中科大光学讲义05衍射光栅.docx

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1、第五章衍射光栅如果光波在其传播路径上遇到某种障碍物，则将产生衍射，从一般意义上， 光路上障碍物被定义为衍射屏。衍射屏的作用，就是破坏原有自由空间的波前并 重新构建波前，从而使光波场，即衍射场重新分布，前面讨论的具有圆孔、单缝、 矩孔等空间结构的障碍物都是衍射屏。除了上述结构简单的衍射屏之外，还有许多空间结构比较复杂的衍射屏，例 如，具有多条狭缝或多个圆孔的衍射屏。在种种结构复杂的衍射屏中，有一类是具有空间周期性结构的，其衍射的结 果又比较简单的规律，而且容易进行数学上的分析，所以获得了很广泛的应用。 这种衍射屏就是衍射光栅。衍射光栅：具有周期性空间结构或光学结构的衍射屏。衍射光栅可以具有反射或

2、透射结构，可以按不同的透射或反射率分为黑白光 栅、正弦光栅，等等。这类光栅由于使透射光或反射光的振幅改变，因而统称为 振幅光栅。还有一类光栅，对于入射光而言，是全透或全反的，但是透射光或反射光的 相位将被改变，因而被称作相位光栅。5. 1多缝夫琅和费衍射在一个不透光的屏上，周期性地分布着一系列透光狭缝，这就是一种最简单 的平面型透射式光栅。相邻两缝的距离为d,狭缝的宽度为a,不透光部分的宽度 为b,则 + 6 = d, d是光栅的空间结构周期，称作光栅常数。由于这类光栅指 在一个方向上具有周期性结构，所以是一种一维光栅。采用夫琅和费衍射方式，平行光向光栅入射，光栅之后，有一焦距为f的汇 聚透镜

3、，将衍射光汇聚到位于透镜焦平面处的接收屏上。5.1.1衍射强度在讨论单缝衍射时，我们曾经指出，如果单缝沿着衍射屏平移，而衍射装置 的其它部分保持不变，则衍射的强度分布将不发生改变，因为位于透镜焦平面上 的光强只与衍射光的方向有关。因而，对于多缝衍射屏来说，其中每一个单缝， 即每一个衍射单元在接收屏上所产生的衍射条纹都是相同的。但是，来自不同狭缝的光，由于是相干的，因而相互之间也要进行相干叠加, 实际上是一种干涉过程，而不是简单的光强相加。对于衍射光栅来说，既有来自 每一个衍射单元的波列各自的衍射，也有不同单元波列之间的干涉。巾 本V对于光栅的每一个单元，按衍射分析；不同的单元之间，按干涉分析。

4、可以采用振幅矢量方法或者记分方法求的衍射强度分布，以下分别加以说明。 1.用矢量法分析沿着与光轴夹角为9方向的衍射光，经过透镜后，都将汇聚到焦平面上的P 点。P点的方位角可以由透镜成像的规律得到，如图所示，就是9。每一个衍射 单元的复振幅可以用一个矢量表示，记为49。相邻两个单元的衍射矢量间具有位相差所有单元衍射的矢量和为光栅衍射的复振幅。设第n个狭缝的中心到P点的光程为”，由图上可以看出,L2 =d sin,即 Ln = Li+ (n - IMSin8相邻衍射单元间的光程差= dsin相邻衍射单元间的位相差，A。= kd sin= d sin记 2(3= ,则 B=Sir16,设光栅共有N条

5、狭缝，则合矢量就是N个单元衍射的矢量相加。将N个矢量依次首尾相接，而且第n个矢量相对于第n-1个矢量转过外即邛角。如图，Ae - aa2+ a3+ + aeA9 = OBn - 2RsinN= 2二Sin N =的 sin Pstn。用复振幅会为。9二-“ sn?衍射光强为/9= /（丝上）2（二 ）2M sin P例题5.1. 三条平行狭缝，宽为a,缝距分别为d和2d,求正入射时夫琅和费衍射分布用矢量方法求解如图，三个等长矢量，Z = L吧上，夹角依次为A0、 2f U0 = kdsin9 = sin9 = 2合矢量为A9,分量为A9x=- A + A CoSA(P + A cos(3) A

