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1、23.1 一元二次方程类型1、一元二次方程的概念解题要点：（1）若一个方程是一元二次方程，必须同时满足三个条件：是整式方程；只含有一个未知数；未知数的最高次数是2，三个条件缺一不可。（2）有些方程需要先整理，再判断。（3）分母中含有未知数或根号下含有未知数的方程均不是一元二次方程。题型1、一元二次方程的判别例1下列是一元二次方程的是（ ） A B C D例2下列方程哪些是一元二次方程？指出它们的序号。 （1） （2）； （3）； （4）（5） （6）题型2、利用一元二次方程的概念求字母的值。例3方程是关于的一元二次方程，则（ ） A B C D例4关于的方程是一元二次方程的条件是什么？题型3、
2、利用一元二次方程的概念求不等式的解集例5若是一元二次方程，且满足不等式，则的取值范围是（ ） A B C且 D类型2、一元二次方程的一般形式解题要点：（1）一元二次方程一般形式的特点是：方程左边是按未知数降幂排列的整式，右边是0，并且在通常情况下，左边各项系数不含有公约数。（2）先化为一般形式：，后确定各项系数和常数项，一般形式中，、可以等于0。（3）在应用时，如果求各项系数，不要漏掉前面的符号。题型1、化方程为一元二次方程的一般形式例6把方程化成一元二次方程的一般形式，并写出其二次项系数，一次项系数、常数项。题型2、利用一元二次方程的隐含条件解题例7、为何值时，关于的方程，(1)是一元一次方
3、程？(2)是一元二次方程？例8、方程是一元二次方程，指出其二次项系数、一次项系数及常数项。例9、若一元二次方程的二次项系数、一次项系数及常数项之和为5，求的值。类型3、一元二次方程的根（解）解题要点：（1）根必须满足两个条件：未知数的值；必须使方程左右两边相等。（2）用代入法验证一个数值是否为一元二次方程的解时，只要看方程左右两边是否相等即可。题型1、判断一元二次方程的根例10下列哪些数是一元二次方程的根？，0，1，2，3，4题型2、由一元二次方程的根求未知数的值。例11、关于的一元二次方程的一个根是0，求的值。例12、已知，是关于的一元二次方程的根，求和的值。题型3、由一元二次方程的根求代数
4、式的值。例13、已知是一元二次方程的一个根，且，求的值。例14、已知是方程的一个根，试求的值。题型4、已知两方程有公共根，求代数式的值。例15、已知关于的方程与有一个公共根，求的值。类型4、列一元二次方程解题要点：一元二次方程一般源于实际生活中的问题，解决问题的关键是先列出一元二次方程，列方程时需注意的两个方面：（1）设一个未知数，由其他未知量与这个未知数的关系，用表示其他量。（2）寻找以上各量间的等量关系，一般为积的关系或平方差与平方和的关系，根据此关系列出一元二次方程。例16、已知一个长方体粉笔盒的体积为750cm3，高为6cm，底面的长比宽多5cm，若设这个粉笔盒的底面的宽为cm，请根据
5、题意列出方程，并将其他为一般形式。例17用锤子以均匀的力敲击铁钉入木板，随着铁钉的深入，铁钉所受的阻力会越来越大，使得每次钉入木板的钉子的长度后一次与前一次的比值为()，已知一个钉子受击三次后恰好全部进入木板（铁钉在第二次受击后未入木板的部分足够长），且第一次受击后进入木板的钉长度是钉长的，设铁钉的长度为1，那么符合这一事实的方程是（ ） A B C D 23.2 一元二次方程的解法类型5、直接开平方法解题要点：（1）用直接开平方法解一元二次方程的理论依据是平方根的定义。（2）对于形如的一元二次方程，常用直接开平方法求解，方程的根是，当时，。（3）对于形如的一元二次方程，也可以用直接开平方法求
6、解，方程的根为，当时，。（4）解题时，一定要注意方程有两个根。题型1、用直接开平方法解一元二次方程的必备条件例18、用直接开平方法解方程，方程有根的条件是（ ） A B C D、同号或，题型2、用直接开平方法解一元二次方程例19、求一元二次方程的根。例20、求一元二次方程的根。类型6、因式分解法解题要点：（1）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤可归纳为“右边化零，左边分解，分别为零，求解”。（2）因式分解的常用方法：公式法（完全平方公式、平方差公式）、提公因式法等，需注意一般方程的左边是因式的积，右边等于0。（3）不是所有的一元二次方程都能用因式分解法求解。题型1、用因式分解法解形如的一元二
7、次方程。例21、用因式分解法解下列方程：（1） （2）题型2、用因式分解法解形如（、为常数）的一元二次方程。例22、用因式分解法解下列方程。（1）； （2）题型3、用因式分解法解形如的一元二次方程。例23、用因式分解法解下列方程： （1）； （2）；题型4、因式分解法在解一元二次方程中的综合应用例24、当为何值时，代数式的值等于0。例25、已知ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程的根，求ABC的周长。类型7、配方法解题要点：（1）配方法解一元二次方程是以完全平方公式和直接开平方法解一元二次为依据。（2）配方法的关键是配方，把一个一元二次方程的左边配成一个含有未知数的完全平方式，右边是一
