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1、初三数学圆的综合的专项培优练习题(含答案)及答案一、圆的综合1（1）如图1，在矩形ABCD中，点O在边AB上，AOC=BOD，求证：AO=OB；（2）如图2，AB是O的直径，PA与O相切于点A，OP与O相交于点C，连接CB，OPA=40，求ABC的度数【答案】（1）证明见解析；（2）25.【解析】试题分析： （1）根据等量代换可求得AOD=BOC，根据矩形的对边相等，每个角都是直角，可知A=B=90，AD=BC，根据三角形全等的判定AAS证得AODBOC，从而得证结论（2）利用切线的性质和直角三角形的两个锐角互余的性质得到圆心角POA的度数，然后利用圆周角定理来求ABC的度数试题解析：（1）A
2、OC=BOD AOC -COD=BOD-COD即AOD=BOC 四边形ABCD是矩形A=B=90，AD=BC AO=OB （2）解：AB是的直径，PA与相切于点A，PAAB，A=90. 又OPA=40，AOP=50，OB=OC，B=OCB. 又AOP=B+OCB，. 2如图，AB为O的直径，点D为AB下方O上一点，点C为弧ABD的中点，连接CD，CA（1）求证：ABD=2BDC；（2）过点C作CHAB于H，交AD于E，求证：EA=EC；（3）在（2）的条件下，若OH=5，AD=24，求线段DE的长度 【答案】（1）证明见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】（1）连接AD，如图1，设BD
3、C=，ADC=，根据圆周角定理得到CAB=BDC=，由AB为O直径，得到ADB=90，根据余角的性质即可得到结论；（2）根据已知条件得到ACE=ADC，等量代换得到ACE=CAE，于是得到结论；（3）如图2，连接OC，根据圆周角定理得到COB=2CAB，等量代换得到COB=ABD，根据相似三角形的性质得到OH=5，根据勾股定理得到AB=26，由相似三角形的性质即可得到结论【详解】（1）连接AD如图1，设BDC=，ADC=，则CAB=BDC=，点C为弧ABD中点，=，ADC=DAC=，DAB=，AB为O直径，ADB=90，+=90，=90，ABD=90DAB=90（），ABD=2，ABD=2BD
4、C；（2）CHAB，ACE+CAB=ADC+BDC=90，CAB=CDB，ACE=ADC，CAE=ADC，ACE=CAE，AE=CE；（3）如图2，连接OC，COB=2CAB，ABD=2BDC，BDC=CAB，COB=ABD，OHC=ADB=90，OCHABD，OH=5，BD=10，AB=26，AO=13，AH=18，AHEADB，即=，AE=，DE=【点睛】本题考查了垂径定理，相似三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解题的关键3如图AB是ABC的外接圆O的直径，过点C作O的切线CM，延长BC到点D，使CD=BC，连接AD交CM于点E，若OD半径为3，AE=5，（1）
5、求证：CMAD；（2）求线段CE的长.【答案】（1）见解析；（2）【解析】分析：（1）连接OC，根据切线的性质和圆周角定理证得AC垂直平分BD，然后根据平行线的判定与性质证得结论；（2）根据相似三角形的判定与性质证明求解即可.详解：证明：（1）连接OCCM切O于点C，OCE=90，AB是O的直径，ACB=90，CD=BC，AC垂直平分BD，AB=AD，B=DB=OCBD=OCBOCADCED=OCE=90CMAD.（2）OA=OB，BC=CDOC=ADAD=6DE=AD-AE=1易证CDEACECE2=AEDECE=点睛：此题主要考查了切线的性质和相似三角形的判定与性质的应用，灵活判断边角之间
6、的关系是解题关键，是中档题.4如图，AB是O的直径，点C，D是半圆O的三等分点，过点C作O的切线交AD的延长线于点E，过点D作DFAB于点F，交O于点H，连接DC，AC（1）求证：AEC=90；（2）试判断以点A，O，C，D为顶点的四边形的形状，并说明理由；（3）若DC=2，求DH的长【答案】（1）证明见解析；（2）四边形AOCD为菱形；（3）DH=2【解析】试题分析：（1）连接OC，根据EC与O切点C，则OCE=90，由题意得，DAC=CAB，即可证明AEOC，则AEC+OCE=180，从而得出AEC=90；（2）四边形AOCD为菱形由（1）得，则DCA=CAB可证明四边形AOCD是平行四边
