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1、多动点综合题中等腰三角形的专题研究动态几何题是各地中考“压轴题”的亮点之一。这类题型的信息量大，经常把数与方程、函数与几何、函数与解直角三角形、函数与面积等联系在一起。解题时要用运动和变化的眼光去观察、思考、研究问题，把握图形运动、变化的全过程，综合运用函数、方程、分类讨论、数形结合等数学思想去解决问题。如果把中考数学的压轴题比喻成皇后头上的皇冠的话，压轴题中的压轴问题就是皇后皇冠上的一颗最璀璨夺目的明珠。近几年的多个地区中考试题压轴题的最后一问，都是以多动点的几何背景为载体，探究等腰三角形的问题。本文通过对几何背景综合题中等腰三角形的专题研究，寻找解题规律，了解、掌握在几何背景综合题中等腰三
2、角形的常见解法，并感悟解几何背景综合题的一般思考方法，以供九年级师生复习参考之用。一、两个动点在一个角的两边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形【案例1】（2008山西）如图（1），已知直线的解析式为，直线与x轴、y轴分别相交于A、B两点，直线经过B、C两点，点C的坐标为（8，0），又已知点P在x轴上从点A向点C移动，点Q在直线从点C向点B移动。点P、Q同时出发，且移动的速度都为每秒1个单位长度，设移动时间为t秒（）。（1）求直线的解析式。（2）设PCQ的面积为S，请求出S关于t的函数关系式。（3）试探究：当t为何值时，PCQ为等腰三角形？ 图（1）解：（1）过程略，答案：的解析
3、式为（2）过程略，答案：=（3）【分析】确定定点、动点、运动方向这类问题首先要弄清楚对于PCQ而言，那些是顶点是动点，那些点是定点，动点在哪条线上运动，运动方向是怎样的，所以我们在图（1）上标出了PCQ的动点（P、Q）和定点（C），以及P、Q的运动方向，由此我们可以看出这个动点三角形属于两个动点在一个角的两条边上“逆向”运动，另一个定点在角的顶点上的等腰三角形。画出动态三角形形成等腰三角形的截图（“动”中取“静”）按照运动时间先后的顺序，往往存在三种情况，这里体现了分类讨论的思想，PCQ的三边两两分别相等，如图QP=QC，CP=CQ，PC=PQ，这个过程需要读者在备用图中试画。只有画出来才能求
4、出来，所以这一步在整个问题中是相当关键的，注意不要重复和遗漏。在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程 根据题意我们可知，很多和问题有关的边长都可以用时间的式子表示出来，PC=，CQ=，建立等式模型时，我们往往要运用勾股定理、锐角三角函数与相似，但利用以上的方法所需的基本图形是直角三角形，所以我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。 如图，当QC=QP，过Q作QD轴于D，D点为PC中点，则CD=PC=，图形中可确定三边的RtBOC，恰好这个直角三角形与我们把等腰三角形QPC分割出来的RtQDC公共BCO，根据“A”型相似或平行相似，则QDCBOC
5、，即，解得 如图，当CP=CQ时，这时CP与CQ正好也在BCO的两边上，解得 如图，当PC=PQ时，过P作PE于E，则CE=CQ=，这时分割出的RtPEC与已知的RtBOC仍然公共BCO，并形成斜“A”型相似，则PECBOC，即，解得，综上所述，当，或5，或时，（都满足），PCQ为等腰三角形【总结】以上题目是动点和函数思想相结合以几何图形为背景，以动点为元素,构造动态型几何问题。解此类题目，应从相关图形的性质和数量关系分类讨论来解决。此类问题较多地关注学生对图形性质的理解,用动态的观点去看待一般函数和图形结合的问题,具有较强的综合性。【练习】（2009济南）如图（2），在梯形中，,图（2）动点
6、从点出发沿线段以每秒2个单位长度的速度向终点运动；动点同时从点出发沿线段以每秒1个单位长度的速度向终点运动设运动的时间为秒（1）求的长。（过程略，）（2）当时，求的值。(过程略，)（3）试探究：为何值时，为等腰三角形。解：（3）【分析】确定定点、动点、运动方向（请读者自行在图（2）中完成）画出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图中完成）在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：此问所需要确定三边的直角三角形，目标就锁定到梯形分割出右边的这个直角三角形，这个三边都可以求出的直角三角形还与动态公共C，可利用案例一的讨论方法求出相应的时间，注意这题
