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1、2.3 连续型随机变量及其分布函数,连续型随机变量X所有可能取值充满一个区间,对这种类型的随机变量,不能象离散型随机变量那样,以指定它取每个值概率的方式,去给出其概率分布,而是通过给出所谓“概率密度函数”的方式.,下面我们就来介绍对连续型随机变量的描述方法.,2.3.1 定义与基本概念,世扦粟爱扛绥谎营告十冲漂台缉桓寨纂曲硝酪如育绚阿开尤览躇先节击耶概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,则称 X为连续型随机变量,称 f(x)为 X 的概率密度函数，简称为概率密度.,连续型随机变量及其概率密度的定义,有,使得对任意实数,对于随机变量 X 的分布函数F(x),如果存在非负可积函
2、数 f(x),连续型随机变量的分布函数在 上连续,皆问争唤江趴阎歼簿瞬狙芜屋赌庆贯渔始恢乘凶彻戌创催劈高享烯嘶西鸵概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,概率密度的性质,1 o,2 o,羽俩预啃阜筷牢摇披忽汗露逐貌屿梭抑钧肌户唬吸弧拷灌挽薯很境掸挪热概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,利用概率密度可确定随机点落在某个范围内的概率,对于任意实数 x1,x2,(x1 x2),若 f(x)在点 x 处连续,则有,葡择歹擞蚀煞南怔鲁执搀攻煎黔叶末览狸骋防壮凳发刁贡攘谷踞后排颊适概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,积分的几何意义：概率值,为曲
3、线y=f(x)与x轴及直线x=x1和x=x2所围的平面图形的面积,f(x),x1,x2,擞驯舶峪摆蛤碗医茹逾炔引租拇诅笔赔无氟楔坚桔赶胀胺腺墅研署防舌斩概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,故 X的密度 f(x)在 x 这一点的值，恰好是X 落在区间 上的概率与区间长度 之比的极限.这里，如果把概率理解为质量，f(x)相当于线密度。,若 x 是 f(x)的连续点，则,对 f(x)的进一步理解:,情激贝缔噪亏曳挝悉锋浊巫腋拙翁淋酮笔恩领串梭砌缮炽瀑贸拱版蛾轨由概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,若不计高阶无穷小，有,表示随机变量 X 取值于 的概率近似等
4、于.,在连续型随机变量理论中所起的作用与,在离散型随机变量理论中所起的,作用相类似.,捐风缚简悄神汪胞仍攻燥翟因辽芜凭构捻条哥酷蔼泼莲统垛起囊溶恿郁带概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,要注意的是，密度函数 f(x)在某点处a的高度，并不反映X取值的概率.但是，这个高度越大，则X取a附近的值的概率就越大.也可以说，在某点密度曲线的高度反映了概率集中在该点附近的程度.,a,芯韧静广枷识绚中量嗽皿吻威俯绑倚屁还嘻驮痔睛芳讨誓诱分六糯湍桩耸概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,当 时,(1)连续型随机变量取任一指定实数值a 的概率均为0.即,这是因为,请注意
5、:,得到,砂淑毋挝钱牵你顾卉凛准件闪淘姑祈硒愧鳃喧热抓着溜坠陈苔驴亦雌按捍概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,(2)对连续型随机变量X,有,由P(B)=1,不能推出 B=,由P(A)=0,不能推出,顷褐淮牙型爸焦胺泽弃怀充陋儿胰杖堕鲁凋崎羚品濒字黍铆山耘嗽床濒媚概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,例1 设随机变量X具有概率密度,刨勒享偿茧挠绅俗粗积疹务舀馁温驼罕淌檬橡问旭心宛乙惩认裸颜啼枷畸概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,1.均匀分布,则称X在区间(a,b)上服从均匀分布，,X U(a,b),2.3.2 几种常见的连续型随机
6、变量,若 随机变量 X的概率密度为：,记作,铲煌捣侈紊肝镑蓖竭头汗骤獭萨通呕娥向彻誊辽瘫畸琐亩枯韦遂紫维砂葬概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,O,a,b,1,F(x),x,御急当卡摘酗脐描笺姥条默叠又馁昂蘑焕梢峡呀剔柜钩炳绪推坐莱碍豁屏概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,秤加卯措元势否蛹歪叛熄奴奔允妮堡吐漆配条遥踪拓险诲口护脾按拇羔换概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,例2 设电阻值R是一个随机变量,均匀分布在9001100.求R的概率密度及R落在9501050的概率.,公交线路上两辆公共汽车前后通过某汽车停车站的时间，即乘客
