勾股定理综合性难题习题.doc

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1、勾股定理复习1、直角三角形的面积为，斜边上的中线长为，则这个三角形周长为（ ）（A） （B） （C） （D）2如图，A、B两个村子在河CD的同侧，A、B两村到河的距离分别为AC=1km，BD=3km，CD=3km，现在河边CD上建一水厂向A、B两村输送自来水，铺设水管的费用为20000元/千米，请你在CD选择水厂位置O，使铺设水管的费用最省，并求出铺设水管的总费用F。3.ABC中，BC，AC，AB，若C=90，如图（1），根据勾股定理，则，若ABC不是直角三角形，如图（2）和图（3），请你类比勾股定理，试猜想与的关系，并证明你的结论.4如图，A市气象站测得台风中心在A市正东方向300千米的B处

2、，以10 千米/时的速度向北偏西60的BF方向移动，距台风中心200千米范围内是受台风影响的区域（1）A市是否会受到台风的影响？写出你的结论并给予说明；（2）如果A市受这次台风影响，那么受台风影响的时间有多长？课堂练习：1、将一根24cm的筷子，置于底面直径为15cm，高8cm的圆柱形水杯中，如图所示，设筷子露在杯子外面的长度为hcm，则h的取值范围是（）Ah17cm Bh8cmC15cmh16cm D7cmh16cm2 如图，已知：，于P. 求证：. 3 已知：如图，B=D=90，A=60，AB=4，CD=2。求：四边形ABCD的面积。4 一辆装满货物的卡车，其外形高2.5米，宽1.6米，要

3、开进厂门形状如图的某工厂，问这辆卡车能否通过该工厂的厂门?【答案】由于厂门宽度是否足够卡车通过，只要看当卡车位于厂门正中间时其高度是否小于CH如图所示，点D在离厂门中线0.8米处，且CD， 与地面交于H解：OC1米(大门宽度一半)，OD0.8米（卡车宽度一半）在RtOCD中，由勾股定理得：CD.米，C.（米）.（米）因此高度上有0.4米的余量，所以卡车能通过厂门5、如图，公路MN和公路PQ在点P处交汇，且QPN30，点A处有一所中学，AP160m。假设拖拉机行驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉

4、机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？ 思路点拨：（1）要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看A到公路的距离是否小于100m, 小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段AB并计算其长度。（2）要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。 解析：作ABMN，垂足为B。 在 RtABP中，ABP90，APB30， AP160， ABAP80。 （在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半） 点 A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。 如图，假设拖

5、拉机在公路MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC100(m)，由勾股定理得： BC21002-8023600, BC60。 同理，拖拉机行驶到点D处学校开始脱离影响，那么，AD100(m)，BD60(m),CD120(m)。 拖拉机行驶的速度为 : 18km/h5m/s t120m5m/s24s。 答：拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。 6、如图所示，ABC是等腰直角三角形，AB=AC，D是斜边BC的中点，E、F分别是AB、AC边上的点，且DEDF，若BE=12，CF=5求线段EF的长。 思路点拨：现已知BE、CF，要求EF，但

6、这三条线段不在同一三角形中，所以关键是线段的转化，根据直角三角形的特征，三角形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD解：连接AD因为BAC=90，AB=AC又因为AD为ABC的中线，所以AD=DC=DBADBC且BAD=C=45因为EDA+ADF=90又因为CDF+ADF=90所以EDA=CDF所以AEDCFD（ASA）所以AE=FC=5同理：AF=BE=12在RtAEF中，根据勾股定理得：，所以EF=13。总结升华：此题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识。通过此题，我们可以了解：当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时，应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解。7 如图，在等腰A

7、BC中，ACB=90，D、E为斜边AB上的点，且DCE=45。求证：DE2=AD2+BE2。分析：利用全等三角形的旋转变换，进行边角的全等变换，将边转移到一个三角形中，并构造直角三角形。8 如图，长方形ABCD中，AB=8，BC=4，将长方形沿AC折叠，点D落在点E处，则重叠部分AFC的面积是 。设EF=x，那么AF=CF=8-x，AE2+EF2=AF2,所以42+x2=(8-x)2,解得x=3，S=4*8/2-3*4/2=10答案：109. 一只蚂蚁在一块长方形的一个顶点A处，一只苍蝇在这个长方形上和蜘蛛相对的顶点C1处，如图，已知长方形长6cm，宽5 cm，高3 cm。蜘蛛因急于捉到苍蝇，

8、沿着长方形的表面向上爬，它要从A点爬到C1点，有很多路线，它们有长有短，蜘蛛究竟应该沿着怎样的路线爬上去，所走的距离最短？你能帮蜘蛛求出最短距离吗？10. 已知ABC的三边a、b、c，且a+b=17，ab=60，c=13, ABC是否是直角三角形？你能说明理由吗？答案： 是直角三角形。（平方差公式的灵活运用）=。家庭作业：一、选择题1.下列说法正确的有( ) ABC是直角三角形，C=90，则a2+b2=c2.ABC中，a2+b2c2，则ABC不是直角三角形.若ABC中，a2-b2=c2，则ABC是直角三角形.若ABC是直角三角形，则(a+b)(a-b)=c2.A.4个 B.3个 C.2个 D.