7、中M、N两个动点的速度不一样了，此问答案为当、或时，为等腰三角形，过程请读者自行完成。【案例2】（2009仙桃）如图（3），直角梯形ABCD中，ADBC，ABC90，已知ADAB3，BC4，动点P从B点出发，沿线段BC向点C作匀速运动；动点Q从点D 出发，沿线段DA向点A作匀速运动过Q点垂直于AD的射线交AC于点M，交BC于点NP、Q两点同时出发，速度都为每秒1个单位长度当Q点运动到A点，P、Q两点同时停止运动设点Q运动的时间为t秒(1)求NC，MC的长(用t的代数式表示)；（过程略，）(2)当为何值时，四边形PCDQ构成平行四边形？(过程略，)(3)是否存在某一时刻，使射线QN恰好将的面积和
8、周长同时平分？若存在，求出此时的值；若不存在，请说明理由；（过程略，不存在）(4)探究：为何值时，为等腰三角形？解：（3）【分析】确定定点、动点、运动方向由题意可知Q、M、N三点在同一条直线上，M、N随着Q点的移动而移动画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态的三种情况，如图、在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程此问所用到的方法和案例1有所不同，这时只知道P、Q两个动点的速度，所以动态的CM边不能直接用的式子表示出来，此题的PC=，CN=，接下来就要围绕者PC，CN两边来建立方程。如图，当MP=MC，而MNPC， 则N点为PC中点，有PC=2NC，有解得
9、：=如图，当CM=CP时，CM=CP=，CN=，而由图中可以知RtMNC与RtABC公共ACB，根据“A”型相似或平行相似，解得：如图，当PM=PC时，PM=PC=，则PN=CNPC=， RtMNC与RtABC公共ACB，本应该利用这种平行相似关系建立方程，可RtMNC只有一边CN可以由表示出来，只有利用其它方法建立等式，由上可知RtMNP中的PM、PN都可以用表示出来，只差最后一边MN没有用表示出来，这里刚好可以利用RtMNC与RtABC相似把MN也用表示出来，,则MN=，最后我们利用在RtMNP中存在勾股定理，完成建立方程的步骤，,，解得（-1舍）综上所述当、或时，为等腰三角形二、两动点在
10、两条平行线上同向运动，另一个动点在另一边上运动的等腰三角形问题【案例3】（2008温州）如图（4），在RtABC中，A90?，AB6，AC8，D，E分别是边AB，AC的中点，点P从点D出发沿DE方向运动，过点P作PQBC于Q，过点Q作QRBA交AC于R，当点Q与点C重合时，点P停止运动设BQx，QRy（1）求点D到BC的距离DH的长；(过程略，)（2）求y关于x的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围，过程略，）；（3）是否存在点P，使PQR为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的x的值；若不存在，请说明理由解：（3）【分析】确定定点、动点、运动方向由题意可知，点Q随点P向右移动而向右平行移
11、动，而点R又随Q的移动而移动。画出动态三角形形成等腰三角形的截图画出动态的三种情况，如图、案例3（3）图案例3（3）图案例3（3）图在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程根据题意我们可知，PQ=，BQx，RQ=，建立等式模型时，和案例1相同，我们这里要把一个等腰三角形转化为两个全等的直角三角形。 如图，当PQ=PR，过P作PMRQ于M，M点为RQ中点，则QM=RQ=，由题意可知1+2=90，C+B=90，2=B，则1=C，即RtQMPRtCAB，即，解得 如图，当QP=QR时，=，解得如图，当RP=RQ时，过R作RNPQ于N，则NQ=PQ=，NQR+RQC=
12、90，RQC +C=90,则NQR=C，则RtQNRRtCAB，即，解得，综上所述，当为，或6，或时，PQR为等腰三角形。【练习】（2009江西）如图（5），在等腰梯形中，是的中点，过点作交于点，.（1）求点到的距离；(过程略，到的距离为)（2）点为线段上的一个动点，过作交于点，过作交折线于点，连结，设.当点在线段上时，如图（6），的形状是否发生改变？若不变，求出的周长；若改变，请说明理由；（过程略，的周长=）当点在线段上时，如图（7），是否存在点，使为等腰三角形？若存在，请求出所有满足要求的的值；若不存在，请说明理由.解：（3）【分析】确定定点、动点、运动方向（请读者自行在图（7）中完成）画
