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1、学案3 三角函数的图象,考点1,考点2,考点3,返回目录,考 纲 解 读,返回目录,三角函数的图象是三角函数概念和性质的直观形象的反映，高考对这部分内容的考查主要是三角函数的图象的变换和解析式的确定以及通过图象的描绘、观察,讨论函数的有关性质，题型设计以选择题、解答题的形式出现，属低难度的题.,考 向 预 测,返回目录,1.“五点法”作y=Asin(x+)(A0,0)的简图五点的取法是：设X=x+，由X取 来求相应的x值，及对应的y值，再描点作图.2.变换作图法作y=Asin(x+)（A0,0）的图象(1)振幅变换：y=sinxy=Asinx,返回目录,将y=sinx的图象上各点的纵坐标变为原
2、来的 倍(横坐标不变).(2)相位变换：y=Asinxy=Asin(x+)将y=Asinx的图象上所有点向左（0）或向右(0)平移 个单位.(3)周期变换:y=Asin(x+)y=Asin(x+)将y=Asin(x+)图象上各点的横坐标变为原来的 倍（纵坐标不变）.(4)由y=sinx的图象变换到y=Asin(x+)的图象.一般先作 变换，后作 变换，即,A,|,相位,周期,返回目录,y=sinxy=sin(x+)y=sin(x+)y=Asin(x+).如果先作 变换，后作 变换，则左右平移时不是|个单位，而是 个单位,即y=sinxy=sin（x+）是左右平移 个单位长度.3.y=Asin(
3、x+)(A0,0),x0,+)在物理中的应用 A为，T=为，f=为，x+为，为.,周期,相位,振幅,周期,频率,相 位,初 相,4.图象的对称性 函数y=Asin(x+)(A0,0)的图象具有轴对称和中心对称的性质.具体如下：（1）函数y=Asin(x+)的图象关于直线 成轴对称图形.（2）函数y=Asin(x+)的图象关于点 成中心对称图形.,返回目录,（其中xj+=k,kZ）,x=xk,(其中xk+=k+,kZ),(xj,0),返回目录,考点1 三角函数的图象,2010年高考山东卷已知函数f(x)=sin2xsin+cos2xcos-sin(+)(0),其图象过点.(1)求的值;(2)将函
4、数y=f(x)的图象上各点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,得到函数y=g(x)的图象,求函数g(x)在 上的最大值和最小值.,【分析】(1)化一角一函后代入点 求的值.（2）利用图象变换求出函数g(x)的表达式.,返回目录,【解析】(1)f(x)=sin2xsin+cos-cos=(sin2xsin+cos2xcos)=cos(2x-).又f(x)过点,=cos(-),cos(-)=1.由0知=.,返回目录,(2)由(1)知f(x)=cos(2x-).将f(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的,纵坐标不变,变为g(x)=cos(4x-).0 x,-4x-.当4x-=0,即x=时,g(x)有最
5、大值;当4x-=,即x=时，g(x)有最小值-.,返回目录,本题考查三角函数的恒等变换、已知三角函数值求角、三角函数的伸缩变换及三角函数的性质等知识，考查三角恒等变换能力、推理运算能力及利用所学知识综合分析、解决问题的能力.,返回目录,已知f(x)=2sin2x+2sinxcosx,xR.(1)求函数f(x)的最小正周期和最大值;(2）在给出的直角坐标系中，画出函数y=f(x)在区间-上的图象.,【解析】(1)f(x)=2sin2x+2sinxcosx=1-cos2x+sin2x=1+(sin2xcos-cos2xsin)=1+sin(2x-).所以函数f(x)的最小正周期为，最大值为1+.(
6、2)由（1）知,返回目录,返回目录,故函数y=f(x)在区间 上的图像如下：,返回目录,【分析】首先确定A.若以N为五点法作图中的第一个零点,由于此时曲线是先下降后上升(类似于y=-sinx的图象),所以A0;若以M点为第一个零点,由于此时曲线,考点2 已知三角函数图象求解析式,如图为y=Asin(x+)的图象的一段,求其解析式.,是先上升后下降(类似于y=sinx的图象),所以A0.而=,可由相位来确定.,【解析】解法一:以N为第一个零点,则A=-,T=()=,=2,此时解析式为y=-sin(2x+).点N(-,0),-2+=0,=,所求解析式为y=-sin(2x+).,返回目录,解法二:由