9、1个2.已知RtABC中，C=90，若a+b=14cm，c=10cm，则RtABC的面积是( )A.24cm2 B.36cm2 C.48cm2 D.60cm23.已知，如图，一轮船以20海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以15海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，则2小时后，两船相距( )A.35海里 B.40海里 C.45海里 D.50海里4.如图，已知矩形ABCD沿着直线BD折叠，使点C落在C处，BC交AD于E，AD=8，AB=4，则DE的长为( ) A.3B.4C.5D.6二、填空题(共4小题，每小题4分，共16分.把答案填在题后的横线上.)5.如图，学校有一块长

10、方形草坪，有极少数人为了避开拐角走“捷径”，在草坪内走出了一条路.他们仅仅少走了_步路(假设2步为1米)，却踩伤了青草.6.如图，圆柱形玻璃容器高20cm，底面圆的周长为48cm，在外侧距下底1cm的点A处有一蜘蛛，与蜘蛛相对的圆柱形容器的上口外侧距上口1cm的点B处有一只苍蝇，则蜘蛛捕获苍蝇所走的最短路线长度为_.7.如果三条线段的长度分别为8cm、xcm、18cm，这三条线段恰好能组成一个直角三角形，那么以x为边长的正方形的面积为_.8.已知ABC的三边a、b、c满足等式|a-b-1|+|2a-b-14|=-|c-5|，则ABC的面积为_.三、解答题(共6小题，1、2题各10分，3-6题各

11、12分，共68分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)9.如图是一块地，已知AB=8m，BC=6m，B=90，AD=26m，CD=24m，求这块地的面积. 10.如图，将一根30长的细木棒放入长、宽、高分别为8、6和24的长方体无盖盒子中，求细木棒露在盒外面的最短长度是多少？11.如图，铁路上A、B两点相距25km, C、D为两村庄，DAAB于A，CBAB于B，若DA=10km,CB=15km，现要在AB上建一个周转站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则周转站E应建在距A点多远处？12.如图，折叠矩形纸片ABCD，先折出折痕(对角线)AC，再折叠使AB边与AC重合，得折痕AE，若AB=

12、3，AD=4，求BE的长.13.如图，A、B两个小镇在河流CD的同侧，到河流的距离分别为AC=10km，BD=30km，且CD=30km，现在要在河边建一自来水厂，向A、B两镇供水，铺设水管的费用为每km3万元，请你在河流CD上选择建水厂的位置M，使铺设水管的费用最节省，并求出总费用是多少？ 14.“交通管理条例”规定：小汽车在城街路上行驶速度不得超过70千米/小时，如图，一辆小汽车在一条城市街路上直线行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪所在位置A处正前方30米的C处，过了2秒后，测得小汽车所在位置B处与车速检测仪间距离为50米，这辆小汽车超速了吗？附加题(10分，不计入总分)如图，P是矩形AB

13、CD内一点，PA=1，PB=5，PC=7，则PD=_.一、1.C 2.A 3.D 4.C二、5.4 6.30cm 7.260cm或388cm 8.30三、9.解：连接AC.1分在ABC中，AB=8m,BC=6m,B=90，由勾股定理，AC2=AB2+BC2=82+62=100,AC=10. 3分在ACD中，AC2+CD2=102+242=676,AD2=676，AC2+CD2=AD2. ACD是直角三角形.6分8分答：求这块地的面积是96m2.10分10.解：由勾股定理，82+62=102,3分102+242=262 .6分30-26=4.8分答：细木棒露在盒外面的最短长度是4cm.10分11

14、.解：设E点建在距A点xkm处.1分如图，则AE长xkm，BE长(25-x)km.2分DAAB，DAE是直角三角形. 由勾股定理，DE2=AD2+AE2=102+x2.5分同理，在RtCBE中，CB2+BE2=152+(25-x)2.7分依题意，102+x2=152+(25-x)2， 9分解得，x=15. 11分答：E应建在距A15km处.12分12.解：在AC上截取AF=AB，连接EF.1分依题意，AB=AF, BE=EF, B=AFE=90.3分在RtABC中，AB=3，BC=AD=4,AC2=32+42=25,AC=5. CF=AC-AF=5-3=2. 5分设BE长为x，则EF=x,CE

