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1、勾股定理期末复习资料一知识点： 1. 勾股定理及逆定理勾股定理：如果直角三角形的两直角边长分别为 ，斜边为 ，那么 _ 。 A直角三角形 a2+b2=c2 (数)（形） B C公式的变形：（1）c2= , c= ; （2）a2= , a= ;（3）b2= , b= ;勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长a，b，c满足 _ ，那么这个三角形是 _ A a2+b2=c2 (数) 直角三角形 （形） CB注：（1）勾股定理主要反映了直角三角形三边之间的数量关系，它是解决直角三角形中有关计算与证明的主要依据；（2）勾股定理的逆定理主要的应用是把数转化为形，通过计算三角形三边之间的关系来判断一个三角形是
2、否是直角三角形，它可作为直角三角形的判定依据 利用勾股定理逆定理证明三角形是否是直角三角形的步骤：先判断哪条边最大； 分别用代数法计算 a2+b2 和c2 的值；判断a2+b2和 c2 是否相等。 若相等，则是直角三角形；若不相等，则不是直角三角形。 2、勾股数满足a2 + b2= c2的三个正整数，称为勾股数。注意：勾股数必须是正整数，不能是分数或小数。一组勾股数扩大相同的正整数倍后，仍是勾股数。常见勾股数如下：3,4,56,8,109,12,1512,16,2015,20,255,12,137,24,259,40,4110,24,268,15,173、互逆命题和互逆定理互逆命题:两个命题中
3、，如果第一个命题的 恰为第二个命题的 ，而第一个命题的 恰为第二个命题的 ，像这样的两个命题叫做 如果把其中一个叫做原命题，那么另一个叫做它的 互逆定理:一般的，如果一个定理的逆命题经过证明是 ，那么它也是一个 ，称这两个定理互为 ，其中一个叫做另一个的逆定理.4、勾股定理的应用（最短路线、梯子下滑、船在水中航行等）5、常见平方数：； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ； ；二考点剖析考点1：在直角三角形中，已知两边求第三边1、一种盛饮料的圆柱形杯，测得内部底面半径为2.5cm，高为12cm，吸管放进杯里，杯口外面至少要露出4.6cm，问吸管要做 cm . 2、已知ABC中，AB17，AC1
4、0，BC边上的高，AD8，则边BC的长为（ ） A21B15C9 D以上答案都不对3、已知直角三角形的两边长为6、8，则另一条边长是 。4、已知直角三角形两直角边长分别为5和12， 求斜边上的高考点2：勾股定理与面积1、在RtABC中，C=,a=5,c=3.，则RtABC的面积S= 。2、一个直角三角形周长为12米，斜边长为5米，则这个三角形的面积为： 。labc3、直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为 4、在直线l上依次摆放着七个正方形(如图所示)。已知斜放置的三个正方形的面积分别是1、2、3，正放置的四个正方形的面积依次是S1、S2、S3、S4，则S1
5、S2S3S4等于 。5、三条边分别是5,12,13的三角形的面积是 。7、如下图，在ABC中，AB=8cm，BC=15cm，P是到ABC三边距离相等的点，求点P到ABC三边的距离。 DCBA8、有一块土地形状如图所示，AB=20米，BC=15米，CD=7米，请计算这块土地的面积。（添加辅助线构造直角三角形） 9、如右图：在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，A=60，求四边形ABCD的面积。10、已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。ADCB图1-3-511.如图1-3-5所示的一块地，已知AD=4m，CD=3m，ADDC，AB=13m，BC=12
6、m，求这块地的面积12如图，把矩形ABCD沿直线BD向上折叠，使点C落在C的位置上，已知AB=3，BC=7，求：重合部分EBD的面积13、如图，分别以直角三角形ABC三边为直径向外作三个半圆，其面积分别用S1、S2、S3表示，则不难证明S1=S2+S3 .(1) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正方形，其面积分别用S1、S2、S3表示，那么S1、S2、S3之间有什么关系？(不必证明)(2) 如图，分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正三角形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你确定S1、S2、S3之间的关系并加以证明；(3) 若分别以直角三角形ABC三边为边向外作三个正多边