7、形，再由OA=OC，即可证明平行四边形AOCD是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD根据四边形AOCD为菱形，得OAD是等边三角形，则AOD=60，再由DHAB于点F，AB为直径，在RtOFD中，根据sinAOD=，求得DH的长试题解析：（1）连接OC，EC与O切点C，OCEC，OCE=90，点CD是半圆O的三等分点，DAC=CAB，OA=OC，CAB=OCA，DAC=OCA，AEOC（内错角相等，两直线平行）AEC+OCE=180，AEC=90；（2）四边形AOCD为菱形理由是：，DCA=CAB，CDOA，又AEOC，四边形AOCD是平行四边形，OA=OC，平行四边形AOC
8、D是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）；（3）连接OD四边形AOCD为菱形，OA=AD=DC=2，OA=OD，OA=OD=AD=2，OAD是等边三角形，AOD=60，DHAB于点F，AB为直径，DH=2DF，在RtOFD中，sinAOD=，DF=ODsinAOD=2sin60=，DH=2DF=2考点：1.切线的性质2.等边三角形的判定与性质3.菱形的判定与性质4.解直角三角形5如图，一条公路的转弯处是一段圆弧用直尺和圆规作出所在圆的圆心O；要求保留作图痕迹，不写作法若的中点C到弦AB的距离为，求所在圆的半径【答案】(1)见解析；（2）50m【解析】分析：连结AC、BC，分别作AC和BC的垂
9、直平分线，两垂直平分线的交点为点O，如图1；连接交AB于D，如图2，根据垂径定理的推论，由C为的中点得到，则，设的半径为r，在中利用勾股定理得到，然后解方程即可 详解：如图1，点O为所求；连接交AB于D，如图2，为的中点，设的半径为r，则，在中，解得，即所在圆的半径是50m点睛：本题考查了垂径定理及勾股定理的应用，在利用数学知识解决实际问题时，要善于把实际问题与数学中的理论知识联系起来，能将生活中的问题抽象为数学问题6如图，在O中，直径AB弦CD于点E，连接AC，BC，点F是BA延长线上的一点，且FCAB.(1)求证：CF是O的切线；(2)若AE4，tanACD，求FC的长【答案】（1）见解析
10、【解析】分析：（1）利用圆周角定理以及等腰三角形的性质得出OCF=90，进而得出答案；（2）根据正切的性质求出EC的长，然后利用垂径定理求出圆的半径，再根据等边三角形的性质，利用勾股定理求出即可详解：(1)证明：连接OC.AB是O的直径，ACB90，OCBACO90.OBOC，BOCB.又FCAB，FCAOCB，FCAACO90，即FCO90，FCOC，FC是O切线(2)解：ABCD，AEC90，EC=，设OAOCr，则OEOAAEr4.在RtOEC中，OC2OE2CE2，即r2(r4)2(4)2，解得r8.OEr44AE.CEOA，CACO8，AOC是等边三角形，FOC60，F30.在RtF
11、OC中，OCF90，OC8，F30，OF2OC16，FC.点睛：此题主要考查了切线的判定、垂径定理的推论以及勾股定理等知识，得出BC的长是解题关键7如图在ABC中，C=90，AC=BC，AB=30cm，点P在AB上，AP=10cm，点E从点P出发沿线段PA以2cm/s的速度向点A运动，同时点F从点P出发沿线段PB以1cm/s的速度向点B运动，点E到达点A后立刻以原速度沿线段AB向点B运动，在点E、F运动过程中，以EF为边作正方形EFGH，使它与ABC在线段AB的同侧，设点E、F运动的时间为t（s）（0t20） （1）当点H落在AC边上时，求t的值；（2）设正方形EFGH与ABC重叠部分的面积为
