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1、x/a+y/b=1(ab0),制作人:李明明 钟祥市职业高中数学组,椭圆及其标准方程,0 5 10 15 20 25 30,1,1997年初，中国科学院紫金山天文台发布了一条消息：从1997年2月中旬起，海尔.波普彗星将逐渐接近地球，4月以后又将渐渐离去；并预测3000年后，它还将光临地球上空，1997年2月至3月间，许多人目睹了这一天文现象。,原来，海尔.波普彗星运动的轨道是一个椭圆，通过观察它运行中的一些有关数据，可以推算出它的运行轨道的方程，从而计算出它的运行的周期及轨道的周长，预测它接近地球或渐渐离去的时间.,0 5 10 15 20 25 30,2,平面内与两个定点F1、F2的距离的
2、和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆.,这两个定点叫做椭圆的焦点.,两焦点的距离叫做椭圆的焦距.,F1,F2,M,0 5 10 15 20 25 30,想一想:,(1)如果平面内到两个定点的距离刚好等于F1F2,那么这个点的轨迹是什么?,(2)如果平面内到两个定点的距离小于F1F2,那么这个点的轨迹又是什么?,这就是当动点到两定点的距离等于定点间的距离时的运动轨迹,答案:当动点到两个定点的距离小于F1F2时,我们得不到任何图象.,M,答案:以两定点为端点的一条线段.,X,Y,0,M(x,y),P=M|MF1|+|MF2|=2a,0 5 10 15 20 25 30,1)建立坐标系,2)
3、设点的坐标,3)写点的集合,3,4)列出方程,0 5 10 15 20 25 30,5)化简整理,由椭圆的定义可知:2a2c，即ac，所以a-c0;设 a-c=b(b0)，再两边除以(ab)，得,即（a-c)x+(ay)=a(a-c),x/a+y/b=1(ab0),这个方程叫椭圆的标准方程,它所表示的椭圆的 焦点在X轴上,焦点是F1(-c,0)和F2(c,0).,注:,x/a+y/b=1(ab0),x/a+y/b=1(ab0),将这个方程移项，两边平方，得,两边再平方，得 a4-2 acx+c x=a x-2 acx+a c+a y,0 5 10 15 20 25 30,4,图 象,x/a+y
4、/b=1(ab0),y/a+x/b=1(ab0),标准方程形式,如何根据椭圆的标准方程,判断焦点在哪个坐标轴上?,答案:比较两个分式的分母,分母大的一个,说明焦点就在这个分母所对应的坐标轴上.,0 5 10 15 20 25 30,5,写出适合下列条件的椭圆的标准方程:(1)a=4,b=1,焦点在X轴上;(2)a=4,c=2,焦点在Y轴上.,例1,解:,(1)由题意可知:焦点在X轴上,则设标准 方程为 x/a+y/b=1,a=4,b=1 代入方程得到:标准方程是:x/16+y=1,(2)由题意可知:焦点在Y轴上,则设标准 方程为 y/a+x/b=1,a=4,c=2 由a-c=b 可得:b=12
5、,标准方程是:y/16+x/12=1,0 5 10 15 20 25 30,例2,求下列椭圆的焦点与焦距:,(1)x/25+y/16=1(2)x/144+y/169=1,解:,(分析:要求椭圆的焦点与焦距,首先我们必须判断焦点的位子,即焦点在哪个坐标轴上,然后根据a-b=c求c的值,最后写出焦点的坐标),(1)根据椭圆的标准方程知,x所对应的分 母大,则焦点在X轴上;,c=a-b=25-16=9,焦距2c=6;焦点坐标为:(3,0)和(-3,0),(2)根据椭圆的标准方程知,y所对应的分 母大,则焦点在y轴上;,c=a-b=169-144=25,焦距2c=10;焦点坐标为:(0,5)和(0,-
6、5),0 5 10 15 20 25 30,练习题：,1.写出适合下列条件的椭圆的标准方程：,（1）a=4，焦点为F1（-3，0），F2（3，0）,（2）b=4，焦点为F1（0，-3），F2（0，3）,2。求下列椭圆的焦点与焦距:,（1）2 x+y=8（2）3x+4y=12,3。平面内两个定点的距离是8，写出到这两个 定 点的距离的和是10的点的轨迹的方程.,0 5 10 15 20 25 30,6,35,F1,F2,M,作业:P224 T 1，2,（1）定义:平面内与两个定点F1,F2的距离的和等于常数(大于F1F2)的点的轨迹叫做椭圆,这两个定 点叫做椭圆的焦点,两焦点的距离叫做椭圆的焦 距.,（2）椭圆的标准方程：,（3）在椭圆的有关计算中常用 到 a-c=b,谢谢各位莅临指导！,