8、个非负数。（3）配方法的一般步骤可以归纳为“一除、二移、三配、四开方”。题型1、用配方法解形如的一元二次方程例26、用配方法解下列方程（1） （2）题型2、用配方法解形如的一元二次方程例27、用配方法解下列方程：（1）；（2）；（3）类型8、公式法解题要点：（1）一元二次方程的求根公式为。（2）一元二次方程的求根公式的推导过程，就是用配方法解一般形式的一元二次方程的过程。（3）由求根公式知，一元二次方程的根是由系数、决定的，只要确定了、的值就可以代入求根公式求出一元二次方程的根。题型1、用公式法解系数为整数的一元二次方程。例28、方程的正根为（ ） A B C D例29、用公式法解方程：题型2
9、、用公式法解系数为分数或小数的一元二次方程例30、用公式法解下列方程： （1）； （2）；题型3、用公式法解一元二次方程的综合应用例31、已知关于的方程的一个根与方程的根相同。 （1）求的值；（2）求方程的另一个根。类型9、根的判别式解题要点（1）在用根的判别式判别根的情况时，是在一元二次方程的一般形式下进行的，即先将方程化为的形式，再确定根的判别式与0的大小关系。（2）当时，方程有两个不相等的实数根，当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程没有实数根。（3）通过计算根的判别式的值，可以在不解方程的情况下判断方程的根的情况。（4）由方程的根情况可以得知根的判别式的情况，进而得出方程中未知字母的
10、取值情况。题型1、由根的判别式来确定根的情况例32、不解方程，判断下列关于的一元二次方程的根的情况。 （1）； （2）； （3）题型2、由根的情况来确定方程中的待定系数。例33、已知方程有两个不相等的实根，那么的最大整数值是（ ） A B C0 D1例34当取何值时，一元二次方程 （1）有两个不相等的实数根；（2）有两个相等的实数根；（3）没有实数根。题型3、根的判别式与三角形的综合应用例35、已知、分别是三角形的三边，则方程的根的情况是（ ） A没有实根 B可能有且仅有一个实根 C有两个相等的实根 D有两个不相等的实根例36已知、是ABC的三边，且方程有两个相等的实根，试判断ABC的形状。类
11、型10、选择合适的方法解一元二次方程解题要点：（1）解一元二次方程的基本思路；将二次方程通过“降次”化为一次方程。（2）解一元二次方程的方法口诀： 方程没有一次项，直接开方最理想； 如果缺少常数项，因式分解没商量； 、相等都为零，等根是零不要忘； 、同时不为零，因题而异择良方。（3）在用多种方法都可以解一元二次方程且没有特殊规定方法时，首先考虑的方法是直接开平方法和因式分解法，其次再考虑配方法和求根公式法。例37用适当的方法解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）；例38、我们已经学习了一元二次方程的四种解法：因式分解法、直接开平方法、配方法和公式法，请选择你认为适当的方法解下列方程
12、： （1）；（2）；（3）；（4）类型11、一元二次方程的实际应用例39、金鑫商店1月份的利润是2500元，3月份的利润为3000元，这两个月的利润平均月增长率是多少？（精确到0.1%）例40、明月兔业养殖厂在兔舍外面开辟了一个面积为20m2的长方形活动场地，准备一边靠墙，其余三边利用长14m的旧围栏，已知墙面长6m，问：围成长方形的长和宽各是多少？23.3 实践与探索类型12、一元二次方程与生活实践解题要点：（1）用一元二次方程解决实际问题的一般步骤可归纳为“审、设、列、解、验、答”。（2）在解决实际问题时有几个重要环节：完整、准确地审清题意；提取问题中的等量关系；正确地求解方程并检验解的合
13、理性。题型1、平均增长率（降低率）问题例41、义乌市是一个“车轮上的城市”，截止2007年底全市汽车拥有量为114508辆，已知2005年底全市汽车拥有量为72983辆，请解答如下问题：（1）2005年底至2007年底义乌市汽车拥有量的年平均增长率是多少？（结果精确到0.1%）（2）为保护城市环境，要求义乌市到2009年底汽车拥有量不超过158000辆，据估计从2007年底起，此后每年报废的汽车数量是上年底汽车拥有量的4%，那么每年新增汽车数量最多不超过多少辆？（假定每年新增汽车数量相同，结果精确到个位）。题型2、商品经营策略问题例42、某商店如果将货价为8元的商品按每件10元售出，每天可销售