12、S试求S关于t的函数表达式；以点C为圆心，t为半径作C，当C与GH所在的直线相切时，求此时S的值【答案】（1）t=2s或10s；（2）S=；100cm2【解析】试题分析：（1）如图1中，当0t5时，由题意AE=EH=EF，即102t=3t，t=2；如图2中，当5t20时，AE=HE，2t10=10（2t10）+t，t=10；（2）分四种切线讨论a、如图3中，当0t2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2b、如图4中，当2t5时，重叠部分是五边形EFGMNc、如图5中，当5t10时，重叠部分是五边形EFGMNd、如图6中，当10t20时，重叠部分是正方形EFGH分别计算即可；分两种
13、情形分别列出方程即可解决问题试题解析：解：（1）如图1中，当0t5时，由题意得：AE=EH=EF，即102t=3t，t=2如图2中，当5t20时，AE=HE，2t10=10（2t10）+t，t=10综上所述：t=2s或10s时，点H落在AC边上（2）如图3中，当0t2时，重叠部分是正方形EFGH，S=（3t）2=9t2如图4中，当2t5时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（3t）2（5t10）2=t2+50t50如图5中，当5t10时，重叠部分是五边形EFGMN，S=（20t）2（303t）2=t2+50t50如图6中，当10t20时，重叠部分是正方形EFGH，S=（20t）2=t240t+4
14、00综上所述：S=如图7中，当0t5时，t+3t=15，解得：t=，此时S=100cm2，当5t20时，t+20t=15，解得：t=10，此时S=100综上所述：当C与GH所在的直线相切时，求此时S的值为100cm2点睛：本题考查了圆综合题、正方形的性质、等腰直角三角形的性质、切线的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会用分类讨论的思想思考问题，注意不能漏解，属于中考压轴题8已知：BD为O的直径，O为圆心，点A为圆上一点，过点B作O的切线交DA的延长线于点F，点C为O上一点，且ABAC，连接BC交AD于点E，连接AC(1)如图1，求证：ABFABC；(2)如图2，点H为O内部一
15、点，连接OH，CH若OHCHCA90时，求证：CHDA；(3)在(2)的条件下，若OH6，O的半径为10，求CE的长【答案】(1)见解析；（2）见解析；（3）.【解析】【分析】由BD为的直径，得到，根据切线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，等量代换即可得到结论；如图2，连接OC，根据平行线的判定和性质得到，根据等腰三角形的性质得到，根据相似三角形的性质即可得到结论；根据相似三角形的性质得到，根据勾股定理得到，根据全等三角形的性质得到，根据射影定理得到，根据相交弦定理即可得到结论【详解】为的直径，是的切线，；如图2，连接OC，即，；由知，的半径为10，在与中，BC交于E，【点睛】本题考查了切
16、线的性质，圆周角定理，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行线的性质，勾股定理，射影定理，相交弦定理，正确的识别图形是解题的关键9已知P是的直径BA延长线上的一个动点，P的另一边交于点C、D，两点位于AB的上方，6，OP=m，如图所示另一个半径为6的经过点C、D，圆心距（1）当m=6时，求线段CD的长；（2）设圆心O1在直线上方，试用n的代数式表示m；（3）POO1在点P的运动过程中，是否能成为以OO1为腰的等腰三角形，如果能，试求出此时n的值；如果不能，请说明理由【答案】(1)CD=;(2)m= ;(3) n的值为或 【解析】分析：（1）过点作，垂足为点，连接解Rt，得到的长由
17、勾股定理得的长，再由垂径定理即可得到结论； （2）解Rt，得到和Rt中，由勾股定理即可得到结论； （3）成为等腰三角形可分以下几种情况讨论： 当圆心、在弦异侧时，分和当圆心、在弦同侧时，同理可得结论详解：（1）过点作，垂足为点，连接在Rt， 6， 由勾股定理得： ，（2）在Rt，在Rt中，在Rt中，可得： ，解得（3）成为等腰三角形可分以下几种情况： 当圆心、在弦异侧时i），即，由，解得即圆心距等于、的半径的和，就有、外切不合题意舍去ii），由 ，解得：，即 ，解得当圆心、在弦同侧时，同理可得： 是钝角，只能是，即，解得综上所述：n的值为或点睛：本题是圆的综合题考查了圆的有关性质和两圆的位置关