6、9y. =ASinA + 4 sin(3)Ag = A9 + Agf2 = A + A cos0 + A cos(3)2 A sin + A sin(30)2=A2 + J2 cos2 0 + icos2 (30) + Z42cos + 2A2cos 3+2J2cos cos 3+ J2 sin2 + 4 sin 2(3) + 2A2 sin sin(30)=3J2 + 2J2 cos + 242 cos 30 + 2J2 cos 2= A23 + 2 cos + 2 cos 20 + 2 cos 3=T0(2!”)2 3 + 2 cos 2+ 2 cos 40+ 2 cos 605.2. 导

7、出不等宽双狭缝的夫琅和费衍射强度分布公式，缝宽分别为a和2a,缝距 d=3ao矢量方法解： 1对于每个单缝，单元衍射因子分别为 zx _ Sinw 一sin 力, +._ . C6ZJ (6) Uq . 9 612 () 2U ,1, 其中 u 一 SSirl uIu沿。方向的衍射光，两缝的光程差 = Jsin = 3sin6,位相差(p = 3ka sin = 3亍FQSin = 6w ,则两矢量的夹角为：合矢量为A2 =+ a1 - 2ala2cos(TT - 0)sin 2 l /e sn2x2 . i, JWnUSln2/=(UQ) (2UO) - + 4Lcos Gu=(U0sin

8、u)2 1 + 4cos2 w + 4coswcos6w u即光强为/ = 70(*n .)21 + 4 cos2 w + 4 cos u cos6u，其中 =sin 6。 uA或者将宽度为2a的狭缝作为两个宽度为a的狭缝，采用三个矢量叠加的方法， 可以得到相同的结果。53 2N条平行狭缝，缝宽为a,缝间不透明部分周期性变化，间距a,3aa3a, 求下列各种情形的衍射强度分布(1)遮住偶数条；(2)遮住奇数条；(3)全开放1 1) (2)两种情形相当于单周期光栅衍射。(3 )有两套光栅常数为d=4a的光栅，相互错开a。 第一套Lj =Ll + (/ - 1)(4 sin0)第二套： = Ll

9、+ (44sin ) = L1 + a sin+ (/ - l)(4asin)矢量方法：有两套相同的矢量各自相加，其中对应的矢量间有夹角o,0o = ka sin9 = sin 9 = 2u。各自合成的结果为 A1 (9) , A2(9),两者之间的位相差为仇。这两个矢量的和为A2 =力：(9) + A21 (9) + 2A (9)J2(9) cos 0ii =/(9)2 + 2 cos 2u2 .用FreSneLKirChhoff衍射积分求解平行光入射，满足近轴条件，倾斜因子尸(90,9) = 1 , 1为常数，记为1 o r %UYP)二项 U0(m9。m = jj u(QWd瞳函数。0(

10、。)具有周期性的数值，透光部分，uo(2)=uo(0);不透光部分的u0(0)=O，所以仅对衍射屏透光部分求积分，有对每个狭缝的积分是求得入射光经该狭缝后的衍射在P点引起的振动，即 复振幅，为光的衍射：对所有狭缝的求和是将每一个狭缝射出的光在P点引起的 振动即复振幅进行叠加，自然是相干叠加，为光的干涉。物理过程为：每一个单 狭缝的光在P点先进行衍射，衍射后的复振幅再进行干涉。在第n个狭缝中，位置在Xj的点光源发出的光与狭缝中心发出的光到达P点的光程差为乙=-xsin,即rn - Ln- x,tsin,上述积分化为Ufp) =dxn=%,=包叫。1/ J -2邛打二L耍就是单缝衍射的复振幅，而X