15、=4-x. 7分在RtCFE中，CE2=EF2+CF2,即(4-x)2=x2+22.9分解得，x=. 11分答：BE的长为.12分13.解：作点A关于CD的对称点E，连接EB，交CD于M. 则AC=CE=10公里.2分过点A作AFBD,垂足为F.过点B作CD的平行线交EA延长线于G，得矩形CDBG.4分则CG=BD=30公里，BG=CD=30公里，EG=CG+CE=30+10=40里.7分在RtBGE中，由勾股定理，BE2=BG2+EG2=302+402,BE=50km，9分350=150(万元).11分答：铺设水管的总费用最少为150万元. 12分14.解：依题意，在RtACB中，AC=30

16、米，AB=50米， 由勾股定理，BC2=AB2-AC2=502-302,BC=40米.3分小汽车由C到B的速度为402=20米/秒. 5分20米/秒=72千米/小时，8分7270，10分因此，这辆小汽车超速了. 12分附加题 解：过点P作MNAD交AB于点M， 交CD于点N， 则AM=DN，BM=CN.2分PMA=PMB=90， PA2-PM2=AM2，PB2-PM2=BM2.4分 PA2-PB2=AM2-BM2.5分 同理，PD2-PC2=DN2-CN2.7分PA2-PB2=PD2-PC2.又PA=1，PB=5，PC=7，8分 PD2=PA2-PB2PC2=12-5272，PD=5.10分初

17、二数学实数单元复习导学案目标认知一、知识网络：二、重难点聚焦：教学重点：算术平方根和平方根的概念及其求法；教学难点：平方根和实数的概念.三、知识要点回顾： 4、实数的三个非负性：|a|0，a20，0（a0） 5、实数的运算：加减法：类比合并同类项；乘法：=（a0，b0）；除法：（a0，b0） 6、算术平方根与平方根的区别与联系 区别: 定义不同； 个数不同； 表示方法不同； 取值范围不同. 联系: 具有包含关系； 存在条件相同； 0的算术平方根与平方根都是0.提示1. 正数的平方根有两个，它们互为相反数，其中正的那个叫它的算术平方根；零的平方根和算术平方 根都是零；负数没有平方根2. 实数都有

18、立方根，且一个数的立方根只有一个，它的符号与被开方数的符号相同3. 所有的实数分成三类：有限小数，无限循环小数，无限不循环小数其中有限小数和无限循环小数 统称有理数，无限不循环小数叫做无理数4. 无理数分成三类：开方开不尽的数，如，等；有特殊意义的数，如；有特定结构的5. 有理数和无理数统称实数，实数和数轴上的点一一对应6. 实数的运算：实数运算的基础是有理数运算，有理数的一切运算性质和运算律都适用于实数运算 正确地确定运算结果的符号和灵活运用各种运算律来进行运算是掌握好实数运算的关键规律方法整合1有关概念的识别1下面几个数：0.23 ，3，其中，无理数的个数有（ ）A、1 B、2 C、3 D

19、、4，3，是无理数故选C【变式1】下列说法中正确的是（ ）A、的平方根是3 B、1的立方根是1 C、=1 D、是5的平方根的相反数【答案】本题主要考察平方根、算术平方根、立方根的概念，=9，9的平方根是3，A正确1的立方根是1，=1，是5的平方根，B、C、D都不正确【变式2】如图，以数轴的单位长线段为边做一个正方形，以数轴的原点为圆心，正方形对角线长为半径画弧，交数轴正半轴于点A，则点A表示的数是（ ）A、1 B、1.4 C、 D【答案】本题考察了数轴上的点与全体实数的一一对应的关系正方形的边长为1，对角线为，由圆的定义知|AO|=，A表示数为，故选C【变式3】例：已知那么a+b-c的值为_【

20、答案】初中阶段的三个非负数：;a20;0a=2,b=-5,c=-1; a+b-c=-22计算类型题2. 设，则下列结论正确的是（ ） A. B. C. D. 解析：（估算）因为，所以选B【变式1】1）1.25的算术平方根是_；平方根是_.2） -27立方根是_. 3）_， _，_. 【答案】1）；. 2）-3. 3）， ， 【变式2】求下列各式中的（1）（2）（3）【答案】（1）（2）x=4或x=-2（3）x=-4【变式3】化简：【答案】=+-=3数形结合3. 点A在数轴上表示的数为，点B在数轴上表示的数为，则A，B两点的距离为_解析：在数轴上找到A、B两点，【变式1】如图，数轴上表示1，的对

