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1、7.6 马尔可夫(Markov)预测,2,马尔可夫(Markov)预测,不需要大量的历史资料，而只需要对近期状况作详细分析。可用于产品的市场占有率预测、期望报酬预测、人力资源预测，分析系统的长期平衡条件，为决策提供有意义的参考,3,马尔可夫(A.A.Markov),俄国数学家又译：马尔科夫、马尔柯夫20世纪初，研究中发现自然界一类事物的变化过程仅与近期状态有关，与事物的过去状态无关,4,1、基本概念状态与状态转换 若对研究对象考虑一系列随机试验，其中每次试验的结果如果出现在有限个两两互斥的事件集E=E1,E2,En中，且仅出现其中一个，则称事件EiE为系统的状态。若事件Ei出现，则称系统处在状
2、态Ei。状态是研究对象随机试验样本空间的一个划分，系统可能在不同状态之间相互转换。,一、Markov预测原理,5,说明：,为了与P167状态的标记一致，前面的说法可改为：若事件Ei出现，则称系统处在状态Si。许多教材是用E,6,一、Markov预测原理,1、基本概念Markov过程 现实中有这样一类随机过程，在系统状态转移过程中，系统将来的状态只与现在的状态有关，而与过去的状态无关。这种性质叫做无后效性，符合这种性质的状态转移过程，叫作马尔可夫过程。,7,一、Markov预测原理,过程在时刻tm所处的状态为已知时，过程在时刻t(t tm)所处的状态的概率特性只与过程在时刻tm所处的状态有关，而
3、与过程在时刻tm以前的状态无关。,无后效性的解释：,8,无后效性,无后效性例子-1,直线上的随机游动,已知质点现在的位置，将来的情况只与现在的位置有关，与过去的情况无关本例：时间离散、状态离散,9,一、Markov预测原理,无后效性例子-2某地区每年的气候按照一定指标可分为旱、涝两种状态根据多年的统计可形成一个以年为时间单位，每时间只出现旱、涝两态之一的时间离散、状态离散的随机时间序列,10,无后效性,无后效性例子-3：电话交换站在t时刻前到来的呼唤数（即时间0，t内到来的呼唤数）。,11,无后效性,无后效性例子-3：布朗(Brown)运动。,x,y,0,X(t)具有无后效性是马尔可夫过程。,
4、时间连续、状态连续,12,1、基本概念马尔可夫链 时间离散、状态离散的马尔可夫过程例1、例2,一、Markov预测原理,提问：其它？,13,马尔可夫链的定义,设随机序列X(n),n=0,1,2,的离散状态空间为E=E0,E1,E2,En。若对于任意m个非负整数n1,n2，nm 和任意自然数k，以及任意的，满足,则称X(n),n=0,1,2,为马尔可夫链,汪荣鑫，随机过程，西安交通大学出版社，1987（P185）,14,马尔可夫链的定义,记 为,已知系统在时刻n处于状态i，经k个单位时间后，系统处于状态j的概率,15,马尔可夫链,已知系统在时刻n处于状态i，经k个单位时间后，系统处于状态j的概率
5、,与n无关，即转移概率只与出发状态、转移步数、到达状态相关,16,例1：出租公司车站租、还车一步转移概率。,一、Markov预测原理,转移概率？,17,2、状态转移概率矩阵 设系统共有N个状态，记作S1，S2，SN，则用状态向量S1，S2，,SNT表示。设在tn-1时刻系统处在Si状态之下，tn时刻系统状态变为Sj，则称在第n次状态转移中，系统由状态Si转移到Sj，且这种状态转移的概率记为pxn=Sj|xn-1=Si pij(i,j=1,N；n=1,2,)这里pij与n无关，只与i,j有关，即只与转移前后的状态有关，称为马尔可夫链的一步转移概率。,一、Markov预测原理,18,一步转移概率矩
6、阵 如果系统有N个状态，则一步转移概率矩阵如下：,一、Markov预测原理,19,转移概率矩阵的特点,一、Markov预测原理,提问？,20,写出一步转移概率矩阵-1,伯努利实验，每次成功的概率为p，失败的概率为q；各次实验相互独立。成功用状态“1”表示，失败用状态“2”表示。第n次实验的结果记为X(n)。X(n)符合无后效性特点，故为马尔可夫链。,21,一步转移概率矩阵,P=1-q,22,写出一步转移概率矩阵-1,天气预报问题如果明天是否有雨仅与今天的天气（是否有雨）相关，而与过去的天气无关。设今天下雨、明天有雨的概率为，今天无雨、明天下雨的概率为；假定把有雨称为0状态天气，无雨称为1状态天
7、气。则本问题是一个两状态的马尔可夫链。一步转移概率矩阵？,23,一步转移概率矩阵,的含义？,24,切普曼-柯尔莫哥洛夫方程(Chapman-Kolmogorov),马尔可夫链的转移概率之间有下列关系：设,，则,直观含义：要想从状态i出发经过k+l步到达状态j，必须先经k步到达任意状态r，然后再经l步由状态r到达状态j,25,概率矩阵的特点-2 正规概率矩阵 若存在m为正整数，概率矩阵P的m次幂Pm的所有元素皆为正，则P称为正规概率矩阵。,一、Markov预测原理,26,定义固定概率向量 当任一非零向量u=(u1 u2 un)左乘某nn方阵A，其结果仍为u，即uA=u时，u为A的固定向量,一、M