11、 *就是多光束干涉心4（O）Sm “一心。（。严 M詈 Sme） 2 e*in% -J J-H2的结果。sin。为单元（单缝）衍射因子，由瞳函数决定。2i挹工sin9eiN e- iNfi_ e iNi -i ie e - e、1 . z, e法Lft =、.-IWSin9 =、-d*dsin9 =2in9-al e d(N-1 P _ etv - 19)sin fl其中 = kd sin9 = sin 9 N:N元干涉因子。最后得到U(P) = UOU(9)*9)M9)衍射光强为I(P) = /。(也与(任必)2* JUn (sinw / )2u=nasin9(sin7V/ sin)2=ds

12、in9例题1.积分方法 L2 = L + cl sin9， L3 = L1 + 3d sin9 , rj - Lj- x sin 9*旧 + k(L1-Ll) + / a-叫WP) = KFlj#o=dx + jUo;cix + j JT 闵=心”4 丝1 + + = KFIJoa=KFUoaLlw /kI fcfo9 + tdsin9强度分布/(9) = Zo(-)2 I 1 + eikdiw9 + wsin9 I2 u=0(i)23 + d邛 + ei6+ e i2 + e-i6+ ei4 + e i4 U=0(-.1? -) 23 + 2 cos 2+ 2 cos 4+ 2 cos 62

13、.解法一、两缝中心发出的沿9方向光的光程为4和L2 ,有，=4 + 1sin9 , rj = Lz - X sin 9,女尸）=阳j/。=去+jj=岗=K/卬g q詈+: a2Trrs,n W 1 cj%dsin9LsinC 口 fj, Sin r 1。/打而91KFUoaP- + 2*rfs,ny = KFUOeI1 + 2s,nycos urn w九rn w强度分布/(9) = 0(-n/) 21 + 4 cos2 M + 2 cos w * 2 cos(kdsin9) U=TO(IrII) 21 + 4 cos2 + 2 cos w * 2 cos 6uU解法二、将第二缝分为缝宽为a的两

14、狭缝，三缝中心间隔为dl=(52)a和d2=a。相应皿2 = L + & sin9 , L3 = Li+ (& + 4) Sin9。U(P)= KFa U0 隆阳 + e心”上二 KFaU0-1 + *&4)+ 他知Mn7uKFa TJO-1 + ekdsin9 + 出)si9j强度分布/(9) = 0(ln-)2 I 1 + exp(- ika sin9) + exp( ika sin9) 2= 0(?1 nr/.)2 1 + 1 + 1 + exp(Z47 sin9) + exp(-zZra sin9)it227722+ exp(-ica sin9) + exp(-ika sin9) +

15、exp(二永 sin9) + exp(-ika sin9) )22=0(-n _而Sin jU sn?0(,n lt)2(、e )2 2 + 2 COS(Z4 sin)usin 兰但)21 + cos2u sin4i其中 =sin , /3 = 4 5.1.2双缝衍射如果光栅只有两条狭缝，N=2,衍射光强为KP) = 4,o COS2 -，Ir而杨氏干涉为/= 0l + cos(sin) = 0(l + cos 2) = 40 cos2 义sin2 U两者相差衍射因子，这当然是由于杨氏干涉中不考虑单缝衍射的结 u果。或者，认为在杨氏干涉装置中把上=1,则必须有u = in= 0 ,只有 ”在Q

16、 广处，9； = 9 + q因而有 sin 9 - sin 9. = cos9,9. =,可得J , Xd9尸- - = .Nd cos Acos,L=Nd,就是光栅的宽度。光谱线的角宽度与光栅的有效宽度成反比，也与衍射交有关，衍射角大，则 角宽度也较大。但是，由于系统基本上都满足近轴条件，也就是说，通常都是小 角度衍射，因而衍射角度对谱线的角宽度的影响并不大。2.光栅的分辨本领入射光是白光，则同一级衍射谱中，不同的波长成分有不同的衍射角。设波长差为6人的同级衍射光谱线的角距离为59 ,则由光栅方程d sin9 = j,可以得到d cos99 = j,即KO 必09 - jocos?用RayI