13、出动态三角形形成等腰三角形的截图（请读者自行在练习图中完成）在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：当点N在线段DC上运动时，PMN的形状发生改变，但MNC恒为等边三角形。过E作EGBC于G，PM=EG=，GM=EP=，MN=NC=MC=5-，此问用到的方法与案例3类似，只不过这题B的度数更为特殊，由等腰三角形分解为直角三角形就为30的直角三角形，所以用锐角三角函数比相似更容易建立方程，此问答案为当、或时，PMN为等腰三角形，过程请读者自行完成。三、两动点在同一直线上运动，另一动点在另一边上运动的等腰三角形问题【案例4】（2009怀化）如图（8），在直角
14、梯形OABC中， OACB，A、B两点的坐标分别为A（15，0），B（10，12），动点P、Q分别从O、B两点出发，点P以每秒2个单位的速度沿OA向终点A运动，点Q以每秒1个单位的速度沿BC向C运动，当点P停止运动时，点Q也同时停止运动线段OB、PQ相交于点D，过点D作DEOA，交AB于点E，射线QE交轴于点F设动点P、Q运动时间为t（单位：秒）（1）当t为何值时，四边形PABQ是等腰梯形，请写出推理过程；（过程略，t =）（2）当t=2秒时，求梯形OFBC的面积；（过程略，S=174）（3）当t为何值时，PQF是等腰三角形？请写出推理过程解：（3）【分析】确定定点、动点、运动方向点P、F同向
15、向x轴右移动，点Q在与x轴平行的BC上向左移动画出动态三角形形成等腰三角形的截图在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：此题由于动态PQF的三边任何时候都可以表示出来，所以分析可以忽略，直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相似与勾股定理），令其两两分别相等建立方程。由题意可知QB=t，OP=2t，可推到出AF=2t，进而PF=15-2t+2t=15，QP=，QF=当PQ=PF时，则=15，解得或当QP=QF时，则=，解得当FQ=FP时，则=15，解得或（舍）综上所述，当，时，PQF是等腰三角形【拓展】（2009江苏）如图（9-1），已知射线DE与轴和
16、轴分别交于点和点动点从点出发，以1个单位长度/秒的速度沿轴向左作匀速运动，与此同时，动点P从点D出发，也以1个单位长度/秒的速度沿射线DE的方向作匀速运动设运动时间为秒（1）请用含的代数式分别表示出点C与点P的坐标；（答案：，）（2）以点C为圆心、个单位长度为半径的与轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），连接PA、PB当与射线DE有公共点时，求的取值范围；（答案：）当为等腰三角形时，求的值解：（2-2）【分析】确定定点、动点、运动方向A、B同向向x轴左移动，P点由点D向点B运动画出动态三角形形成等腰三角形的截图在函数与数形结合思想的基础上，利用勾股定理、锐角三角函数与相似关系建立方程点拨：此题
17、由于动态PAB的三边任何时候都可以表示出来，所以分析可以忽略，直接把三边表示出来（表示三边的过程用到了相似与勾股定理），令其两两分别相等建立方程。如图（9-2）由题意可知MC=t，BC=CA=，则MB=BC=CA=，进而AB=t，OA=，OB=,又PD=t，由相似可知PQ=，QD=，OQ=QP=QF=此问的答案为当，时，PAB是等腰三角形，过程请读者自行完成。新课程实施以来，以动点几何为背景的压轴题，以等腰三角形为重要考点，是近年来中考压轴题中的一种重要题型。这类试题将代数和几何的众多知识有效整合，能有效考查学生分析新问题和解决新问题的能力，将解等腰三角形的所涉及到的分类思想，数形结合、化归、
18、方程思想(根据勾股定理，相似，锐角三角函数列方程)体现得淋漓尽致。此题型属初高中衔接点，它对学生综合能力要求高，绝对难度大，很具有区分度。但这类新问题对培养学生的思维品质和各种数学能力都有很大的促进功能，对提高学生综合运用知识解决问题的能力有极大的帮助。解这类题不是一堂两堂课，一个专题就可以解决，它要求我们在平时教学中能渗透运动理念，用运动的眼光看问题，掌握好四个环节：渗透变换量化训练，进行科学的施教。1.2 因动点产生的等腰三角形问题例1 2013年上海市虹口区中考模拟第25题如图1，在RtABC中，A90，AB6，AC8，点D为边BC的中点，DEBC交边AC于点E，点P为射线AB上的一动点
19、，点Q为边AC上的一动点，且PDQ90（1）求ED、EC的长；（2）若BP2，求CQ的长；（3）记线段PQ与线段DE的交点为F，若PDF为等腰三角形，求BP的长图1 备用图动感体验请打开几何画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与QDN保持相似观察PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP的情况请打开超级画板文件名“13虹口25”，拖动点P在射线AB上运动，可以体验到，PDM与QDN保持相似观察PDF，可以看到，P、F可以落在对边的垂直平分线上，不存在DFDP的情况思路点拨1第（2）题BP2分两种情况2解第（2）题时，画准确的示意图有利
