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1、学案12 导数的应用(一),考点1,考点2,考点3,返回目录,考 纲 解 读,考 向 预 测,返回目录,从近两年高考试题来看,利用导数来研究函数的单调性和极值问题已成为炙手可热的考点,既有小题,也有解答题,小题主要考查利用导数研究函数的单调性和极值,解答题主要考查导数与函数单调性或方程、不等式的综合应用.预测2012年高考仍将以利用导数研究函数的单调性与极值为主要考向，同时考查学生分析问题、解决问题的能力.,返回目录,1.函数的单调性 在(a,b)内可导函数f(x),f(x)在(a,b)任意子区间内都不恒等于0.f(x)0 f(x)为;f(x)0 f(x)为.,减函数,增函数,返回目录,2.函
2、数的极值(1)判断f(x0)是极值的方法 一般地,当函数f(x)在点x0处连续时,如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极大值.如果在x0附近的左侧,右侧,那么f(x0)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤 求f(x);求方程 的根;,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)0,f(x)=0,返回目录,考察在每个根x0附近,从左到右导函数f(x)的符号如何变化.如果左正右负,那么f(x)在x0处取得;如果左负右正,那么f(x)在x0处取得.,极小值,极大值,(3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b)内可导,求y=f(x)在a,b上的最大值与最小值的步骤如下:求函数y=f(x)在
3、(a,b)内的;将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a),f(b)比较,其中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.,返回目录,极值,返回目录,考点1 函数的单调性与导数,求下列函数的单调区间:(1)f(x)=x4-2x2+3;(2)f(x)=;(3)f(x)=x+(b0).,【解析】(1)函数f(x)的定义域为R.f(x)=4x3-4x=4x(x2-1)=4x(x+1)(x-1).令f(x)0,则4x(x+1)(x-1)0.解得-11.函数f(x)的单调递增区间为(-1,0)和(1,+).令f(x)0,则4x(x+1)(x-1)0.解得x-1或0 x1.函数f(x)的单调递减区间为
4、(-,-1)和(0,1).,【分析】为了提高解题准确性,在利用求导的方法确定函数的单调区间时,必须先求出函数的定义域,然后再求导判断符号.,返回目录,(2)要使函数y=有意义,必须2x-x20,即0 x2.函数的定义域为0,2.f(x)=()=(2x-x2)(2x-x2)=.令f(x)0,则 0.1-x0 2x-x20函数的单调递增区间为(0,1).令f(x)0函数的单调递减区间为(1,2).,返回目录,即,0 x1.,即,1x2.,(3)函数的定义域为x0.f(x)=（）=1-=.令f(x)0,则 0.x 或x-.函数的单调递增区间为(-,-)和(,+).令f(x)0,则 0.-x,且x0.
5、函数的单调递减区间为(-,0)和(0,).,返回目录,依据导数在某一区间内的符号来确定函数的单调区间,体现了形象思维的直观性和运动性,解决这类问题,如果仅利用函数单调性的定义来确定函数的单调区间,则运算复杂且区间难以找准.另外,单调区间不可写成并集的形式.,返回目录,求下列函数的单调区间:(1)y=x3-x2-2x+5;(2)y=2x2-lnx.,【解析】(1)y=3x2-x-2=(3x+2)(x-1),令y0,得x（-,-）(1,+),当x（-,1）时,y0,函数的增区间为（-,-）,(1,+);函数的减区间为（-,1）.,返回目录,(2)y=4x-=,定义域为(0,+),令y0.函数的增区
6、间为（,+）,函数的减区间为（0,）.,返回目录,考点2 用导数求变量的范围,已知函数f(x)=mx3+mx2+3x在R上是增函数，求实数m的取值范围.,返回目录,【分析】因为f(x)0是f(x)为增函数的充分非必要条件,当使f(x)=0时点为离散时的点时,只要有f(x)0,f(x)也为增函数.所以,求m的范围时,应要求f(x)0.,【解析】f(x)=3mx2+2mx+3.(1)当m=0时,f(x)=30,f(x)在R上为增函数.(2)当m0时,f(x)=0的=4m2-36m=4m(m-9).当m0，说明存在区间使f(x)0.m0时,f(x)在R上不是增函数;当0m9时,f(x)的图象开口向下
