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1、直线方程教材分析重庆复旦中学：刘政 2006.10.12一、 知识结构7.1首先根据一次函数与其图像直线的关系导出直线方程的概念；其次为进一步研究直线，建立了直线倾斜角的概念，进而建立直线斜率的概念，从而实现了直线的方向或者说直线的倾斜角这一直线的几何属性向直线的斜率这一代数属性的转变；最后推导出经过两点的直线的斜率公式这些充分体现了解析几何的思想方法7.2由直线方程的概念和直线斜率的概念导出直线方程的点斜式；由直线方程的点斜式分别导出直线方程的斜截式和两点式；再由两点式导出截距式；最后都可以转化归结为直线的一般式；同时一般式也可以转化成特殊式两条直线位置关系相交平行垂直夹角、到角交点点到直线
2、距离7.3二、 重点、难点分析7.1重点是斜率的概念和斜率公式直线的斜率是后继内容展开的主线，无论是建立直线的方程，还是研究两条直线的位置关系，以及讨论直线与二次曲线的位置关系，直线的斜率都发挥着重要作用因此，正确理解斜率概念，熟练掌握斜率公式是学好这一章的关键难点是对斜率概念的理解学生对于用直线的倾斜角来刻画直线的方向并不难接受，但是，为什么要定义直线的斜率，为什么把斜率定义为倾斜角的正切两个问题却并不容易接受7.2的重点是直线方程的点斜式、两点式、一般式，以及根据具体条件求出直线的方程解析几何有两项根本性的任务：一个是求曲线的方程；另一个就是用方程研究曲线本节内容就是求直线的方程，因此是非
3、常重要的内容，它对以后学习用方程讨论直线起着直接的作用，同时也对曲线方程的学习起着重要的作用直线的点斜式方程是平面解析几何中所求出的第一个方程，是后面几种特殊形式的源头学生对点斜式学习的效果将直接影响后继知识的学习难点是直线方程特殊形式的限制条件，直线方程的整体结构，直线与二元一次方程的关系证明7.3重点是两条直线的平行与垂直的判断；两条直线的夹角；点到直线的距离难点是两条直线垂直条件的推导；一条直线到另一条直线的角的概念和点到直线距离公式的推导本节内容与后边内容联系十分紧密，两条直线平行与垂直的条件和点到直线的距离公式在圆锥曲线中都有广泛的应用，因此非常重要三、教法建议7.的教学任务有三大项
4、：倾斜角的概念、斜率的概念和斜率公式学生思维也对应三个高潮：倾斜角如何定义、为什么斜率定义为倾斜角的正切和斜率公式如何建立相应的教学过程也有三个阶段： 在教学中首先是创设问题情境，然后通过讨论明确用角来刻画直线的方向，如何定义这个角呢，学生在讨论中逐渐明确倾斜角的概念 本节的难点是对斜率概念的理解学生认为倾斜角就可以刻画直线的方向，而且每一条直线的倾斜角是唯一确定的，而斜率却不这样学生还会认为用弧度制表示倾斜角不是一样可以数量化吗再有，为什么要用倾斜角的正切定义斜率，而不用正弦、余弦或余切哪?要解决这些问题，就要求教师帮助学生认识到在直线的方程中体现的不是直线的倾斜角，而是倾斜角的正切，即直线
5、方程（一次函数 的形式，下同）中x的系数恰好就是直线倾斜角的正切运用上述正反两种变化的动态演示充分揭示直线方程中 系数与倾斜角正切的内在关系，这对帮助学生理解斜率概念是极有好处的 在进行过两点的斜率公式推导的教学中要注意与前后知识的联系，课前要对平面向量，三角函数等有关内容作一定的复习准备 在学习直线方程的概念时要通过举例清晰地指出两个条件，最好能用充要条件叙述直线方程的概念，强化直线与相应方程的对应关系为将来学习曲线方程做好准备 7.教法建议 教材中求直线方程采取先特殊后一般的思路，特殊形式的方程几何特征明显，但局限性强；一般形式的方程无任何限制，但几何特征不明显教学中各部分知识之间过渡要自
6、然流畅，不生硬 直线方程的一般式反映了直线方程各种形式之间的统一性，教学中应充分揭示直线方程本质属性，建立二元一次方程与直线的对应关系，为继续学习“曲线方程”打下基础直线一般式方程都是字母系数，在揭示这一概念深刻内涵时，还需要进行正反两方面的分析论证教学中应重点分析思路，还应抓住这一有利时使学生学会严谨科学的分类讨论方法，从而培养学生全面、系统、辩证、周密地分析、讨论问题的能力，特别是培养学生逻辑思维能力，同时培养学生辩证唯物主义观点 在强调几种形式互化时要向学生充分揭示各种形式的特点，它们的几何特征，参数的意义等，使学生明白为什么要转化，并加深对各种形式的理解 教学中要使学生明白两个独立条件
7、确定一条直线，如两个点、一个点和一个方向或其他两个独立条件两点确定一条直线，这是学生很早就接触的几何公理，然而在解析几何，平面向量等理论中，直线或向量的方向是极其重要的要素，解析几何中刻画直线方向的量化形式就是斜率因此，直线方程的两点式和点斜式在直线方程的几种形式中占有很重要的地位，而已知两点可以求得斜率，所以点斜式又可推出两点式（斜截式和截距式仅是它们的特例），因此点斜式最重要教学中应突出点斜式、两点式和一般式三个教学高潮求直线方程需要两个独立的条件，要依不同的几何条件选用不同形式的方程根据两个条件运用待定系数法和方程思想求直线方程 注意正确理解截距的概念，截距不是距离，截距是直线（也是曲线