18、系以及解直径三角形解答（3）的关键是要分类讨论10如图，线段BC所在的直线 是以AB为直径的圆的切线，点D为圆上一点，满足BDBC，且点C、D位于直径AB的两侧，连接CD交圆于点E. 点F是BD上一点，连接EF，分别交AB、BD于点G、H，且EFBD.(1)求证：EFBC；(2)若EH4，HF2，求的长.【答案】(1)见解析；(2) 【解析】【分析】（1）根据EFBD可得，进而得到，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”即可得出角相等进而可证.（2）连接DF，根据切线的性质及垂径定理求出GF、GE的长，根据“在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等”及平行线求出相等的角，利用锐角
19、三角函数求出BHG，进而求出BDE的度数，确定所对的圆心角的度数，根据DFH90确定DE为直径，代入弧长公式即可求解.【详解】(1)EFBD， DDEF又BDBC，DC，DEF=CEFBC(2)AB是直径，BC为切线，ABBC又EFBC，ABEF，弧BF=弧BE,GFGE(HF+EH)=3，HG=1DB平分EDF，又BFCD，FBDFDBBDEBFHHBHF2cosBHG，BHG60.FDBBDE30DFH90，DE为直径，DE4，且弧BE所对圆心角60.弧BE4【点睛】本题是圆的综合题，主要考查圆周角、切线、垂径定理、弧长公式等相关知识，掌握圆周角的有关定理，切线的性质，垂径定理及弧长公式是
20、解题关键.11如图，已知AB是O的直径，P是BA延长线上一点，PC切O于点C，CDAB，垂足为D（1）求证：PCAABC；（2）过点A作AEPC交O于点E，交CD于点F，交BC于点M，若CAB2B，CF，求阴影部分的面积【答案】（1）详见解析；（2）.【解析】【分析】（1）如图，连接OC，利用圆的切线的性质和直径对应的圆周角是直角可得PCA=OCB，利用等量代换可得PCA=ABC.（2）先求出OCA是等边三角形，在利用三角形的等边对等角定理求出FA=FC和CF=FM,然后分别求出AM、AC、MO、CD的值，分别求出、 、 的值，利用，然后通过计算即可解答.【详解】解：（1）证明：连接OC，如图
21、，PC切O于点C，OCPC,PCA+ACO=90, AB是O的直径，ACB=ACO+OCB=90PCA=OCB, OC=OB,OBC=OCB,PCA=ABC； （2）连接OE，如图，ACB中，ACB90,CAB2B,B30,CAB60,OCA是等边三角形，CDAB,ACD+CADCADABC90,ACDB30,PCAE,PCACAE30,FC=FA,同理，CFFM,AM2CF=, RtACM中，易得AC=3OC,BCAE30,AOC=COE=60,EOB=60,EAB=ABC=30,MA=MB,连接OM,EGAB交AB于G点，如图所示，OA=OB,MOAB,MOOAtan30= ,CDOEDO
22、(AAS)，EG=CD=ACsin60=，, 同样，易求， =.【点睛】本题考查了切线的性质、解直角三角形、扇形面积和识图的能力，综合性较强，有一定难度，熟练掌握定理并准确识图是解题的关键.12如图，四边形ABCD内接于O，BAD=90，AD、BC的延长线交于点F，点E在CF上，且DEC=BAC（1）求证：DE是O的切线；（2）当AB=AC时，若CE=2，EF=3，求O的半径【答案】（1）证明见解析；（2）【解析】【分析】（1）先判断出BD是圆O的直径，再判断出BDDE，即可得出结论；（2）根据余角的性质和等腰三角形的性质得到F=EDF，根据等腰三角形的判定得到DE=EF=3，根据勾股定理得到
23、CD，证明CDEDBE，根据相似三角形的性质即可得到结论【详解】（1）如图，连接BDBAD=90，点O必在BD上，即：BD是直径，BCD=90，DEC+CDE=90DEC=BAC，BAC+CDE=90BAC=BDC，BDC+CDE=90，BDE=90，即：BDDE点D在O上，DE是O的切线；（2）BAF=BDE=90，F+ABC=FDE+ADB=90AB=AC，ABC=ACBADB=ACB，F=FDE，DE=EF=3CE=2，BCD=90，DCE=90，CDBDE=90，CDBE，DCE=BDE=90DEC=BED，CDEDBE，BD，O的半径【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形
