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1、学案5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式,考点1,考点2,考点3,返回目录,考 纲 解 读,考 向 预 测,在选择题、填空题以及解答题中出现最多的题型就是三角求值问题.解答这类题目需要重视应用三角公式对三角式进行变换，需要有熟练的恒等变形能力，故求值题仍将是今后命题的重点内容.,返回目录,返回目录,1.cos(-)=coscos+sinsin(C(-)cos(+)=(C(+)sin(-)=sincos-cossin(S(-)sin(+)=(S(+)tan(-)=(T(-)tan(+)=(T(+),coscos-sinsin,sincos+cossin,前面4个公式对任意的,都成立,而后面两个公
2、式成立的条件是k+,k+,kZ,且+k+(T(+)需满足),-k+(T(-)需满足)kZ时成立,否则是不成立的.当tan,tan或tan()的值不存在时,不能使用公式T()处理有关问题,应改用诱导公式或其它方法求解.2.要辨证地看待和角与差角,根据需要,可以进行适当的变换:=(+)-,=(-)+,2=(+)+(-),2=(+)-(-)等.,返回目录,3.二倍角公式 sin2=;cos2=;tan2=.4.在准确熟练地记住公式的基础上,要灵活运用公式解决问题:如公式的正用、逆用和变形应用等.如T()可变形为:tantan=,tantan=.,2sincos,cos2-sin2,2cos2-1,1
3、-2sin2,返回目录,5.函数f()=acos+bsin(a,b为常数),可以化为f()=或f()=,其中 可由a,b的值唯一确定.,返回目录,【分析】注意角之间的关系,切化弦,从题设代数式联系与三角函数公式结构的差异,寻找解题思路,同时将非特殊角转化为特殊角或通过约分消掉.,考点1 三角函数的化简求值,求2sin50+sin10(1+tan10)的值.,返回目录,【解析】原式=2sin50+sin10(1+)sin80=(2sin50+sin10)sin80=(2sin50+2sin10)cos10=(2sin50+)cos10=2cos10=2 sin60=2=.,返回目录,对于给角求值
4、问题,往往所给角都是非特殊角,解决这类问题的基本思路有:(1)化为特殊角的三角函数值;(2)化为正、负相消的项，消去求值；(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值.,返回目录,求下列各式的值:（1）;（2）,返回目录,(1)原式,返回目录,（2）原式,返回目录,已知tan=-,cos=,(0,).（1）求tan(+)的值；（2）求函数f(x)=sin(x-)+cos(x+）的最大值.,考点2 三角函数的给值求值问题,【分析】(1)先求出tan的值,再求tan(+)的值.(2)求出,的正、余弦，再展开化简.,返回目录,【解析】(1)由cos=,=(0,),得sin=,tan=2,所以tan(+)
5、=1.(2)因为tan=-,(0,),所以sin=,cos=-,f(x)=-sinx-cosx+cosx-sinx=-sinx.所以f(x)的最大值为.,返回目录,对于给值求值问题,即由给出的某些角的三角函数的值,求另外一些角的三角函数值,关键在于“变角”，使“所求角”变为“已知角”，若角所在象限没有确定，则应分类讨论.应注意公式的灵活运用,掌握其结构特征,还要会拆角、拼角等技巧.,返回目录,已知为第二象限角,sin=,为第一象限角,cos=,求tan(2-)的值.,【解析】解法一:,为第二象限角,sin=,cos=,tan=.tan2=.为第一象限角,cos=,sin=,tan=,tan(2
6、-)=.,返回目录,解法二：为第二象限角，sin=,cos=.为第一象限，cos=,sin=.故sin2=2sincos=,cos2=1-2sin2=,sin(2-)=sin2cos-cos2sin=-,cos(2-)=cos2cos+sin2sin=-,tan(2-)=.,返回目录,若sin=,sin=,且,为锐角,求+的值.,【分析】欲求+,先求+的一个三角函数值,再由,的范围确定出+的值.,考点3 给值求角问题,【解析】,为锐角,且sin=,sin=,cos=,cos=.cos(+)=coscos-sinsin=.又,均为锐角,0+,+=.,返回目录,(1)通过求角的某种三角函数值来求角
7、,在选取函数时,可遵照下列原则:已知正切函数值,选正切函数;已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是(0，)，选正、余弦皆可；若角的范围是（0，），选余弦较好；若角的范围是()，选正弦较好.(2)解这类问题的一般步骤为:求角的某一个三角函数值;确定角的范围;根据角的范围写出所求的角.,返回目录,已知0,0,且3sin=sin(2+),4tan=1-tan2,求+的值.,返回目录,由4tan=1-tan2,得由3sin(+)-=sin(+)+,得tan(+)=2tan,tan(+)=1.又0,0,0+,+=.,返回目录,1.巧用公式变形:和差角公式变形:tanxtany=tan(xy)
8、(1tanxtany);倍角公式变形:降幂公式cos2=,sin2=;配方变形：1sin=（sin cos）2,1+cos=2cos2,1-cos=2sin2.2.利用辅助角公式求最值、单调区间、周期.y=asin+bcos=sin(+)其中tan=有：|y|.,返回目录,3.重视三角函数的“三变”：“三变”是指“变角、变名、变式”；变角为：对角的分拆要尽可能化成同名、同角、特殊角；变名：尽可能减少函数名称；变式：对式子变形一般要尽可能有理化、整式化、降低次数等.在解决求值、化简、证明问题时，一般是观察角度、函数名、所求（或所证明）问题的整体形式中的差异，再选择适当的三角公式恒等变形.4.已知和角函数值,求单角或和角的三角函数值的技巧:把已知条件的和角进行加减或二倍角后再加减,观察是不是常数角,只要是常数角,就可以从此入手,给这个等式两边求某一函数值,可使所求的复杂问题简单化.,返回目录,5.熟悉三角公式的整体结构,灵活变换.本学案要重视公式的推导,既要熟悉三角公式的代数结构,更要掌握公式中角和函数名称的特征,要体会公式间的联系,掌握常见的公式变形,倍角公式应用是重点,涉及倍角或半角的都可以利用倍角公式及其变形.,返回目录,祝同学们学习上天天有进步！,