7、且0,说明f(x)恒大于0.0m9时,f(x)在R上是增函数；,返回目录,返回目录,当m=9时,f(x)=9x3+9x2+3x=,由函数y=x3的单调性可知m=9时,f(x)在R上是增函数;当m9时,f(x)开口向上且0,说明存在区间使f(x)9时,f(x)在R上不是增函数.综上所述,所求m的取值范围是0,9.,利用导数研函数的单调性比用函数单调性的定义方便,但应注意f(x)0(或f(x)0）仅是f(x)在某个区间上为增函数(或减函数)的充分条件,在(a,b)内可导的函数f(x)在(a,b)上递增(或递减)的充要条件应f(x)0(f(x)0),x(a,b)恒成立，且f(x)在(a,b)的任意子
8、区间内都不恒等于0,这就是说,函数f(x)在区间上的增减性并不排斥在区间内个别点处有f(x0)=0,甚至可以在无穷多个点处f(x0)=0,只要这样的点不能充满所给区间的任何一个子区间,因此,在已知函数f(x)是增函数(或减函数)求参数的取值范围时，应令f(x)0(或f(x)0)恒成立，解出参数的取值范围(一般可用不等式恒成立理论求解),然后检验参数的取值能否使f(x)恒等于0,若能恒等于0,则参数的这个值应舍去,若f(x)不恒为0,则由f(x)0(或f(x)0)恒成立解出的参数的取值范围确定.,返回目录,已知函数f(x)=x3-ax-1.(1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围
9、;(2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a的取值范围;若不存在,说明理由;(3)证明:f(x)=x3-ax-1的图象不可能总在直线y=a的上方.,【解析】(1)由已知f(x)=3x2-a,f(x)在(-,+)上是单调增函数,f(x)=3x2-a0在(-,+)上恒成立,即a3x2对xR恒成立.3x20,只需a0,又a=0时,f(x)=3x20,故f(x)=x3-1在R上是增函数,则a0.,返回目录,(2)由f(x)=3x2-a0在(-1,1)上恒成立,得a3x2,x(-1,1)恒成立.-1x1,3x23,只需a3.当a=3时,f(x)=3(x2-1),在x(-1,
10、1)上,f(x)0,即f(x)在(-1,1)上为减函数,a3.故存在实数a3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.(3)证明:f(-1)=a-2a,f(x)的图象不可能总在直线y=a的上方.,返回目录,【解析】由f(x)=sinx-cosx+x+1,0 x2,知f(x)=cosx+sinx+1,于是f(x)=1+sin（x+）,令f(x)=0,从而sin（x+）=-,得x=或x=.,考点3 用导数研究函数的极值,2010年高考安徽卷设函f(x)=sinxcosx+x+1,0 x2求函数f(x)的单调区间与极值.,返回目录,【分析】由求函数极值的步骤和方法求解.,当x变化时,f(x),f(x)变
11、化情况如下表:因此,由上表知f(x)的单调递增区间是(0,)与（,2）,单调递减区间是（,）,极小值为f（）=,极大值为f()=+2.,返回目录,返回目录,利用导数研究函数的极值的一般流程:,设函数f(x)=-x(x-a)2(xR)，其中aR.（1）当a=1时，求曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程；（2）当a0时，求函数f(x)的极大值和极小值.,【解析】(1)当a=1时,f(x)=-x(x-1)2=-x3+2x2-x,f(2)=-2,f(x)=-3x2+4x-1,f(2)=-12+8-1=-5,当a=1时，曲线y=f(x)在点(2,f(2)处的切线方程为5x+y-8=0.,返回目
12、录,(2)f(x)=-x(x-a)2=-x3+2ax2-a2x,f(x)=-3x2+4ax-a2=-(3x-a)(x-a),令f(x)=0，解得x=或x=a.由于a0，以下分两种情况讨论.若a0,当x变化时，f（x）,f(x)的变化情况如下表：,因此，函数f(x)在x=处取得极小值f(),且f()=;函数f(x)在x=a处取得极大值f(a),且f(a)=0.,返回目录,若a0,当x变化时，f（x）,f(x)的变化情况如下表：,因此，函数f(x)在x=a处取得极小值f(a),且f(a)=0;函数f(x)在x=处取得极大值f(),且f()=.,返回目录,返回目录,1.用导数研究函数单调性时，求单调区间对区间的开闭没有很高的要求，提倡用开区间，但在解决已知单调区间求字母范围的问题中，对字母范围的要求很高，该开就开，该闭就闭.一般情况下不管单调区间是开还是闭,字母均能取等号,只要此时函数不是常数函数即可.,2.可导函数的极值(1)极值是一个局部性概念,一个函数在其定义域内可以有许多个极大值和极小值,在某一点的极小值也可能大于另一点的极大值,也就是说极大值与极小值没有必然的大小关系.(2)若f(x)在(a,b)内有极值,那么f(x)在(a,b)内绝不是单调函数,即在某区间上单调增或减的函数没有极值.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