21、应点分别为A，B，点B关于点A的对称点为C，则点C表示的数是（ ） A1 B1 C2 D2【答案】选C4.易错题4.判断下列说法是否正确（1）的算术平方根是-3； （2）的平方根是15.（3）当x=0或2时， （4）是分数解析：（1）错在对算术平方根的理解有误，算术平方根是非负数.故（2）表示225的算术平方根，即=15.实际上，本题是求15的平方根，故的平方根 是.（3）注意到，当x=0时， =，显然此式无意义，发生错误的原因是忽视了“负数 没有平方根”，故x0，所以当x=2时，x=0.（4）错在对实数的概念理解不清. 形如分数，但不是分数，它是无理数.学习成果测评：A组（基础）一、细心选一

22、选1下列各式中正确的是（ ）A B. C. D. 2. 的平方根是( )A4 B. C. 2 D. 3. 下列说法中 无限小数都是无理数 无理数都是无限小数 -2是4的平方根 带根号的数都是无理数。其中正确的说法有（ ）A3个 B. 2个 C. 1个 D. 0个4和数轴上的点一一对应的是（ ）A整数 B.有理数 C. 无理数 D. 实数5对于来说（ ）A有平方根 B.只有算术平方根 C. 没有平方根 D. 不能确定6在（两个“1”之间依次多1个“0”）中，无理数的个数有（ ）A3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个7面积为11的正方形边长为x，则x的范围是（ ）A B. C. D. 8下列各

23、组数中，互为相反数的是（ ）A-2与 B.-与 C. 与 D. 与9-8的立方根与4的平方根之和是（ ）A0 B. 4 C. 0或-4 D. 0或410已知一个自然数的算术平方根是a ，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）A B. C. D. 二、耐心填一填11的相反数是_，绝对值等于的数是_，=_。12的算术平方根是_，=_。13_的平方根等于它本身，_的立方根等于它本身，_的算术平方根等于它本身。14已知x的算术平方根是8，那么x的立方根是_。15填入两个和为6的无理数，使等式成立： _+_=6。16大于，小于的整数有_个。17若2a-5与互为相反数，则a=_，b=_。18若a=6

24、，=3，且ab0，则a-b=_。19数轴上点A，点B分别表示实数则A、B两点间的距离为_。20一个正数x的两个平方根分别是a+2和a-4，则a=_，x=_。三、认真解一解21计算 + + 4 9 + 2（） （结果保留3个有效数字）22在数轴上表示下列各数和它们的相反数，并把这些数和它们 的相反数按从小到大的顺序排列，用“”号连接：参考答案：一: 1、B 2、D 3、B 4、D 5、C 6、A 7、B 8、C 9、C 10、D二：11、，-3 12、3， 13、0，0、，0、114、 15、答案不唯一 如： 16、517、 18、-15 19、2 20、1，9三：21、 -17 -9 2 -3

25、6 37.922、B组（提高）一、选择题： 1的算术平方根是 （ ） D.2的平方根是 （ ）A.6 B.36 C.6 D.3下列计算或判断：3都是27的立方根；的立方根是2；，其中正确的个数有 （ ）A.1个 B.2个 C.3个 D.4个4、在下列各式中，正确的是 （ ）A.; B.; C.; D.5、下列说法正确的是 （ ）A.有理数只是有限小数 B.无理数是无限小数 C.无限小数是无理数 D.是分数6、下列说法错误的是 （ ）A. B. C.2的平方根是 D.7若，且，则的值为 （ ）A. B. C. D.8.下列结论中正确的是 （ ）A.数轴上任一点都表示唯一的有理数;B.数轴上任一点

26、都表示唯一的无理数;C. 两个无理数之和一定是无理数; D. 数轴上任意两点之间还有无数个点9-27 的立方根与的平方根之和是 （ ）A.0 B.6 C.0或-6 D.-12或6 10下列计算结果正确的是 （ ）A. B. C. D.二填空题: 11下列各数：3.141、0.33333、（相邻两个3之间0的个数逐次增加2）、0中,其中是有理数的有_；是无理数的 有_.（填序号）12. 的平方根是_；0.216的立方根是_.13. 算术平方根等于它本身的数是_；立方根等于它本身的数是_.14. 的相反数是_；绝对值等于的数是_15. 一个正方体的体积变为原来的27倍，则它的棱长变为原来的_倍.三

27、、解答题： 16计算或化简：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 17已知 ，且x是正数，求代数式的值。18观察右图，每个小正方形的边长均为1，图中阴影部分的面积是多少？边长是多少？估计边长的值在哪两个整数之间。把边长在数轴上表示出来。 参考答案：一、选择题：1、A 2、C 3、B 4、B 5、B 6、D 7、B 8、D 9、C 10、B二填空题:11、；. 12、；0.6. 13、；. 14、； 15、3.三、解答题：16、计算或化简：(1) (2) (3) (4) (5) (6) 17、解： 25x2=144 又x是正数 x= 18、解：图中阴影部分的面积17，边长是边长的值在4与5之间