17、eigh判据，9 9时，可以认为人与Z+的谱线是可以分辨的， 因而/二n二Z一可分辨的最小波长间隔为d cos9 Nd cos9= /jN一般用分辨本领表示光栅对不同波长光谱线的分辨能力，分辨本领的定义是 A_A;/吓分辨本领是针对波长的分辨，因而也称作色分辨本领。N越大，/越大，分辨本领越大；分辨木领与光栅常数4无关。5. 2.2光栅的色散与自由光谱范围1.光栅的色散9 = 9(A),不同波长的光在空间分开称为色散，光栅具有色散能力。1) d9d,角色散率，光栅的分光能力。定义为：两条纯数学的光谱线在空间分开的角距离。由光栅方程，可以得到d9 d= J / d cos9(1) y=0, d9

18、d= 0 ,零级光谱无色散，即所有不同波长的零级光谱线 都集中于同一位置。原因是零级谱的干涉的光程差等于零。(2) 9很小时，d9d= jd,对于固定的衍射级数/,角色散率为常数。角色散率与N无关。2)线色散率dd儿 光谱线在焦平面上分开的距离。dl / d= fd91 d2.光栅的量程由光栅方程dsin9 =或d(sin9 sin90) = j可以看出，由于 卜吊9| 1 ,所以 dsin9jd,波长大于光栅常数的光不满足光栅方程， 因而光栅的量程，即可以测量的最长波长为九 3.自由光谱范围将入射光的波长范围表示为4儿=4+ M、则衍射后有dsin 9n(J) =JmJsin 9w() =j

19、f=j(m + *)为了使光谱线不重叠，即第j级的长波Am的谱线与第j+1级的短波人的谱 线不重叠，就要求9“(/) 9(+l),由上式可以得到J（m +）（/ + 1）4即 w - w Mj入射光的波长范围必须满足上式，才能保证第j级光谱不与第j+ 1级光谱重 合，这一光谱范围，称作自由光谱范围，即光栅可以自由工作的波长范围。对于一级光谱0= 1 ）,可以从光的短波端人计算出光产的自由光谱范围， As hm = Lhm ,所以一级光谱的自由光谱范围为（人,24）。同样也可以从 其长波端确定此范围，对于一级光谱有，ZUV4,=4 一 即 w2 , 一级光谱的自由光谱范围为（儿/2/“）。光栅方

20、程要求A-,fesJ J 工 d=5亡i俏(1 + L九L号L瞰J JYA 12=陋* I e,fa5,n9+ Led +le dxf77=KUY-I e-lkxsn9+Ledx0 / J，而,d/2 1 i(r-jtsin9)x-e ddxJ-dJ2 2.“2 rt-A Sin9k，衣=5 % ,小一 (-sin9)r /(jg) /2 B-霓 2 BF相当于具有三个不同的夫琅和费单缝衍射因子，缝宽为d,狭缝中心分别在0, 兀，兀处。正是多元衍射因子而(9)的。级和1级的位置。其余的级次全部抵消。 所以只有这三级衍射。 /(9)4(9)J-L一dsin9-2024685.6 位相光栅振幅型衍

21、射屏使得光的振幅发生变化，上述各种黑白光栅和正弦光栅都属于 振幅型光栅；而相位型光栅则通过改变光的相位，使波前变化，从而重新构建光 波场。具有周期性变化的相位因子的衍射屏就是相位光栅。例如，将光学玻璃做成阶梯形结构，每一阶都有相等高度d和宽度a,设玻 璃的折射率为n ,则从玻璃相邻台阶射出的光，光程差为= (n - )a ,相位差为 A = k= 丁。衍射的极大值条件为5.7 X-RAY在晶体中的衍射5.7.1 晶格点阵晶体具有周期性的空间结构，这是由于晶体中的原子、分子或离子在空间作 周期性排列的结果。晶体的这种周期性可以用晶格描述。晶体的每一个结构单元， 即结构基元，也就是仅包含一个原子、

