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1、不等式的证明方法之二：综合法与分析法应城市第三高级中学 刘登峰教学目标：1. 结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法.2. 了解分析法和综合法的思考过程.教学重点：会用综合法证明问题；了解综合法的思考过程.教学难点：根据问题的特点，结合综合法的思考过程、特点，选择适当的证明方法.教学过程：一、引入：综合法和分析法是数学中常用的两种直接证明方法，也是不等式证明中的基本方法.由于两者在证明思路上存在着明显的互逆性，这里将其放在一起加以认识、学习，以便于对比研究两种思路方法的特点.所谓综合法，即从已知条件出发，根据不等式的性质或已知的不等式，逐步推导出要证的不等式.而分析
2、法，则是由结果开始，倒过来寻找原因，直至原因成为明显的或者在已知中.前一种是“由因及果”，后一种是“执果索因”.二、典型例题：例1 已知，且不全相等.求证： 分析：观察欲证的不等式的特点，左边三项每一项都是两个数的平方和与另一个数的乘积，右边是三个数的乘积的6倍。这种结构特点启发我们采用如下方法：证明：因为，所以. 因为，所以. 因为，所以. 由于不全相等，所以上述式中至少有一个不取等号，把它们相加得 . 一般地，从已知条件出发，利用定义、公理、定理、性质等，经过一系列的推理、论证而得出公开公开命题成立，这种证明方法叫做综合法.综合法又叫顺推证法或由因导果法.例2 设，求证证法一 要证成立.只
3、需证成立，又因，只需证成立，又需证成立，即需证成立.而显然成立. 由此命题得证.证明命题时，我们还常常从要证的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实（定义、公理或已证明的定理、性质等），从而得出要证的命题成立，这种证明方法叫做分析法.这是一种执果索因的思考和证明方法，分析法又叫逆推证法或执果索因法.证法二 注意到，即，由上式即得，从而成立.上面的证法一是分析法，证法二是综合法。议一议：根据上面的例证，你能指出综合法和分析法的主要特点吗？例3 求证 分析：从不等式的结构不易发现需要用不等式的哪些性质或事实解决这个问题，因此用分析法.证明：因为和都是正数，
4、所以要证只需证 展开得 只需证 只需证 1418. 因为1418成立，所以成立. 从上述证明过程可以发现，如果从1418出发逐步倒推，即1418也得出结论，这实际上就是综合法证明. 因此，综合法过程正好与分析法过程相反，只是如果没有分析过程，我们很难想到要以1418作为证明的出发点.例4 证明：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大.分析：当水的流速相同时，水管的流量取决于水管横截面面积的大小.设截面的周长为，则周长为的圆的半径为，截面积为；周长为的正方形为，截面积为.所以本题只需证明.证明：设截面的周长为，则截面是圆的水管的截面
5、面积为，截面是正方形的水管的截面面积为.只需证明：.为了证明上式成立，只需证明.两边同乘以正数，得：.因此，只需证明.上式显然成立，所以 .这就证明了：通过水管放水，当流速相同时，如果水管横截面的周长相等，那么横截面是圆的水管比横截面是正方形的水管流量大.例5 证明：. （1）证法一： 因为 （2） （3） （4）所以三式相加得 （5）两边同时除以2即得（1）. 证法二：所以（1）成立.例6 证明： （1）证明 （1） （2）（3） （4） （5）（5）显然成立.因此（1）成立.例7 已知都是正数，求证并指出等号在什么时候成立？分析：本题可以考虑利用因式分解公式 着手.证明： = = 由于都是
6、正数，所以而，可知 即（等号在时成立）探究：如果将不等式中的分别用来代替，并在两边同除以3，会得到怎样的不等式？并利用得到的结果证明不等式： ，其中是互不相等的正数，且三、课堂小结：综合法与分析法的证明过程恰好相反。综合法也叫顺推证法，是由因导果；而分析法又叫逆推证法，是执果索因。当问题比较复杂时，通常把分析法和综合法结合起来用。以分析法寻找证明的思路，而用综合法叙述、表达整个证明过程。四、课堂练习：1. 求证：2. 已知求证3. 已知求证4. 已知求证：（1）（2） 5. 已知都是正数.求证：（1） （2）6. 已知都是互不相等的正数，求证五、课后作业： 课本25页 第2、3、4、6题.六、教学后记：5
