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1、中点模型的构造及应用一、遇到以下情况考虑中点模型： 任意三角形或四边形中点或与中点有关的线段 出现两个或三个中点考虑三角形中线定理 已知直角三角形斜边中点，可以考虑构造斜边中线 已知等边、等腰三角形底边中点，可以考虑与顶角连接用“三线合一” 有些题目不直接给出中点，我们可以挖掘其中隐含中点，比如等腰三角形、等边三角形、直角三角形、平行四边形、圆中圆心是直径中点等可以出现中点的图形通常考虑用中点模型 三角形中线的交点称为重心，它把中线分的线段比为2:1二、中点模型辅助线构造方法分类（一）倍长中线法（构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现中线时，常常将此中线倍长构造全等三角形解决问题。如图，在
2、中，D为中点，延长到E使，连接，则有：。作用：转移线段和角。（二）倍长类中线法（与中点有关线段，构造全等三角形，八字全等）当已知条件中出现类中线时，常常将此类中线倍长构造全等三角形解决问题。如图，在中，D为中点，延长到F使，连接，则有：。作用：转移线段和角。（三）直角三角形斜边中线法当已知条件中同时出现直角三角形和中点时，常构造直角三角形斜边中线，然后再利用直角三角形斜边的中线性质解决问题。如下图，在中，D为中点，则有： （四）等腰三角形三线合一 当出现等腰三角形时，常隐含有底边中点，将其与顶角连接，可构成三线合一。在D中:（1）=；（2）平分；（3）=，（4） “知二得二”：比如由（2）（3
3、）可得出（1）（4）.也就是说，以上四条语句，任意选择两个作为条件，就可以推出剩下两条。（五）中位线法当已知条件中同时出现两个及以上中点时，常考虑构造中位线；或出现一个中点，要求证明平行线段或线段倍分关系时也常考虑构造中位线。如图，在中，D，E分别是、边中点，则有，。三、练习（一）倍长中线法1.（2014秋津南区校级期中）已知：在中，是边上的中线，E是上一点，且，延长交于F，求证：2. （2017湘潭）如图，在中，连接并延长交的延长线于点F（1）求证：；（2）若2，F36求B的度数3.（2017江西萍乡，15）如图，在中，是边上的中线，E是的中点，过点C作的平行线交的延长线于点F，连接（1）求
4、证：；（2）若，试判断四边形的形状，并说明理由4.（2014鄂尔多斯）如图1，在中，点E是边的中点，连接并延长，交的延长线于点F且2连接、（1）求证：四边形的是矩形；（2）在图1中，若点M是上一点，沿折叠，使点B恰好落在线段上的点B处（如图2），13，12，求的长5.（2017贵阳,24）（1）阅读理解：如图，在四边形中，E是的中点，若是的平分线，试判断，之间的等量关系解决此问题可以用如下方法：延长交的延长线于点F，易证，得到，从而把，转化在一个三角形中即可判断、之间的等量关系为；（2）问题探究：如图，在四边形中，与的延长线交于点F，E是的中点，若是的平分线，试探究，之间的等量关系，并证明你的
5、结论（3）问题解决：如图，与交于点E，：2：3，点D在线段上，且，试判断、之间的数量关系，并证明你的结论（二）倍长类中线法1.（2016秋江都区期中）已知：如图，E是的中点，点A在上，且 求证：2.（2017重庆，24）在中，45，垂足为M，点C是延长线上一点，连接（1）如图1，若，5，求的长；（2）如图2，点D是线段上一点，点E是外一点，连接并延长交于点F，且点F是线段的中点，求证：3.（2017山西，17）已知：如图，在中，延长至点E，延长至点F，使得连接，与对角线交于点O求证：（三）直角三角形斜边中线法1.（2016乌鲁木齐，9）如上图，在中，点E在上，把这个直角三角形沿折叠后，使点B恰
6、好落到斜边的中点O处，若3，则折痕的长为（ ）A. B. C. D.62. （2015乌鲁木齐，9）如图，将斜边长为4的直角三角板放在直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重合，P为斜边的中点现将此三角板绕点O顺时针旋转120后点P的对应点的坐标是（ ）A B. C. D. 3.（2017新疆，22）如图，为O的直径，B为O上一点，30，延长至点D，使得，过点D作，垂足E在的延长线上，连接（1）求证：是O的切线；（2）当3时，求图中阴影部分的面积4. （2017北京，22）如图，在四边形中，为一条对角线，2，90，E为的中点，连接（1）求证：四边形为菱形；（2）连接，若平分，1，求的长5. （2
7、015北京东城，23）如图，中，90，是边上的中线，分别过点C，D作，的平行线交于点E，且交于点O，连接（1）求证：四边形是菱形；（2）若2，求的值（四）等腰三角形三线合一1.（2017荆州）如图，在中，A30，的垂直平分线l交于点D，则的度数为（ ）A.30 B.45C.50 D.752.（2017陕西，9）如图，是O的内接三角形，C30，O的半径为5，若点P是O上的一点，在中，则的长为（ ）A.5 B. C. D. 3.（2017呼和浩特，18）如图，等腰三角形中，分别是两腰上的中线（1）求证：；（2）设与相交于点O，点M，N分别为线段和的中点，当的重心到顶点A的距离与底边长相等时，判断四
8、边形的形状，无需说明理由（五）中位线法1.（2015郑州）如图，D是内一点，12，8，6，E、F、G、H分别是、的中点，则四边形的周长是（ ）A.14 B.18 C.20 D.222.（2013乌鲁木齐，15）如图，中，是中线，是角平分线，于F，5，2，则的长为3.（2017遵义）如图，的面积是12，点D、E、F、G分别是、的中点，则的面积是（ ）A.4.5 B.5 C.5.5 D.64.（2017天津，17）如图，正方形和正方形的边长分别为3和1，点F，G分别在边，上，P为的中点，连接，则的长为5.（2014春硚口区期末）如图，已知的中线、相交于点O、M、N分别为、的中点（1）求证：和互相平
9、分；（2）若，7，求的面积6.（2017云南，20）如图，是以为底的等腰三角形，是边上的高，点E、F分别是、的中点（1）求证：四边形是菱形；（2）如果四边形的周长为12，两条对角线的和等于7，求四边形的面积S7.（2017长春）【再现】如图，在中，点D，E分别是，的中点，可以得到：，且（不需要证明）【探究】如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是，的中点，判断四边形的形状，并加以证明【应用】在（1）【探究】的条件下，四边形中，满足什么条件时，四边形是菱形？你添加的条件是：（只添加一个条件）（2）如图，在四边形中，点E，F，G，H分别是，的中点，对角线，相交于点O若，四边形面积为5，则阴影部分图形的面积和为.8.（2015巴东县模拟）如图，在四边形中，E、F分别是、的中点，G、H分别是对角线、的中点（1）求证：四边形是菱形；（2）若，则当90时，求四边形的面积13 / 13
