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1、第 四章 中值定理与导数应用,4.1 微分中值定理,一、罗尔(Rolle)定理,1.费马引理,2.罗尔（Rolle）定理,几何解释:,注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,例如,又例如,二、拉格朗日(Lagrange)中值定理,几何解释:,证明 作辅助函数,拉格朗日中值公式,注意:拉氏公式精确地表达了函数在一个区间上的增量与函数在这区间内某点处的导数之间的关系.,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,微分中值定理,注意：函数在点 的微分是表示函数在点 的增量的近似值。,证明恒等式的一般方法,弦AB的一般方程为,弦AB的参数方程为,在参数
2、方程下，弦AB的斜率为,三、柯西(Cauchy)中值定理,几何解释:,证：,在(0,x)之间，,在 之间，,.,在(0,x)之间，,因此，,从而有,小结,Rolle定理,Lagrange中值定理,Cauchy中值定理,罗尔定理、拉格朗日中值定理及柯西中值定理之间的关系；,注意定理成立的条件；,注意利用中值定理证明等式与不等式的步骤.,2.设,且在,内可导,证明至少存,在一点,使,提示:,由结论可知,只需证,即,验证,在,上满足罗尔定理条件.,设,3.若,可导,试证在其两个零点间一定有,的零点.,提示:设,欲证:,使,只要证,亦即,作辅助函数,验证,在,上满足,罗尔定理条件.,费马(1601 1
3、665),费马,法国数学家,他是一位律师,数学,只是他的业余爱好.,他兴趣广泛,博,览群书并善于思考,在数学上有许多,重大贡献.,他特别爱好数论,他提出,的费马大定理:,历经358年,直到1993年才由美国普林斯顿大学的安德,鲁.怀尔斯教授经过十年的潜心研究才得到解决.,引理是后人从他研究解决最值的方法中提炼出来的.,拉格朗日(1736 1813),法国数学家.,他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百,余年来,数学中的许多成就都直接或间,接地溯源于他的工作,他是对分析数学,产生全面影响的数学家之一.,柯西(1789 1857),法国数学家,他对数学的贡献主要集中,在微积分学,柯,西全集共有 27 卷.,其中最重要的的是为巴黎综合学,校编写的分析教程,无穷小分析概论,微积,分在几何上的应用 等,有思想有创建,响广泛而深远.,对数学的影,他是经典分析的奠人之一,他为微积分,所奠定的基础推动了分析的发展.,复变函数和微分方程方面.,一生发表论文800余篇,著书 7 本,备用题,求证存在,使,1.设,可导，且,在,连续，,证:设辅助函数,因此至少存在,显然,在 上满足罗尔定理条件,即,使得,设,证明对任意,有,证：,2.,不妨设,
