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1、页眉内容9.函数与方程一、知识要点1.零点的概念（1）定义使函数的实数的值叫的零点.（2）几何意义及代数意义的零点曲线与轴的交点的横坐标方程的实根.2.零点的性质（1）函数的图象穿过零点时，函数值变号；（2）相邻两零点之间的函数值同号.3.零点存在性的判断（零点定理）（1）在区间上的连续函数满足，则至少存在一个实数，使得，即在上至少存在一个零点.若在上严格单调，则在上存在唯一实数，使得.4.求方程的实根（或判断实根个数）的方法（1）代数法：解方程；（2）数形结合法：求曲线与轴的交点；（3）辅助函数法：求曲线与的交点个数，转化为求函数的零点个数.5.用“二分法”求零点的近似值（1）给定区间及精确
2、度，验证；（2）求区间的中点，计算；（3）验证与的符号：若，则为零点；若，则零点，令；若，则零点，令；判断是否成立，若成立，则任取中的一个数为零点，否则，重复至的步骤.二、考点演练题型一：确定零点所在的区间1.设函数与的图象的交点为，则所在的区间是（ ）A. B. C. D.2.已知函数，当时，函数的零点，则_.题型二：确定区间上零点的个数3.若函数的两个极值点为，且，则关于的方程的不同实根个数为_.4.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，则方程的实数解的个数为_.题型三：利用零点确定参数的值或取值范围5.设方程的根为，方程的根为，则的值为_.6.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值
3、范围是_.7.设是定义在R上的偶函数，对于，都有，且当时，若在区间内关于的方程恰有7个不同的实数根，则的取值范围是_.题型四：零点的综合应用8.设函数.（1）设，证明：在区间内存在唯一零点；（2）设，若对于，有，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性.9.设函数是自然对数的底数，.（1）求的单调区间及最大值；（2）讨论关于的方程根的个数.9.函数与方程一、知识要点1.零点的概念（1）定义使函数的实数的值叫的零点.（2）几何意义及代数意义的零点曲线与轴的交点的横坐标方程的实根.2.零点的性质（1）函数的图象穿过零点时，函数值变号；（2）相邻两零点之间的函数值同号.
4、3.零点存在性的判断（零点定理）（1）在区间上的连续函数满足，则至少存在一个实数，使得，即在上至少存在一个零点.若在上严格单调，则在上存在唯一实数，使得.4.求方程的实根（或判断实根个数）的方法（1）代数法：解方程；（2）数形结合法：求曲线与轴的交点；（3）辅助函数法：求曲线与的交点个数，转化为求函数的零点个数.5.用“二分法”求零点的近似值（1）给定区间及精确度，验证；（2）求区间的中点，计算；（3）验证与的符号：若，则为零点；若，则零点，令；若，则零点，令；判断是否成立，若成立，则任取中的一个数为零点，否则，重复至的步骤.二、考点演练题型一：确定零点所在的区间1.设函数与的图象的交点为，则
5、所在的区间是（ ）A. B. C. D.【解析】令.则；.所以，所以所在的区间是.选B.2.已知函数，当时，函数的零点，则_.【解析】令，则，所以的零点，则.题型二：确定区间上零点的个数3.若函数的两个极值点为，且，则关于的方程的不同实根个数为_.【解析】，因为是的两个极值点，所以是的两根，于是方程的解为.不妨令，因为，所以同图象知有两解，只有一解，所以共有3个实数解.4.已知定义在R上的偶函数满足，且当时，则方程的实数解的个数为_.【解析】方程的实数解的个数即为函数与的图象的交点个数.由已知得是周期为2的周期函数，其图象如图所示，当时，所以共有9个交点，即方程有9个实数解.题型三：利用零点确
6、定参数的值或取值范围5.设方程的根为，方程的根为，则的值为_.【解析】即为与的图象的交点M的横坐标；即与的图象的交点N的横坐标.因为与的图象关于直线对称，直线也关于对称，所以两个交点关于对称，于是与的交点P即为MN的中点，所以.6.已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则的取值范围是_.【解析】在上存在点，其关于轴的对称点在的图象上，所以，即.等价于函数在存在零点.因为，所以在递增，当时，要使在存在零点，只需， 即，所以.7.设是定义在R上的偶函数，对于，都有，且当时，若在区间内关于的方程恰有7个不同的实数根，则的取值范围是_.【解析】方程在有7个实数根，即为与的图象有7个交点，由已知得是周期
7、为2的周期函数，由图象得，解之得.题型四：零点的综合应用8.设函数.（1）设，证明：在区间内存在唯一零点；（2）设，若对于，有，求的取值范围；（3）在（1）的条件下，设是在内的零点，判断数列的增减性.【解析】（1）当时，.又因为当时，.（2）当时，.对任意上的最大值与最小值之差.据此分类讨论如下：.综上得.（3）证法一：设是在内的唯一零点.则.又由（1）知在上递增，所以.所以数列是递增数列.9.设函数是自然对数的底数，.（1）求的单调区间及最大值；（2）讨论关于的方程根的个数.【解析】（1）.令，则.当时，单调递增；当时，单调递减.于是函数的单调递增区间是，单调递减区间是.最大值为.（2）令，.当时.，则，则.因为，所以，因此在(1,)上单调递增.当时.，则.则.因为，所以.又，所以，即，因此g(x)在(0,1)上单调递减.综合可知，当时，.当，即时，没有零点，方程根的个数为0；当，即时，有唯一零点，方程根的个数为1；当，即时，有两个零点，方程根的个数为2.综上，当时，方程根的个数为0；当时，方程根的个数为1；当时，方程根的个数为2.
