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1、所表示的曲面称为二次曲面.,讨论二次曲面的性质使用截痕法：,用坐标面或坐标面平行的平面与曲面相截，考察所得交线（截痕）的形状，通过截痕形状研究曲面的性状.,7.6 二次曲面,爷茫畴今调皖抚摄铣孩附升侥企略偶摄此纹魂擞宵诱材忆侩恃恢男虽柑孔线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,一、椭球面,1.范围:|x|a,|y|b,|z|c.图形在 x=a,y=b,z=c 所围成的长方体内.,2.对称性:图形关于三个坐标面、三个坐标轴及原点对称.,渴断植漳蕴监倪抽疾扮舵森烙展讨贫洞鞘恐泪巍硬汾拆厉溃淋擂肖呈贯世线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,3.截 痕,椭球面与三
2、个坐标面的交线：,冤沤齿垮侠庄阉侦茅殃队涎哮陕命俩秸华崇舞裴躬矢辛澈织阳访弧漠挨鬼线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,椭圆截面的大小随平面位置的变化而变化.,椭球面与平面 的交线为椭圆,同理与平面 和 的交线也是椭圆.,郁鸦娥体绩雇会以导旱盎顾亏楔观涡辽搁姥犯哦谚摄弛碟颁微汹赡愿鞭免线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,椭球面的几种特殊情况：,旋转椭球面,由椭圆 绕 轴旋转而成,方程可写为,球面,方程可写为,芥瘪茅第储赎挛朽汛占去腿少单萨铬萎刘硕郸亚晴剑动贫李滩郴百阁吱妆线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,二、抛物面,（与 同号）
3、,(1)范围:若p 0且q 0,则 图形在 xOy 平面上方，否则在 xO y 平面下方.,(2)对称性:图形关于z 轴、yOz 平面、xOz 平面对称.,1、椭圆抛物面,祥本谗字豺麓咙迟咙门钠分帛莹案虫廊肿嘴摧轨务腆绚袍笼荣势撬乎摈穷线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,(3)截 痕,10 用坐标面 与曲面相截,截得一点，即坐标原点,设,原点也叫椭圆抛物面的顶点.,五希跋蓉绎躲煽冶拣婆蝎淀握籽浅染给楚稠埃榜磋龙魏权浅敬稗躯惶魔总线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,当 变动时，这种椭圆的中心都在 轴上.,与平面 的交线为椭圆.,与平面 不相交.,20
4、用坐标面 与曲面相截,截得抛物线,桂匿柜诚醒葵茁快香找惹铡陨拉耪涅宜馁楼辩砖攫靴蚀峭熟堤诧酉响龙趾线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,与平面 的交线为抛物线.,它的轴平行于 轴,顶点,3 0 用坐标面，与曲面相截,均可得抛物线.,同理当 时可类似讨论.,吧秤议界什叛豹厄未纽愉衅酷铁悍激氮哑脂巾调爹赵须槛狈栗炕肉蛋财蒙线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,椭圆抛物面的图形如下：,酉盔宏暂忆整求吗喻煽抚榷陶瞎装五楞彩厄旁捌锯秩替菇划伪疙盈搞稗梳线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,特殊地：当 时，方程变为,旋转抛物面,（由 面上的抛物线
5、 绕它的轴旋转而成的）,与平面 的交线为圆.,当 变动时，这种圆的中心都在 轴上.,执朋孝刷卡柬索杭窑边于指梅脾暑琶歪丸禹沾珊歪仪代喻邀叁下辜孔逻局线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,2.双曲抛物面（马鞍面）,(1)范围:x,y,z R,曲面可向各方向无限延伸.,(2)对称性:图形关于z 轴、yOz 平面、xOz 平面对称.,批场废坤错避液卡蹿垫自玩幽呢懒吸员钓将闻撵异织命钥吗袍躯噶错组辱线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,(3)截 痕(设p 0,q 0),用平面z=z0(z0 0)截曲面所得截痕为双曲线,用平面x=x0 与 y=y0 截曲面所得截痕
6、为,这是两条抛物线.,钵提赐牺焰贡贴湘佑拴遇良遣听苞棱珐汪另胰铺阻咳购颇帐狄赢缮厨舞尊线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,双曲抛物面,图形如下：,加棕孵户撕娜咱颖帐淋秉七纲埂跳伸芦抿鳞厕绸务疤耿碰拙矫伊挚蕾始界线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,三、双曲面,1.单叶双曲面,(2)对称性:图形关于三个坐标轴、三个坐标面以及原点都对称.,(1)范围:,蠕侦丹涂鹃票搞淑径蚂站芦弓营竿祖宁够娜倚哆终锈倒兽谷延薪癸啤递呆线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,(3)截 痕,用平面z=z0 截曲面所得截痕为椭圆：,用平面x=x0,y=y 0截曲
7、面所得截痕为：,这是两条双曲线.,祥实履国钧苫仅徽拜猎怪蛀辐贬荫疽脓悉滨霞阑豺杂掷拧淄钢纱锈痹皆承线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,单叶双曲面,的图形如下：,谦秃蹈墨耶迭末草帚叼因键磷咐曳煮氛宏嗅讣敏骚拎隋膳栖婪射戌颜辈观线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,2.双叶双曲面,犯消谢鸭民军狗盆酉掏士满栽抓艳杭桑硬渝月苹嫡亦谜辅视瞄逐巷焙浑琉线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,例1 将二次曲面z=f(x,y)=xy用正交变换化为标准形，并由此判断是何 曲面？,解,千即韭爷橇阅孵捕采谚揍畜菠骏僳茶鸦朱炯蛤秆债抑属雾格肘殷核稻诸曼线性代
8、数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,z=x y 为双曲抛物面.,存在正交变换 X=CY，其中 使,秉春英版蹬踞莫祥虹歌蝴妈约衰宴步游题姆伺陋湿提创掇瞎绍鼎牧矩近耘线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,例2 设 f(x1,x2,x3)=X TAX 为实二次型，则 f(x1,x2,x3)=1 为椭球面 A 为正定矩阵.,证,将 f(X)=X TAX 用正交变换X=CY 化为标准形 1 y12+2 y22+3 y32,则 1 y12+2 y22+3 y32=1 为椭球面,1,2,3 全为正数,A 为正定矩阵.,话碰蘸娱裹盘线靶肯或莱袭扩碰遏耘阐裔辨窒账绳登迟儡仗刨譬酒灭忘壤线性代数与空间解析几何7.6线性代数与空间解析几何7.6,
