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1、高一数学选修课系列讲座（一）-分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如，等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如，等。二、学习探究探究任务一：函数的图像与性质问题1：的图像是怎样的？例1 画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。小结：的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借助“分离常数”的处理方法。分式函数的图像与性质： （1）定义域： ； （2）值域： ；（3）单调性：单调区间为 ；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线 ，对称中心为点 ；（5）奇偶性：当 时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：的图像是怎样
2、的？例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。小结：分式函数的图像与性质：（1）定义域： ； （2）值域： ；（3）奇偶性： ；（4）单调性：在区间 上是增函数，在区间 上为减函数；（5）渐近线：以 轴和直线 为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。结合刚才的两个例子，思考与的图像又是怎样的呢？思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？小结：的图像如下：（i） (ii) (iii) (iv) 的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。探究任务二：函数的图像与性质问题3：例4 函数的图像是怎样的？单
3、调区间如何？思考：函数的性质如何呢？单调区间是怎样的呢？小结：对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，再结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：巩固练习：1、若则的最小值是 ；2、函数的值域是 ；3、已知内单调递减，则实数的取值范围是 ；4、不等式的在内有实数解，则实数的取值范围是 ；5、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围是 ；6、已知在区间单调递
4、减，求的取值范围是 ；7、函数的值域是 8、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”若，则函数在上的“定下界”_9、设（1）当时，求的最小值； （2）当时，判断的单调性，并写出的最小值。10、已知函数的定义域为（为常数）. （1）证明：当时，函数在定义域上是减函数；（2）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值。11、（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围。12、已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上是减函数，在上是增函数。（1）如果函数在上是减函数, 在上是增函数，求实常数
5、的值；（2）设常数，求函数的最大值和最小值。分式函数的图像与性质一、概念提出1、分式函数的概念形如的函数称为分式函数。如，等。2、分式复合函数形如的函数称为分式复合函数。如，等。二、学习探究探究任务一：函数的图像与性质问题1：的图像是怎样的？例1、画出函数的图像，依据函数图像，指出函数的单调区间、值域、对称中心。【分析】，即函数的图像可以经由函数的图像向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到。如下表所示：由此可以画出函数的图像，如下：单调减区间：；值域：；对称中心：。【反思】的图像绘制需要考虑哪些要素？该函数的单调性由哪些条件决定？【小结】的图像的绘制，可以经由反比例函数的图像平移得到，需要借
6、助“分离常数”的处理方法。分式函数的图像与性质 （1）定义域： ；（2）值域：；（3）单调性：单调区间为；（4）渐近线及对称中心：渐近线为直线，对称中心为点；（5）奇偶性：当时为奇函数；（6）图象：如图所示问题2：的图像是怎样的？例2、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】画函数图像需要考虑函数的定义域、值域、单调性与单调区间，奇偶性，周期性，凸凹性（此点不作要求），关键点坐标（最值点、与坐标轴交点）、辅助线（对称轴、渐近线）。绘图过程中需综合考虑以上要素，结合逼近与极限思想开展。解：函数的定义域为：；根据单调性定义，可以求出的单调区间增区间：减区间：函数
7、的值域为：函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：函数的图像如下：【反思】如何绘制陌生函数的图像？研究新函数性质应从哪些方面入手？【小结】分式函数的图像与性质：（1）定义域：；（2）值域：；（3）奇偶性：奇函数；（4）单调性：在区间上是增函数，在区间上为减函数；（5）渐近线：以轴和直线为渐近线；（6）图象：如右图所示例3、根据与的函数图像，绘制函数的图像，并结合函数图像指出函数具有的性质。【分析】结合刚才的绘图经验，不难绘制出的图像解：函数的定义域为：；根据单调性定义，可以判断出的单调性，单调增区间为：函数的值域为：函数的奇偶性：奇函数函数图像的渐近线为：函数的图像如下：【反思】结合刚才的两个
8、例子， 与的图像又是怎样的呢？思考与的图像是怎样的呢？的图像呢？函数的图像如下，绘制的过程可以根据刚才的绘图经验。【注】，由于与的图像关于轴对称，所以还可以根据的图像，对称的画出的图像。同样的道理的图像与的图像关于轴对称，所以图像如下：【小结】的图像如下：（i） (ii) (iii) (iv) 来源:学+科+网Z+X+X+K的单调性、值域、奇偶性等，可以结合函数的图像研究。探究任务二：函数的图像与性质问题3：函数的图像是怎样的？单调区间如何？【分析】所以的图像与的图像形状完全相同，只是位置不同。图像的对称中心为：单调增区间为：单调减区间为：值域：图像如下：【反思】函数的性质如何呢？单调区间是怎
9、样的呢？【小结】对于分式函数而言，分子次数高于分母时，可以采用问题3中的方法，将函数表达式写成部分分式，在结合函数的图像的平移，由熟悉的四类分式函数的图像得到新的函数图像，再结合函数的图像研究函数的性质。对于分子的次数低于分母的次数的时候，可以考虑分子分母同时除以分子（确保分子不为0），再着力研究分母的性质与图像，间接地研究整个函数的性质。如：例1、若则的最小值是_解：由，得来源:学科网【注】此处可以借助函数的图像与性质【变式】若，求的取值范围.例2、求函数的值域.解：，令，则，结合图像与性质，可知当时函数单调递减，当时函数单调递增，又，所以【注】“换元”后必须注意新元的范围。“换元法”是转化
10、思想的一个非常重要的途径。【变式】求函数的值域.例3、已知在区间单调递增，求的取值范围.【分析】先定性分析，再定量研究，借助分类讨论思想展开.解：当时，在区间显然单调递增；当时，结合的图像与性质，可知函数在区间单调递增当时在区间内单调递增，所以，所以综上所述，实数的取值范围为.【变式】已知在区间单调递减，求的取值范围.1、若则的最小值是_2、函数的值域是_3、已知内单调递减，求实数的取值范围。来源:学|科|网4、（1）若函数的定义域为，求实数的取值范围；（2）若函数的值域为，求实数的取值范围。5、设（1）当时，求的最小值；（2）当时，判断的单调性，并写出的最小值。2、不等式的在内有实数解，则实
11、数的取值范围_3、不等式的在内恒成立，则实数的取值范围_4、函数的值域是_5、定义在上函数，集合为实数，且对于任意，且存在常数，对于任意，均有成立，则称为函数在上的“定下界”若，则函数在上的“定下界”_7、已知函数的定义域为（为常数）. （1）证明：当时，函数在定义域上是减函数；（2）求函数在定义域上的最大值及最小值，并求出函数取最值时的值8、【06年上海】已知函数有如下性质：如果常数,那么该函数在上是减函数, 在上是增函数. （1）如果函数在上是减函数, 在上是增函数,求实常数的值；（2）设常数，求函数的最大值和最小值；（3）当是正整数时, 研究函数的单调性,并说明理由.9、【08年上海】已知函数。（1）若，求的值；（2）若对于恒成立，求实数的取值范围。10、【11年虹口】对于定义域为的函数，如果存在区间，同时满足：在内是单调函数；当定义域是时，的值域也是则称是该函数的“和谐区间”（1）求证：函数不存在“和谐区间”（2）已知函数（）有“和谐区间”，当变化时，求出的最大值（3）易知，函数是以任一区间为它的“和谐区间”试再举一例有“和谐区间”的函数，并写出它的一个“和谐区间”（不需证明，但不能用本题已讨论过的及形如的函数为例）
