半径的取值范围为4.3 联系实际,增强应用意识变题4 一只酒杯的轴截面是抛物线的一部分,它的函数解析式是,在杯内放一个玻璃球,要使球触及酒杯底部,求玻璃球的半径的取值范围解 由抛物线的对称性可知,
37、圆的圆心在上,又因为球触及酒杯底部,所以圆与抛物线相切于顶点,设圆的方程为由得要使(*)式有且只有一根,只需，即玻璃球的半径的取值范围4.4 变换条件结论,提高探索能力将常规题改为探索题，是设计变式题的又一途径。变题5 是否存在同时满足下列条件的抛物线：(1)准线是；(2)顶点在轴上；(3)点到此抛物线上动点的距离的最小值为。若存在，有几条？并求出方程；若不存在，说明理由。解 假设存在这样的抛物线。，抛物线的开口向左。设抛物线方程是准线方程为，抛物线方程是设点坐标为，则若，则当时，抛物线方程是。若，则当时，抛物线方程是。满足条件的抛物线存在三条，分别是。在中学数学教学中，搞好习题教学，特别是搞
38、好课本习题的变式教学，不仅能加深基础知识的理解和掌握，更重要的是在开发学生智力、培养和提高学生能力等方面，能发挥其独特的功效。5.数学教学要作眼于学生能力的培养5.1 做学问，还是学答我国古代有“读书破万卷，下笔如有神”的名句，强调多读多练，现在上课时老师会问学生“听懂了吗”、“作业做完没有”，放假回家时家长会问“考了多少分”，而从不过问学生“提了几个问题”。社会上也有这样一种倾向，衡量学校办学是否成功，主要看你的及格率、升学率，高考名牌、重点上线的人数，而不在于是否培养了高素质的|、具有创新能力的人才。我曾做过这样的实验，在一个班注重问题性教学，重在发现问题、提出问题，学生思维和创新能力得到
39、充分展示、发展，但考试成绩却不理想，受到学生家长的抱怨，我又只好兼顾考试，考什么讲什么，怎么考怎么讲。这样只是要求学生学答，而不是做学问。这种应试教育培养不出创新人才。学“问”，才是创新的源泉。著名数学家华罗庚教授当教师时特别鼓励学生提问，他总是想办法让学生通过不同途径问“问题”，在提出问题，解决问题中培养学生的创新意识。5.2 培养学生的创新意识，教会学生提问，教师的教学观念必须转变，教学方法必须更新。教学时教师积极创设问题情景，激发学生探究兴趣；教师教育思想和观念从灌输型向启发型转化；学生学习方式从接受性学习向研究性学习转化；师生关系从从属型向平等型转化；对于基础性的数学知识体系的构建可通
40、过发现问题分析问题解决问题的研究性学习方式来实现。没有大胆的提问，就没有新的发现。有一次，在探究性学习无理数时，一个学生问：“圆周率的值是周长除以直径得到，圆周长和直径的长只能由测量得到近似值，为什么能说两者之商是一个无限不循环小数？”，这个问题课本上没有，我引导大家积极参阅资料，互相交流，反复论证，最后编写成一篇论文关于圆周率的计算，在报刊上发表，激发了大家追求新知，探索问题的积极性。5.3 怎么做“学问”著名教育家陶行知先生曾说：“发明千千万，起点是一问”，俗话说“学问学问，要学要问”。(1)提出问题问题是数学的心脏。在教学中，教师要学会导：精心创设问题情境，组织学生进行生动有趣的活动，留
41、给学生想象和思维的空间，使学生在过程中敢于质疑、发现问题，从而提出问题；教师要适当展示思维过程，即问题是怎样想到的？是什么使我这样想？为什么这样想？教会学生思维的方法。(2) 解决问题教师在教学中要调控解决问题的方式：是学生独立思考，还是互相讨论？是带着问题看书自学，还是看书后发现、提出问题？我通常是让学生先提出问题，把书读“厚”，再思考、讨论、释疑，逐步解决问题，把书读“薄”。这一过程中，教师要尽可能地组织调动学生参与活动，充分发挥学生的主体地位，启发学生提出问题，引导学生交流，促进学生思维，培养学生创新意识。5.4 教师要认真思考和处理学生的提问，培养学生独立思考的习惯，鼓励学生敢于标新立
42、异一次，某老师在回顾三角形的概念时讲到：“三个角都是锐角的，叫锐角三角形；有一个角是直角的，叫直角三角形；有一个角是钝角的，叫钝角三角形”。一个同学突然站起问：“判断一个三角形是不是锐角三角形，能不能只看一个角呢？”“不能”。这一问一答便结束了探讨。我认为老师应抓住这一“问”，逐步引导，深入探究，总结出结论：找出三角形中的最大角来，如果最大角是锐角，那么这个三角形必为锐角。这样不仅让学生明确了知识，更重要的是让学生增强提出问题、解决问题的方法和能力。被称之为现代科学之父的爱因斯坦说：“提出一个问题往往要比解决一个问题更重要”。因此，在数学课堂教学中，教师要鼓励和引导学生去思考、去发现，在探索中提出问题、解决问题，在问题中学知识、学创新。让我们爱数学、学数学吧。