14、200件，现采用提高售价，尽可能减少进货量的方法增加利润，如果这种商品每件涨0.5元，其销售量就会减少10件，那么，将售价定为多少元时，才能使所赚利润为640元？题型3、利率问题例43、李先生将10000元存入银行一年，到期后取出2000元购买彩电，剩余8000元和利息又按一年定期存入银行，若存款的年利率不变，则到期后本息和是8410元，试求不计利息税时这种存款的年利率。（精确到0.01%）.题型4、面积问题例44、用12m长的一根铁丝围成长方形，（1）如果长方形的面积为5m2，那么此时长方形的长是多少？宽是多少？如果面积是8m2呢？（2）能否围成面积是10m2的长方形？为什么？（3）能围成的
15、长方形的最大面积是多少？类型13、根与系数的关系解题要点：在根与系数的关系中包含的两个条件和两个结论：（1）两个条件：方程是一元二次方程，即二次项系数；方程有实数根，即；（2）两个结论：若、是一元二次方程的两个根，则；。题型1、不解方程，求根与系数的关系。例45、不解方程，检验以下方程的解是否正确。 （1）；（2）例46、不解方程，求出方程的两根之和与两根积； （1）； （2）题型2、不解方程，求含有方程两根的代数式的值。例47、设方程的两根分别为、，不解方程求下列各代数式的值。 （1） （2） （3）题型3、利用根与系数的关系求字母的值。例48、若一元二次方程的一个根为，则= 。例49、设、
16、是关于的方程的两个根，且满足，求的值。题型4、根据要求构造一元二次方程解题例50、已知，试求作一个一元二次方程，使此方程的两根分别为、。例51、已知两个数的和为，积为12，求这两个数。题型5、根与系数关系的综合问题例52、已知关于的一元二次方程的两个实数根分别是一个直角三角形的两条直角边，该直角三角形的周长是30，求此三角形的面积。全章总结类型14、数学思想方法解题要点：（1）转化思想是把复杂的问题变为简单的问题，把难的问题变为容易的问题，把未知的知识变为已知的知识来解决，本章把高次方程降次为一元二次方程或一元一次方程来求解，这就是转化思想在解方程中的应用。（2）数学建模思想是指在解决实际问题
17、时，通过对已知条件和未知条件的分析，提炼出实际问题与数学知识的联系，将其转化为相应的数学问题，从数学角度解决问题，它可以化难为易，化抽象为具体地解决实际问题。（3）分类讨论思想是一种常见的数学思想方法，具体地说，就是把包含多种可能情况的问题，按照某一标准分成若干类，然后对每一类分别进行解决，从而达到解决整个问题的目的，即“化整为零，各个击破”。题型1、转化思想例53、解方程：例54、数学建模思想例54、在某市实施棚户区改造过程中，某工程队承包了一项拆迁工程，原计划每天拆迁1250m2，因为准备不足，第一天少拆迁了20%，从第二天开始，该工程队加快了拆迁速度，第三天拆迁了1440 m2。 （1）
18、求该工程队第一天拆迁的面积。 （2）若该工程队第二天、第三天每天拆迁的面积比前一天增加的百分数相同，求这个百分数。题型3、分类讨论思想例55已知ABC的两边AB、AC的长是关于的一元二次方程的两个实数根，第三边BC的长为5。 （1）为何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形？ （2）为何值时，ABC是等腰三角形？并求ABC的周长。类型15、一题多解例56、分别用三种方法解一元二次方程类型16、判断说理题例57、若是关于的一元二次方程，求、的值，下面是两位同学的解法。甲：根据题意，得，解得乙：根据题意，得，或，解方程组得或，你认为上述两位同学的解法是否正确？为什么？如果都不正确，请给出正确的解法
19、。类型17、定义新运算题例58、若规定两实数、通过运算*得，即，例如 （1）求3*5的值。 （2）若中的值。 （3）若无论取何值时，总有，求的值。类型18、学科间综合题例59、已知竖直上抛的物体离地面的高度和抛出时间的关系是，是竖直上抛时的瞬间速度，常数取10m/s2，设m/s，问： （1）隔多长时间物体的高度是25m？（2）多长时间以后物体回到原处？（3）隔多长时间物体达到最大高度，最大高度是多少？类型19、阅读理解题例60、按下列范例提供的方法解方程 一元二次方程的根为，方程的根为，显然有，因为要求的根，只要求出的根，再除以就可以了。 范例：解方程 解：解方程，解得， 方程的两根为， 类型20、规律探究题例61、已知下列（为正整数）个关于的一元二次方程： （1）请解上述一元二次方程；（2）请你指出这个方程的根有什么共同特点，写出一条即可。类型21、图形拼割题例62、如图，在长为10cm，宽为8cm的矩形四个角上截去四个全等的小正方形，使得留下的图形（图中阴影部分）面积是原矩形面积的80%，求所截去的小正方形的边长。类型22、方案设计题：例63、在一块长16米，宽12米的矩形荒地上，要建造一个花园，并使花园所占面积为荒地面积的一半，你能给出设计方案吗？16/16