8、arkov预测原理,27,正规概率矩阵的性质-1正规概率矩阵P有一个固定概率向量u，且u的元素皆为正，此向量叫做特征向量。,一、Markov预测原理,28,正规概率矩阵的性质-2正规概率矩阵P的各次幂序列P，P2，P3，将趋向于方阵U，且U的每一行均为其固定概率向量u,一、Markov预测原理,29,正规概率矩阵的性质-3若F为任一概率向量，则向量序列FP，FP2，FP3，将趋近于P的固定概率向量u。,一、Markov预测原理,30,正规马尔可夫链及其稳定状态 若某事物状态转移概率可以表达为正规概率矩阵，则该马尔可夫链就是正规的，通过若干步转移，最终会达到某种稳定状态，即其后再转移一次、二次、
9、，结果不再变化，这时稳定状态可用行向量X表示，,可见该行向量X即此正规概率转移矩阵的固定概率向量。,一、Markov预测原理,31,固定概率向量的求解示例 例2：设某事物从状态S1、S2、S3转移到状态S1、S2、S3的转移概率矩阵为正规概率矩阵P，,一、Markov预测原理,32,稳态时的特征向量 可求解如下：,解此联立方程式得X=(0.4,0.2,0.4),一、Markov预测原理,33,例3：已知一步转移概率矩阵如下，判断马尔可夫链是否正规，若正规求出其稳定状态。,一、Markov预测原理,34,k步转移概率矩阵 事物经过k步转移的转移概率记为 p(Sn+k=j/Sn=i)=pij(k)
10、，i,j=1,2,N,则如下矩阵即为k步转移概率矩阵,一、Markov预测原理,35,可以证明：,即k步转移概率矩阵为一步转移概率矩阵的k次幂。,一、Markov预测原理,36,例4：A、B两家毛巾厂的市场销售调查表如下，假设每年两家毛巾厂的总销售量为定数，而引起两个厂家各自销量增减的主要原因是由于厂家的营销策略、产品质量造成的。对两家毛巾厂的市场占有率进行预测。,二、市场占有率预测,37,解：由表知1995年状态转移概率P11=160/(160+20)=0.889P12=20/(160+20)=0.111P21=40/(280+40)=0.125P22=280/(280+40)=0.875,
11、二、市场占有率预测,38,又有1996年状态转移概率P11=178.5/(178.5+12.5)=0.888P12=12.5/(178.5+12.5)=0.112P21=38.5/(260.5+38.5)=0.129P22=260.5/(260.5+38.5)=0.871,二、市场占有率预测,39,二、市场占有率预测,可看作一个平稳的Markov过程。取,40,毛巾市场预测结果,二、市场占有率预测,41,t充分大时，转移概率将趋于稳态，设为u1,u2，则 u1=0.89u1+0.13u2 u2=0.11u1+0.87u2 u1+u2=1则 u1=0.54,u2=0.46故稳态下，A、B两厂的最
12、终销量分别为：mA=500*0.54=270万条 mB=500*0.46=230万条,二、市场占有率预测,42,如B厂不满足46%的市场占有率，通过提高产品质量、加强广告等手段，设法每一步保持顾客的可能性提高0.05，即由0.87提高为0.92，则状态转移概率矩阵变为：,二、市场占有率预测,43,则新的稳态概率u1,u2将满足 u1=0.89u1+0.08u2 u2=0.11u1+0.92u2 u1+u2=1则 u1=0.42,u2=0.58故稳态下，A、B两厂的最终销量分别为：mA=500*0.42=210万条 mB=500*0.58=290万条,二、市场占有率预测,44,机器设备在良好和损
13、坏两种状态之间的转移：p11：某时良好到下一时刻保持良好的概率；p12：某时良好到下一时刻转为故障的概率；p21：某时故障到下一时刻转为良好的概率；p22：某时故障到下一时刻未能修复的概率。,三、设备维修方面的应用,45,例5：设某车间里的机器出故障的概率为0.2，机器能修复良好的概率为0.85，试求稳定状态下，机器处于良好状态和故障状态的概率各为多少?,三、设备维修方面的应用,46,解：,三、设备维修方面的应用,47,课堂作业,伍迪公司、布卢杰公司、雷恩公司（分别用A、B、C代表）是美国中西部地区生产灭虫剂的三家主要厂商。根据历史资料得知，这三家公司产品销售的市场占有率分别为50%、30%、
14、20%。由于C公司实行了改善销售与服务方针的经营管理策略，其产品销售额逐期稳定上升，而A公司的产品销售额却在下降。通过市场调查发现，三家公司间的顾客流动情况如下表所示，产品的销售周期是季度。问题：按照目前的趋势发展下去，A公司的产品销售额或客户转移的影响将严重到何种程度？三家公司的产品销售额的占有率有何变化？,48,A、B、C三家公司的顾客流动情况,49,顾客流动的转移概率,50,初始状态向量X=(0.5,0.3,0.2),P中的数据表示一个随机挑选的某公司的顾客，到下一个周期购买该公司或另一家公司产品的可能性。,51,下一周期的占有率,52,稳态市场占有率？,53,P173第12题,作业,54,所有预测均包含一定的不确定性，但往往被低估。这可能是由于不确定性过于复杂，无法进行表示。但是不确定性是不可避免的。有时通过适当的预测模型，可以减少预测的不确定性，但大多数情况下，无论如何修改预测模型，都无法精确地了解某些变量的不确定性有多大。但无论如何，通过恰当的系统预测技术和模型，为我们了解和预计系统未来的发展状况，进而用于支持系统决策，提供了一定的有效途径。,本章总结关于预测技术缺陷的讨论,