20、于理解题意，观察线段之间的和差关系3第（3）题探求等腰三角形PDF时，根据相似三角形的传递性，转化为探求等腰三角形CDQ满分解答（1）在RtABC中， AB6，AC8，所以BC10在RtCDE中，CD5，所以，（2）如图2，过点D作DMAB，DNAC，垂足分别为M、N，那么DM、DN是ABC的两条中位线，DM4，DN3由PDQ90，MDN90，可得PDMQDN因此PDMQDN所以所以，图2 图3 图4如图3，当BP2，P在BM上时，PM1此时所以如图4，当BP2，P在MB的延长线上时，PM5此时所以（3）如图5，如图2，在RtPDQ中，在RtABC中，所以QPDC由PDQ90，CDE90，可得
21、PDFCDQ因此PDFCDQ当PDF是等腰三角形时，CDQ也是等腰三角形如图5，当CQCD5时，QNCQCN541（如图3所示）此时所以如图6，当QCQD时，由，可得所以QNCNCQ（如图2所示）此时所以不存在DPDF的情况这是因为DFPDQPDPQ（如图5，图6所示）图5 图6考点伸展如图6，当CDQ是等腰三角形时，根据等角的余角相等，可以得到BDP也是等腰三角形，PBPD在BDP中可以直接求解例2 2012年扬州市中考第27题如图1，抛物线yax2bxc经过A(1,0)、B(3, 0)、C(0 ,3)三点，直线l是抛物线的对称轴（1）求抛物线的函数关系式；（2）设点P是直线l上的一个动点，
22、当PAC的周长最小时，求点P的坐标；（3）在直线l上是否存在点M，使MAC为等腰三角形，若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由图1 动感体验请打开几何画板文件名“12扬州27”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小拖动点M在抛物线的对称轴上运动，观察MAC的三个顶点与对边的垂直平分线的位置关系，可以看到，点M有1次机会落在AC的垂直平分线上；点A有2次机会落在MC的垂直平分线上；点C有2次机会落在MA的垂直平分线上，但是有1次M、A、C三点共线思路点拨1第（2）题是典型的“牛喝水”问题，点P在线段BC上时PA
23、C的周长最小2第（3）题分三种情况列方程讨论等腰三角形的存在性满分解答（1）因为抛物线与x轴交于A(1,0)、B(3, 0)两点，设ya(x1)(x3)，代入点C(0 ,3)，得3a3解得a1所以抛物线的函数关系式是y(x1)(x3)x22x3（2）如图2，抛物线的对称轴是直线x1当点P落在线段BC上时，PAPC最小，PAC的周长最小设抛物线的对称轴与x轴的交点为H由，BOCO，得PHBH2所以点P的坐标为(1, 2)图2（3）点M的坐标为(1, 1)、(1,)、(1,)或(1,0)考点伸展第（3）题的解题过程是这样的：设点M的坐标为(1,m)在MAC中，AC210，MC21(m3)2，MA2
24、4m2如图3，当MAMC时，MA2MC2解方程4m21(m3)2，得m1此时点M的坐标为(1, 1)如图4，当AMAC时，AM2AC2解方程4m210，得此时点M的坐标为(1,)或(1,)如图5，当CMCA时，CM2CA2解方程1(m3)210，得m0或6当M(1, 6)时，M、A、C三点共线，所以此时符合条件的点M的坐标为(1,0)图3 图4 图5例3 2012年临沂市中考第26题如图1，点A在x轴上，OA4，将线段OA绕点O顺时针旋转120至OB的位置（1）求点B的坐标；（2）求经过A、O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰
25、三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由图1动感体验请打开几何画板文件名“12临沂26”，拖动点P在抛物线的对称轴上运动，可以体验到，O和B以及OB的垂直平分线与抛物线的对称轴有一个共同的交点，当点P运动到O与对称轴的另一个交点时，B、O、P三点共线请打开超级画板文件名“12临沂26”，拖动点P，发现存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形思路点拨1用代数法探求等腰三角形分三步：先分类，按腰相等分三种情况；再根据两点间的距离公式列方程；然后解方程并检验2本题中等腰三角形的角度特殊，三种情况的点P重合在一起满分解答（1）如图2，过点B作BCy轴，垂足为C在RtOBC中，B