22、分子、或离子基团的最小的具有周期性的 结构单元，称作晶体的原胞。将这些原胞在空间周期性排列，就组成了晶体。在晶体结构学上，通常将一个原胞用一个点表示，则原胞的排列就变成了电 的排列。由于每一个点代表一个原胞，所以这些点就构成了与晶体结构一致的三 维空间网格，这种反映晶体结构的网格被称作晶格，或晶格点阵。一个原胞晶体的品格或点阵每一个格点都是由若干原子、分子、或离子基团组成，因而入射到格点的电 磁波将会向各个方向散射，散射波遵循波的叠加原理进行叠加。散射的过程可能 是相干的，也可能是非相干的。对于相干散射，散射波进行相干叠加，叠加的结 果，使得沿某些方向散射的波得到大大的增强，而某些方向的散射波

23、显著减弱。 这种过程实际上就是衍射。因而具有空间周期性结构的晶体可以作为衍射光栅。 这是一种三维的光栅。光学第五章衍射光栅5. 7.2 X-射线在晶体中的衍射但是晶体的结构周期，即相邻格点的间距，晶格常数，通常比可见光的波长 小得多，所以可见光不能在晶体中出现衍射。而X射线的波长与晶格常数匹配，X射线可以被晶体衍射。入射的X射线可以被其中的每一个格点散射。各个散射波进行相干叠加，产 生衍射。有一系列的衍射极大值。衍射极大值的方向就是X射线出射的方向。晶体中有很多的晶面族。不同的晶面族有不同的间距，即，晶格常数，do *Q O5 。二 -0一 。 F ，一.极大值条件1 .晶面的衍射首先计算每一

24、个晶面上不同点间的相干叠加，即点间干涉，或称为晶面的衍 射。入射X光相对于晶面的夹角为9,而散射光相对于晶面的夹角为9,如图所 示。相对于晶面的入射角、散射角都是掠射角。一个晶面上各个格点对入射光散射，相邻两个格点沿9方向散射光的光程差 为l = a(cos9,- cos9)，如果上述光程差满足& = a(cos9- cos9) = ,则散射光相干叠加，将会出现极大值。然而，晶格沿不同方向的散射光的强度并不相同，只有J=O的方 向光强最大，其它方向的散射光，及时满足干涉相长的条件，强度也要弱得多。 因而，每一个晶面的散射光，相干叠加的极大条件为9 = 9。这类似于衍射的情 形。2 .面间干涉相

25、邻晶面间的光程差为2dsin9,当该光程差等于波长整倍数时，相干叠加 后，又极大值。因此面间干涉的极大值条件为。2d sin9 = j该条件称作Bragg条件。5. 7.3晶体X-射线衍射的实验方法1 .劳厄（LaUe）照相法对于晶格常数未知的单晶体，可以采用具有连续谱的X-射线衍射，用照像底 版或其它探测器测量并记录衍射光的方位。如图所示，对于晶体中的某一个晶面，如果发生衍射的掠入射角为9,则相 对于入射光的方向而言，衍射光偏转了 29角；换言之，在不知晶面方向时，从 衍射光相对于入射光的偏转角29可以确定衍射角为9,进而确定晶面的取向。所以，在测量单晶体的衍射时，入射光的方向是不变的，晶体放在可以转动 的样品台上，探测器则处在一个圆周上。两者的转角保持联动，即样品转过9角， 探测器同时转过29角。这种“9- 29 ”扫描方式，可以测得各级衍射光，进而 得到晶格常数在粉末样品中，多晶粒的晶面可以沿任意方向排列，即同一个晶面族，在不 同的晶粒中可以有不同的取向，因而满足Bragg条件2dsin9=的衍射光，只 要相对于入射光转过29角即可，而与入射光成29角的直线构成了一个圆锥面， 该圆锥的顶角为49,或者衍射光在照像底版上形成了以入射光为中心的一系列 的同心圆环。为了使得晶粒的取向更充分，可以让棒状的样品绕轴旋转，单色X 光入射。由于样品中故衍射光沿圆锥面衍射。