24、的判定和性质，切线的判定，勾股定理，求出DE=EF是解答本题的关键13如图，等边ABC内接于O，P是弧AB上任一点（点P不与A、B重合），连AP，BP，过C作CMBP交PA的延长线于点M，（1）求证：PCM为等边三角形；（2）若PA1，PB2，求梯形PBCM的面积【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）利用同弧所对的圆周角相等即可求得题目中的未知角，进而判定PCM为等边三角形；（2）利用上题中得到的相等的角和等边三角形中相等的线段证得两三角形全等，进而利用PCM为等边三角形，进而求得PH的长，利用梯形的面积公式计算梯形的面积即可【详解】（1）证明：作PHCM于H，ABC是等边三角形，
25、APC=ABC=60，BAC=BPC=60，CMBP，BPC=PCM=60，PCM为等边三角形；（2）解：ABC是等边三角形，PCM为等边三角形，PCA+ACM=BCP+PCA，BCP=ACM，在BCP和ACM中，BCPACM（SAS），PB=AM，CM=CP=PM=PA+AM=PA+PB=1+2=3，在RtPMH中，MPH=30，PH=，S梯形PBCM=（PB+CM）PH=（2+3）=【点睛】本题考查圆周角定理、等边三角形的判定、全等三角形的性质及梯形的面积计算方法，是一道比较复杂的几何综合题14如图，四边形为菱形，且，以为直径作，与交于点请仅用无刻度的直尺按下列要求画图(保留作图痕迹)(1
26、)在如图中，过点作边上的高(2)在如图中，过点作的切线，与交于点【答案】(1)如图1所示(答案不唯一),见解析；(2)如图2所示(答案不唯一)，见解析.【解析】【分析】（1）连接AC交圆于一点F，连接PF交AB于点E,连接CE即为所求（2）连接OF交BC于Q，连接PQ即为所求【详解】(1)如图1所示(答案不唯一)(2)如图2所示(答案不唯一)【点睛】本题考查作图-复杂作图，菱形和圆的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型15在ABC中，AC=2，P为ABC所在平面内一点，分别连PA,PB ,PC（1）如图1,已知，以A为旋转中心，将顺时针旋转60度，得到.请画出图形
27、，并求证：C、P、M、N四点在同一条直线上；求PA+PB+PC的值.（2）如图2，如果点P满足，设Q为AB边中点，求PQ的取值范围.【答案】（1）详见解析；（2）；【解析】【分析】（1）欲证明C、P、M、N四点在同一条直线上，只要证明APC+APM=180，AMN+AMP=180即可；只要证明PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在RtCBN中，利用勾股定理求出NC即可；（2）如图2中，由BPC=90，推出点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交O与P和P，可得PQ的最小值为-1，PQ的最大值为+1，PQ2，由此即可解决问题；【详解】（1）证明：如图，A
28、PBAMN，APM是等边三角形，APM=APM=60，APB=BPC=APC=120，APB=BPC=APC=AMN=120，APC+APM=180，AMN+AMP=180，C、P、M、N四点在同一条直线上； 解：连接,易得是等边三角形 ABN=60，ABC=30，NBC=90，AC=2，AB=BN=4，BC=2，PA=PM，PB=MN，PA+PB+PC=PC+PM+MN=CN，在RtCBN中，CN=，PA+PB+PC=2 (2) 如图2中，BPC=90，点P在以BC为直径的圆上（P不与B、C重合），设BC的中点为O，作直线OQ交O与P和P，可得PQ的最小值为-1，PQ的最大值为+1，PQ2，-1PQ+1且PQ2【点睛】本题考查几何变换综合题、等边三角形的性质和判定、全等三角形的性质、勾股定理、圆的有关知识等知识，解题的关键是学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题