26、OC30，OB4，所以BC2，所以点B的坐标为（2）因为抛物线与x轴交于O、A(4, 0)，设抛物线的解析式为yax(x4)，代入点B，解得所以抛物线的解析式为（3）抛物线的对称轴是直线x2，设点P的坐标为(2, y)当OPOB4时，OP216所以4+y216解得当P在时，B、O、P三点共线（如图2）当BPBO4时，BP216所以解得当PBPO时，PB2PO2所以解得综合、，点P的坐标为，如图2所示图2 图3考点伸展如图3，在本题中，设抛物线的顶点为D，那么DOA与OAB是两个相似的等腰三角形由，得抛物线的顶点为因此所以DOA30，ODA120例4 2011年盐城市中考第28题如图1，已知一次
27、函数yx7与正比例函数 的图象交于点A，且与x轴交于点B（1）求点A和点B的坐标；（2）过点A作ACy轴于点C，过点B作直线l/y轴动点P从点O出发，以每秒1个单位长的速度，沿OCA的路线向点A运动；同时直线l从点B出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l交x轴于点R，交线段BA或线段AO于点Q当点P到达点A时，点P和直线l都停止运动在运动过程中，设动点P运动的时间为t秒当t为何值时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8？是否存在以A、P、Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t的值；若不存在，请说明理由 图1 动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图象
28、中可以看到，APR的面积有一个时刻等于8观察APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在APAQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，APQ是等腰三角形思路点拨1把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题2求APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能3讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况满分解答（1）解方程组 得 所以点A的坐标是(3，4)令，得所以点B的坐标是(7，0)（2）如图2，当P在OC上运动时，0t4由，得整理，得解得t2或t6（舍去）如图3，当P在CA上运动时
29、，APR的最大面积为6因此，当t2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8图2 图3 图4我们先讨论P在OC上运动时的情形，0t4如图1，在AOB中，B45，AOB45，OB7，所以OBAB因此OABAOBB如图4，点P由O向C运动的过程中，OPBRRQ，所以PQ/x轴因此AQP45保持不变，PAQ越来越大，所以只存在APQAQP的情况此时点A在PQ的垂直平分线上，OR2CA6所以BR1，t1我们再来讨论P在CA上运动时的情形，4t7在APQ中， 为定值，如图5，当APAQ时，解方程，得如图6，当QPQA时，点Q在PA的垂直平分线上，AP2(OROP)解方程，得如7，当PAPQ时，那么因此解方
30、程，得综上所述，t1或或5或时，APQ是等腰三角形 图5 图6 图7考点伸展当P在CA上，QPQA时，也可以用来求解例5 2010年南通市中考第27题如图1，在矩形ABCD中，ABm（m是大于0的常数），BC8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）连结DE，作EFDE，EF与射线BA交于点F，设CEx，BFy（1）求y关于x的函数关系式； （2）若m8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若，要使DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图象，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下对照图形