8、）与坐标轴交点相应坐标，它是有向线段的数量，因而是一个实数；距离是线段的长度，是一个正实数（或非负实数） 本节中有不少与函数、不等式、三角函数有关的问题，是函数、不等式、三角与直线的重要知识交汇点之一，教学中要适当选择一些有关的问题指导学生练习，培养学生的综合能力 7.教法建议 本节知识与初中所学的平面几何知识和三角知识联系非常紧密，教学时应加强启发和引导如学生对两条直线的平行同位角相等的条件已经非常熟悉，因此在研究两直线平行时，应引导学生迅速建立联系：同位角倾斜角斜率（直线方程）又如，在求 到 的角 时，根据图形中角的关系，建立 与倾斜角 和 的联系（有且只有 或 两种情况），进而借助三角建
9、立与斜率的关系，得出公式 本节内容中在研究两直线的垂直条件时，由于采用向量这一更高级的工具来处理，显得既简单又深刻所以教学中应注意向量工具的运用，可让学生尝试用向量推导两直线平行的条件和点到直线距离公式的推导本节内容新概念不多，但要求推导的内容不少，教学时要坚持启发式的教学思想，重点放在思路的探求和结论或公式的运用上本节不少内容可安排学生自学和讨论，还要适当增加练习，使学生能熟练地掌握公式，增强学生动手计算的能力本节还要加强根据已知条件求直线方程的教学不仅要使学生熟悉用斜率求两直线夹角的公式，也要掌握根据直线方程系数求夹角的方法（即教材中例6的方法），同时会根据所给条件选用在学习点到直线距离公
10、式时，可利用课余时间发动学生寻找更多的推导公式的方法，并通过寻找多种推导公式的方法，锻炼思维，培养能力 本节学完以后学生可以解决很多较复杂、较综合的问题，如对称问题、直线系过定点问题、光路最短与足球射门角度最大等最值问题教学中应适当安排一些这样的内容，以训练学生思维和培养学生分析问题、解决问题的能力四、典例分析例1 与两个坐标轴正方向围成面积为2平方单位的三角形且两截距之差为3的直线方程为例2直线l过两直线的交点，并且点（5，1）到l的距离为，则直线l的方程为例3以点A（1，1）为对称中心，直线关于A对称的直线方程是例4已知直线，求m的值，使得直线（1） 平行，（2）垂直，（3）重合. （1）
11、m=1，（2）m=，（3）m=3例5 一直线被两平行直线x+2y-1=0，x+2y-3=0所截线段的中点在直线x-y-1=0上，并且这直线与两平行直线的交角为45，求这条直线的方程。分析： 要求得这条直线的方程，须求出其夹在两平行直线间的线段的中点坐标及斜率。该线段的中点在直线x-y-1=0上，也在到两平行直线距离相等且与此两直线平行的直线上，因此易求出此点坐标。又已知所求的直线与两平行线的交角为45，所以，要考虑利用夹角公式求斜率。解： 设所求的直线方程为y-y0=k(x-x0)，其中(x0，y0)是此直线被两平行直线所截线段的中点P的坐标，k是斜率。故所求的直线方程为：9x+3y-13=0
12、或3x-9y-1=0。注 直线方程中含有两个独立的参数，因此确定直线的方程必须有两个条件。分析直线的问题要抓住斜率。直线平行或垂直的条件、夹角公式等，常常用来确定直线的斜率。例6 已知正方形的中心为G(-1，0)，正方形有一边所在的方程为x+3y-5=0，求其他三边所在的直线的方程。分析 所求的直线与已知的直线或平行，或垂直，因而可采用和已知直线平行或垂直的直线系方程。然后利用正方形中心到四边等距的条件分别求出直线系方程中的常数。解 正方形的中心G(-1，0)到各边距离为 设正方形与已知直线平行的一边所在直线方程为x+3y-=0解得=5(对应于已知直线)或=-7，故与已知边平行的一边为x+3y
13、+7=0设正方形另一组对边所在直线的方程为 3x-y-=0解得=3或=-9，故另两边的方程为3x-y-3=0和3x-y+9=0例7 光线沿直线l1：x-y+1=0射入，遇到直线l2：2x+y-4=0立即反射，试求反射光线所在直线l的方程。分析 如下图。由于直线l过点A，而A点的坐标可以求出，因此求l的方程，只须求l的斜率。解 如下图。设l1，l2，l的斜率分别为k1，k2，k，则k1=1，k2=-2。由l1到l2的角与l2到l的角相等，得再解方程组 得点A的坐标为(1，2)。x-7y+13=0注 本题也可用求对称点的方法解决。例8在ABC中，BC边上的高所在直线的方程为的平分线所在直线方程为y
14、=0，若点B的坐标为（1，2），求点A和点C的坐标.解：A的平分线与BC边上的高线的交点即为顶点ABAC的平分线是x轴 KAC=1 直线AC的方程为y=(x+1)BC边上的高所在直线方程为：x2y+1=0 直线BC的方程为：y2=2(x1)例9直线交x轴，y轴于A、B两点，试在直线y=-x上求一点M，使|MA|+|MB|最小；在y=-x上求一点N，使|NA|NB|最大，并求出两最值及|MN|的值. 解：A（3，0）B（0，2） B点关于直线y=x的对称点为C（2，0）则直线AC与y=x的交点即原点O为所求的M点.M（0，0），|MA|+|MB|的最小值为|OA|+|OB|=5，直线2x+3y6与直线y=x的交点为所求的N点.N（6，6），|NA|NB|的最大值为|AB|= 第 7 页 共 7 页