7、图象知A=,以M(,0)为第一个零点,P(,0)为第二个零点.+=0=2+=,=-.所求解析式为y=sin(2x-).,返回目录,解之得,列方程组,(1)与是一致的,由可得,事实上y=-sin(2x+)=-sin(2x+-)=sin(2x-),同样由也可得.(2)由此题两种解法可见,在由图象求解析式时，“第一个零点”的确定是重要的，应尽量使A取正值.(3)已知函数图象求函数 y=Asin(x+)(A0,0)的解析式时,常用的解题方法是待定系数法,由图中的最大值或最小值确定A,由周期确定,由适合解析式的点的坐标来确定,但由,返回目录,返回目录,图象求得的y=Asin(x+)(A0,0)的解析式一
8、般不唯一,只有限定的取值范围,才能得出唯一解,否则的值不确定,解析式也就不唯一.(4)将若干个点代入函数式,可以求得相关待定系数A,这里需要注意的是,要认清选择的点属于“五点”中的哪一个位置点，并能正确代入式中.依据五点列表法原理,点的序号与式子的关系是:“第一点”（即图象上升时与x轴的交点）为x+=0；“第二点”（即图象曲线的最高点）为x+=；“第三点”（即图象下降时与x轴的交点）为x+=;“第四点”（即图象曲线的最低点）为x+=;“第五点”为x+=2.,返回目录,如图所示，它是函数y=Asin(x+)(A0,0),|的图象，由图中条件，写出该函数的解析式.,由图知A=5，由 得T=3,=.
9、此时y=5sin(x+).下面介绍怎样求初相.解法一：（单调性法）点(,0)在递减的那段曲线上，+2k+,2k+(kZ).由sin(+)=0得+=2k+(kZ),=2k+(kZ).|,=.,返回目录,返回目录,解法二：（最值点法）将最高点坐标(,5)代入y=5sin(x+)，得5sin(+)=5,+=2k+(kZ),=2k+(kZ).又|,=.,解法三：（起始点法）函数y=Asin(x+)的图象一般由“五点法”作出，而起始点的横坐标x正是由x+=0解得的.故只要找出起始点横坐标x0，就可以迅速求得角.由图象易得x0=-,=-x0=-()=.,返回目录,返回目录,解法四：（平移法）由图象知，将y
10、=5sin x的图象沿x轴向左平移 个单位，就得到本题图象.故所求函数解析式为y=5sin(x+)=5sin(x+).,返回目录,2010年高考福建卷已知函数f(x)=3sin(x-)(0)和g(x)=2cos(2x+)+1的图象的对称轴完全相同.若x,则f(x)的取值范围是.,【分析】利用两图象对称轴完全相同得出两函数周期相同,则可求出.,考点3 三角函数图象的对称性,【解析】由对称轴完全相同知两函数周期相同,=2,f(x)=3sin(2x-).,返回目录,由x 得-2x-,-f(x)3.故填.,本题关键是求出,再利用x的取值范围求出f(x)的取值范围.,返回目录,返回目录,将函数y=sin
11、2x的图象向右平移(0)个单位，得到的图象恰好关于x=对称，则的最小值为.,y=sin2x的图象向右平移个单位得到y=sin2(x-)的图象，又关于x=对称，则2(-)=k+(kZ),2=-k-,取k=-1,得=.,返回目录,1.由函数y=sinx(xR)的图象经过变换得到函数y=Asin(x+)的图象,在具体问题中,可先平移变换后 伸缩变换,也可以先伸缩变换后平移变换,但要注意:先伸缩,后平移时要把x前面的系数提取出来.2.(1)五点法作函数图象及函数图象变换问题 当明确了函数图象基本特征后,“描点法”是作函数图象的快捷方式.运用“五点法”作正、余弦型函数图象时，应取好五个特殊点，并注意曲线
12、的凹凸方向.,返回目录,在进行三角函数图象变换时,提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母x而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少.(2)由图象确定函数解析式 由函数y=Asin(x+)的图象确定A,的题型,常常以“五点法”中的第一零点(,0)作为突破口，要从图象的升降情况找准第一零点的位置.要善于抓住特殊量和特殊点.,返回目录,(3)对称问题 函数y=Asin(x+)的图象与x轴的每一个交点均为其对称中心,经过该图象上坐标为(x,A)的点与x轴垂直的每一条直线均为其图象的对称轴,这样的最近两点间横坐标的差的绝对值是半个周期(或两个相邻平衡点间的距离).,祝同学们学习上天天有进步！,
