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1、再探数量积性质及其应用江西省石城县赣源中学 温昌有邮政编码：342700 电话：13803583642 【摘 要】：教材中的好多知识看起来是孤立的，若能在引领学生认知这些内容时，有“意识”的揭示这种“知识链”，让学生对知识的理解“水到渠成”，这不失为一种有效教学的好途径。【关键词】：数量积 向量 三大角即线线角、线面角、二面角的平面角.在高中数学教材中，有两个显著变化是向量和导数的引入。对研究函数、空间图形，提供新的研究手段，但只有在深刻理解的基础上才能用好，而要想用活，这又需要我们在实践中不断“开发”新的认识，丰富知识网络，形成较完善的“认知模块”、“知识体系”。例如关于空间向量的数量积有这
2、样三条性质：（1），（2），（3）。性质（2）（3）学生比较容易理解，可是对于性质（1），比较难理解，甚至认为这条性质没有什么“本质上”的用处，有点像“房间里的摆设”配角。但是随着时间的推移，笔者发现了它的奥妙之处：在后继的有关空间问题中的“三大角度”和“三大基本距离”的坐标法的研究中有着奇妙无穷的用途，并带来意想不到的“知识链”反应，极大地丰富了关于空间向量的“数量积”这一运算的“认知模块”的内涵。一、性质的认识已知向量和轴l，是l上与l同方向的单位向量，作点A在l上的射影，作点B在l上的射影 则叫向量在轴l上或在方向上的正射影，简称射影。 可得，此性质的内含理解有四点：结果是一个数量（本身
3、含正负号）；其正负号由向量所成角的范围决定；加上绝对值便是一条线段长度（这里刚好组成一个直角三角形的两条直角边）；可以推广为求一条线段在另一条直线上的正射影（此线段所在直线与已知直线的位置关系可以异面直线）。二、性质的知识链引进空间向量的“坐标法”来解决空间中“三大角”问题，学生觉得这种方法好！可操作性强！（只要能建系，有坐标就行！）但在实际应用中，学生觉得这些结论不易理解，加上这些结论只能逐步形成和完善，靠死记硬背，容易忘记，等到用时，仍是生硬呆板，甚至张冠李戴。如何突破这一问题？笔者认为根本原因是学生的认知结构里，对性质未能形成知识链。那么，这一性质是怎样与相关问题产生对接或联系的呢？它是
4、空间三大角（即线线角、线面角、二面角的平面角）用向量法求解的对接点。（1）线线角的求法的认识：我们把这两条线赋予恰当的两个向量，问题就化归为两个向量的夹角（两个向量所成的角的范围为），即,我们能否加以重新认识这个公式呢？如图，AOOBOB1OabqAOOBOB1OabqAOOBO(B1)Oabq，此时OB1可以看作是与方向上的单位向量的数量积，这就是由数量积这条性质滋生而成的；故此结论重新可以理解为：（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。（2）线面角的求法的新认识：naAPOq（其中为平面的一个法向量），此结论重新可以理解为：，此时OP又可以看作是在上的投影，即与方向上的单位向量的
5、数量积，故（这里刚好满足三角函数中正弦的定义：对边比斜边）。（3）二面角的平面角的求法的新认识：=（其中是两二面角所在平面的各一个法向量）此结论重新可以理解为：（这里刚好满足三角函数中余弦的定义：邻边比斜边）。(4)三大角的统一理解：、从上述梳理完全可以看出其本质特征：这里的空间角的求法，完全与直角三角形中的三角函数的正弦或余弦的定义发生了对接对边或邻边就是斜边的向量在此边向量上的投影，即斜边向量与对边或邻边方向上的单位向量的数量积，而理解与掌握这里的空间角的直角三角形的构图，学生完全可以达到系统化和自主化，因为直角三角形中的三角函数定义，他们太熟悉了！即将知识的生长点建立在学生认知水平的最近
6、发展区，那学习就会水到渠成！ 三、性质的应用例1如图，已知长方体直线与平面所成的角为，垂直于，为的中点.（I）求异面直线与所成的角；（II）求平面与平面所成的二面角；（III）求点到平面的距离.解：在长方体中，以所在的直线为轴，以所在的直线为轴，所在的直线为轴建立如图示空间直角坐标系；由已知可得，又平面，从而与平面所成的角为，又，从而易得（I） 因为所以，易知异面直线所成的角为（II） 易知平面的一个法向量，设是平面的一个法向量，由即所以即平面与平面所成的二面角的大小（锐角）为（III）点到平面的距离，即在平面的法向量上的投影的绝对值，所以距离=所以点到平面的距离为通过上述高考题的分析，我们不难看出：立体几何中的几何法的难，在于找（或作）所求的角度或距离,通过这个数量积的性质的转化，其“难”渐渐地溶解于“转换与化归”之中及学生的细心地“计算”之中，从而也体会了数量积这条性质的奥妙之处，也就更体现了“向量”这个工具在立体几何中应用的优越性、工具性。同时让我们的学生也懂得了“知其所以然”，再也不用为记这一个“好结论”而烦恼了！