31、和图象，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值双击按钮“m8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点拖动点A可以改变m的值，再拖动图象中标签为“y随x” 的点到射线yx上，从图形中可以看到，此时DCEEBF思路点拨1证明DCEEBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式2第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值3第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达一段是说理，如果DEF为等腰三角形，那么得到xy；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值满分解答(1)因为EDC与FEB都是DEC的
32、余角，所以EDCFEB又因为CB90，所以DCEEBF因此，即整理，得y关于x的函数关系为(2)如图2，当m8时，因此当x4时，y取得最大值为2(3) 若，那么整理，得解得x2或x6要使DEF为等腰三角形，只存在EDEF的情况因为DCEEBF，所以CEBF，即xy将xy 2代入，得m6（如图3）；将xy 6代入，得m2（如图4） 图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到，那么不论m为何值，当x4时，y都取得最大值对应的几何意义是，不论AB边为多长，当E是BC的中点时，BF都取得最大值第（2）题m8是第（1）题一般性结论的一个特殊性再如，不论m为小于8
33、的任何值，DEF都可以成为等腰三角形，这是因为方程总有一个根的第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性例 6 2009年江西省中考第25题如图1，在等腰梯形ABCD中，AD/BC，E是AB的中点，过点E作EF/BC交CD于点F，AB4，BC6，B60（1）求点E到BC的距离；（2）点P为线段EF上的一个动点，过点P作PMEF交BC于M，过M作MN/AB交折线ADC于N，连结PN，设EPx当点N在线段AD上时（如图2），PMN的形状是否发生改变？若不变，求出PMN的周长；若改变，请说明理由；当点N在线段DC上时（如图3），是否存在点P，使PMN为等腰三角形？若存在，请求出所有满足条件的x的值；若不
34、存在，请说明理由 图1 图2 图3动感体验 请打开几何画板文件名“09江西25”，拖动点P在EF上运动，可以体验到，当N在AD上时，PMN的形状不发生改变，四边形EGMP是矩形，四边形BMQE、四边形ABMN是平行四边形，PH与NM互相平分当N在DC上时，PMN的形状发生变化，但是CMN恒为等边三角形，分别双击按钮“PMPN”、“MPMN”和“NPNM”，可以显示PMN为等腰三角形思路点拨1先解读这个题目的背景图，等腰梯形ABCD的中位线EF4，这是x的变化范围平行线间的距离处处相等，AD与EF、EF与BC间的距离相等2当点N在线段AD上时，PMN中PM和MN的长保持不变是显然的，求证PN的长
35、是关键图形中包含了许多的对边平行且相等，理顺线条的关系很重要3分三种情况讨论等腰三角形PMN，三种情况各具特殊性，灵活运用几何性质解题满分解答（1）如图4，过点E作EGBC于G在RtBEG中，B60，所以，所以点E到BC的距离为（2）因为AD/EF/BC，E是AB的中点，所以F是DC的中点因此EF是梯形ABCD的中位线，EF4如图4，当点N在线段AD上时，PMN的形状不是否发生改变过点N作NHEF于H，设PH与NM交于点Q在矩形EGMP中，EPGMx，PMEG在平行四边形BMQE中，BMEQ1x所以BGPQ1因为PM与NH平行且相等，所以PH与NM互相平分，PH2PQ2在RtPNH中，NH，P
36、H2，所以PN在平行四边形ABMN中，MNAB4因此PMN的周长为4 图4 图5当点N在线段DC上时，CMN恒为等边三角形如图5，当PMPN时，PMC与PNC关于直线PC对称，点P在DCB的平分线上在RtPCM中，PM，PCM30，所以MC3此时M、P分别为BC、EF的中点，x2如图6，当MPMN时，MPMNMC，xGMGCMC5如图7，当NPNM时，NMPNPM30，所以PNM120又因为FNM120，所以P与F重合此时x4综上所述，当x2或4或5时，PMN为等腰三角形 图6 图7 图8考点伸展第（2）题求等腰三角形PMN可以这样解：如图8，以B为原点，直线BC为x轴建立坐标系，设点M的坐标为（m，0），那么点P的坐标为（m，），MNMC6m，点N的坐标为（，）由两点间的距离公式，得当PMPN时，解得或此时当MPMN时，解得，此时当NPNM时，解得，此时
