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1、章末整合提升,热点一 一元二次方程的解法一元二次方程的常用解法有四种：直接开平方降次法；配方法；因式分解法；公式法对给定的一元二次方程，依据其特点，应首先判断能否使用直接开平方降次法，利用该方法所解的方程类型有(axb)2 c(c0)与(axb)2(cxd)2两种；其次是因式分解法，方程的右边化为 0 后，判断左边能否进行因式分解，常用的因式分解方法是提公因式法和公式法；最后是公式法，将方程化为一般形式 ax2bxc0(a0)后，,当 b24ac0时，代入求根公式 x,求得方程的,两个实数根；如果没有特殊说明，一般不用配方法求解,【例 1】我们知道，一元二次方程主要有四种解法，分别是：因式分解
2、法、直接开平方法、配方法和公式法请在以下四个方程中任选一个，并用合适的方法解方程(1)2x27x50;(2)3x212x0；,(3)2(x6)272;,(4)x24x5.,解：(以下任答出 1 个即可)(1)2x27x50(2x5)(x1)0，,(2)3x212x0，3x(x4)0，,解得 x10，x24.(3)2(x6)272，(x6)236，x66.,即 x112，x20.(4)x24x5，(x2)29，x23，x23，,即 x15，x21.,【跟踪训练】,1一元二次方程 x22x 的根是(,),C,Ax2Cx10，x22,Bx0Dx10，x22,2方程 2x(x3)0 的解是_,x10，
3、x23,3解方程：x24x10.解：x24x10，x24x1.,x24x414.(x2)25.,热点二,一元二次方程根的判别式,一元二次方程根的判别式：当 b24ac0 时，原方程有两个不相等的实数根；当 b24ac0 时，原方程有两个相等的实数根；当 b24ac0 时，原方程没有实数根,4(m2)24(m21)0，解得m.,综上所述，m.,【例 2】若关于 x 的方程(m21)x22(m2)x10 有实,数根，求 m 的取值范围,解：当 m210 且 m20 时，方程为一元一次方程，,有一个实数根；,当m210时，原方程为一元二次方程，依题意，判别式,【跟踪训练】4已知关于 x 的一元二次方
4、程(a1)x22x10 有两个,不相等的实数根，则 a 的取值范围是(,),C,Aa2Ca2 且 a1,Ba2Da2,5 当 k_ 时，关于 x 的一元二次方程 x2 6kx,3k260 有两个相等的实数根,1,解析：方程有两个相等的实数根，b24ac(6k)24(3k26)0.24k224.k1.,6已知关于 x 的一元二次方程 ax2bx10(a0)有两个,相等的实数根，求,ab2(a2)2b24,的值,解：ax2bx10(a0)有两个相等的实数根，b24ac0，即 b24a0.,热点三,运用一元二次方程解决实际问题,应用一元二次方程解决实际问题的思路是：(1)分析题意；(2)寻找等量关系
5、，列一元二次方程；(3)解一元二次方程；(4)检验方程的根是否符合实际意义；(5)写出答案,【例 3】2009 年我市实现国民生产总值为 1376 亿元，计划全市国民生产总值的以后 3 年都以相同的增长率实现，并且2011 年全市国民生产总值要达到 1726 亿元,(1)求全市国民生产总值的年平均增长率(精确到 1%)；(2)求 2010 年至 2012 年全市 3 年可实现国民生产总值多 少,亿元(精确到 1 亿元)?,解：(1)设全市国民生产总值的年平均增长率为 x，根据题意，得 1 376(1x)21 726.(1x)21.25，1x1.1.,x10.110%，x22.1(不合题意，舍去
6、)全市国民生产总值的年平均增长率约为 10%.(2)1376(110%)17261726(110%)1513.617261898.65138(亿元),2010 年至 2012 年全市 3 年可实现国民生产总值约为,5138 亿元,【跟踪训练】,7已知：,ABCD 的两边 AB，AD 的长是关于 x 的方程,(1)当 m 为何值时，四边形 ABCD 是菱形？求出这时菱形的边长；(2)若 AB 的长为 2，那么 ABCD 的周长是多少？,解：(1)四边形 ABCD 是菱形，ABAD.当(m1)20 时，即 m1 时，四边形 ABCD 是菱形.,8(2010 年汕头)某市 2007 年，2009 年
7、商品房每平方米平均价格分别为 4000 元，5760 元，假设 2007 年后的两年内，商品房每平方米平均价格的年增长率都为 x，试列出关于 x 的方,程：_.,4000(1x)25760,*,热点四,根与系数的关系,若一元二次方程 ax2bxc0(a0)的根为 x1，x2，则x1【例 4】已知关于 x 的方程 3x210 xk 0 有实数根，求满足下列条件的 k 的取值范围：(1)有两个正数根；(2)有一个正数根和一个负数根,【跟踪训练】,9已知关于 x 的一元二次方程 x26xk20(k 为常数)(1)求证：方程有两个不相等的实数根；,(2)设 x1，x2为方程的两个实数根，且x12x214，试求出,方程的两个实数根和 k 的值,(1)证明：b24ac(6)241(k2)364k20 恒,成立，,方程有两个不相等的实数根,10已知 x11 是方程 x2mx50 的一个根，求 m 的,值及方程的另一根 x2.,解：由题意，得(1)2(1)m50，解得 m4.当 m4 时，方程为 x24x50.解得 x11，x25.,所以方程的另一根 x25.,11已知一元二次方程 x22xm0.(1)若方程有两个实数根，求 m 的范围；,(2)若方程的两个实数根为 x1，x2，且x13x23，求 m,的值,解：(1)方程有两个不相等的实数根，b24ac(2)24m0.解得 m1.,