7、形，其面积分别用S1、S2、S3表示，请你猜想S1、S2、S3之间的关系?.考点3：勾股定理与折叠图4EGCDBA1、如图4，矩形纸片ABCD的边AB=10cm,BC=6cm,E为BC上一点，将矩形纸片沿AE折叠，点B恰好落在DC边上的点G处，求BE的长。2、如图，有一片直角三角形纸片，两直角边AC=6cm,BC=8cm,现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，试求CD的长。ABCDEABCDED/3、如图，四边形ABCD是长方形，把 ACD沿AC折叠到ACD ,ACD 与BC交于E,若AD=4，CD=3，求BE的长. 图6PHFEQDCBA4、如图6，在矩形纸片ABC
8、D中，AB=，BC=6,沿EF折叠后，点C落在AB边上的点P处，点D落在Q点处，AD与PQ相交于点H，BPE=(1) 求BE、QF的长(2) 求四边形QEFH的面积。考点4：利用股沟定理列方程求线段的长度EDCBA1、如图，铁路上A、B两站相距25千米，C、D为两村庄，DAAB于A点，CBAB于点B，DA=15千米，CB=10千米，现在要在铁路上建设一个土特产收购站E，使得C、D两村庄到收购站的距离相等，则收购站E应建在距离A站多远的距离？2.一架长为5米的梯子，斜立在一竖直的墙上，这时梯子的底端B距离底C为3米，如果梯子的顶端A沿墙下滑1米到D处，梯子的底端在水平方向沿一条直线也将下滑动1米
9、到E处吗？请给出证明。EBCDA2、 ABC中，AB=AC=20，BC=32，D是BC上一点，且ADAC，求BD的长考点5：勾股数的应用1、下列是勾股数的一组是（ ） A 4,5,6, B 5,7,12 C 12,13,15 D 14 ,48,502、一个直角三角形的三边长是不大于10的三个连续偶数，则它的周长是 。3、下列是勾股数的一组是（ ） A 2,3,4, B 5,6,7, C 9,40,41 D 10 24 254、观察下面表格中所给出的三个数a,b,c，其中a,b,c为正整数，且abc （1）：试找给他们的共同点，并证明你的结论 （2）：当a=21时，求b,c的值,3,4,53+4
10、=55,12,135+12=137,24,257+24=259,40,419+40=41.21,b,c21+b=c考点6：勾股定理及逆定理有关的几何证明1.若一个三角形的周长 12cm，一边长为3cm，其他两边之差为cm， 则这个三角形是_.2.若ABC的三边为a、b、c满足a：b：c=1：1：，则ABC的形状为 。 3.若ABC的三边a，b，c满足条件a2+b2+c2+338=10a+24b+26c,试判定ABC的形状4已知：如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为CB的四等分点且CE，求证：AFFE 1. 在四边形ABCD中，C是直角，AB=13,BC=3,CD=4,AD=12DCB
11、A证明：ADBD6CD是ABC中AB边上的高，且CD=ADDB，试说明ACB=DFCEBA7.在正方形ABCD中，E是BC的中点，F为CD上一点 且CF=CD试说明AEF是直角三角形。 8ABC三边的长为a,b, c，根据下列条件判断ABC的形状 （1）：a+b+c+200=12a+16b+20c； （2）：a-ab+ab-ac+bc-b=09如图2-12，ABC中，C=90，M是BC的中点，MDAB于D求证：AD2=AC2+BD2ABPC10如图中，为BC上任意一点，求证：图(1)BBBAAACCC图(2)图(3)11BC中，BC=a,AC=b,AB=c,若C=，如下图(1)根据勾股定理可以
12、得出：a+b=c,若ABC不是直角三角形，如图(2)与图(3)，请你类比勾股定理猜想a+b与c的关系，并且证明你的结论。考点7：最短路线问题1、 有一正方体盒子，棱长是10cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是_cm. (第1题) (第2题) (第3题) (第4题)2、有一个长方体盒子。它的长是70cm，宽和高都是50cm，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是_cm. 3、如图所示，一个二级台阶，每一级的长、宽、高分别为60cm、30cm、10cm，A和B是这个台阶上两个相对的端点，在A点处有一只蚂蚁它想到B点处觅食，那么它爬行的最短路线是_cm
13、. 4、如下图、王力的家在高楼15层，一天他去买竹竿，如果电梯的长、宽、高分别为1.2m,1.2m,1.3m，则他所买的竹竿最大长度是_m.ACBS5、如图,已知圆锥的母线AS=10，侧面展开图的夹角是90，点C为AS的中点,A处有一只蜗牛想吃到C处的食物,但它不能直接爬到C处,只能沿圆锥曲面爬行,请你画出蜗牛爬行的最短路程的图形并求出最短路程.6、有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为_m？ B C B A A 考点8：勾股定理的实际应用1、如图，一辆小汽车在一条东西走向的城市公路上直道行驶，某一时刻刚好行驶到路边的检测仪的正前方30m处，过了2s后，测得小汽车与车速检测仪的距离为50m，问这辆小汽车是否超速了？（小汽车在城市公路上行驶的速度不得超过70km/h） B C A(检测仪)2某日早5点，甲、乙两艘轮船同时从同一港口出发，甲以30海里小时向北偏东45航行，乙以15海里小时向北偏西45航行，问早7点时两船的距离是多少？