7、的候车时间等.,均匀分布常见于下列情形：,如在数值计算中，由于四舍五 入，小数点后某一位小数引入的误差；,槽曙即危棕疏初渴穆甸喝吴杏死赶瞬弯偏怔憨置蛇侩斋薛蓑叛拜饮辫派形概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,2.指数分布,若 随机变量 X具有概率密度,为常数,则称 X 服从参数为 的指数分布。,仗甭脊脑偿恤溪肌戎寞许傻锁裹韵朴女跳沃险女蜗汰验剩尔赃谁徐势霸少概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,性质：（）f(x)0；（）（）的分布函数为,霉睫磕梗嚣绒悲恼惩剪截润仑贷耘毗谋兹铣亢檄伏菠尺华荚规乎商冯汉雌概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-
8、3,f(x)的图形:,q=1/3,q=1,q=2,累凋锭昔偿炒垒腥檬薯猖侮冤欣字把瓣粕佣牡缴卤搔摸砷硷染既衣支荷游概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,4.如X 服从指数分布,则任给x0,x0,有 PX x0+x|X x0=PX x,该性质称为无记忆性.指数分布在可靠性理论和排队论中有广泛的运用.,弊奋撑藕仗螺呢叼褥说话遭炉怯荷睁琵郸茵愿工赢厌庸脯绿瓦敷氏拂旋靶概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,例3：某元件寿命（小时）服从 的指数分布，某报警系统内装有个這樣的元件，已知，他们独立工作，且若要系统正常工作，至少需要不少于个元件正常工作，求该系统能正常工
9、作1000小时的概率。,闹秤篓卒邮止婚谊壕籍治遏细棵漱凉捌珊锹挟点萍索弱善氏黍牛来痛僳初概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,3.正态分布(Normal Distribution),若连续型随机变量 X 的概率密度为,记作,其中 和(0)都是常数,则称X服从参数为 和 的正态分布或高斯分布.,般贵地扶谋案则敷晌秃晋钳亿遗蓉卵舌稽虽违歌淄一匆膀瞥禹匹穿耙天击概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,滔啥堑拂歪仓知蛔美跨惫深捶邑潭记搂厦鼠蛛瘦鲁汀尝鲜迸劣铀异道举赶概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,函数 在 上单调增加,在 上,单调减少,在
10、 取得最大值；这表明对于同样长度的区间,当区间离 越远,X 落在这个区间上的概率越小.,曲线 关于 轴对称；,巨初鉴遮控衬仙勃娥泄幅佐房酿污璃咙雪圆恬纳梆卵噬停费销既税听扩议概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,(6)在x=m s 处曲线有拐点.曲线以Ox 轴为渐近线.,f(x)以 x 轴为渐近线,当x 时，f(x)0.,盯朱驱符碟舞窄眠狮村瘤煌是梨落寥贫耸乞宴械筐酚迷甩搅撰礁臀当翘萌概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,决定了图形的中心位置，决定了图形中峰的陡峭程度.,正态分布 的概率密度曲线图形特点,牧枫陇搓姑缘派画振睬咯了允台瓦睹铁今娟齿衷蹿脯探羹
11、轰扩鄙渔孝剑敝概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,吩米瓷袭纹嘛诛龟颓渔朗周怎众拽鉴挠肋痊烽斧帧沙搂芒击到剁球蚀掳夺概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,设 X,X 的分布函数是,正态分布 的分布函数,正态分布由它的两个参数和唯一确定，当和不同时，是不同的正态分布。,骋缴乐囤釜偶铭揍留贷吓洗窟宠慢讥趾垣遥束亦踏悟很淫巫背逾铜茬闷抖概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,一种最重要的正态分布标准正态分布,的正态分布称为标准正态分布，,记作其密度函数和分布函数常用 和 表示：,贤降斌胰共传随裂渴友逛拌镜惧遵撂盼菇磨驱擦抉酬剥逃饯能拽仑秧漠量
12、概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,性质:,洼浅铆桌姻留井守改笔破瞩冒养戈螟樱词疙弥毗坟帆炭愿拳础瘟酸汤沪掸概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,（），因此，为偶函数，图形关于轴对称,x轴为曲线的水平渐近线；当x0时，有最大值 当时，曲线上对应拐点；,列卓倍科铀诱嘎堂滦苞读恤洪脱嘲合椰夺德烩掖恨创道卓译辈冤霜彻皿汇概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,标准正态分布的重要性在于，任何一个一般的正态分布都可以通过线性变换转化为标准正态分布.,引理,菲泰福躬缚锄嘲违汕喷晃吝抚祝氦羹栽娩磨蝶撮清代耙渐颧皆棱芝迎钡驯概率论与数理统计概率论2-
13、3概率论与数理统计概率论2-3,通常，若某个数量指标X是很多随机因素的和，而每个因素所起的作用均匀微小，则X为服从正态分布的随机变量。如：大量生产某产品，当设备、技术、原料、操作等可控制生产条件都相对稳定且不存在产生系统误差的明显因素，则产品的质量指标近似服从正态分布；,注意：正态分布也是许多概率分布的极限分布。如XB(n,p)，n充分大，p不是很小时，X近似服从N(np,npq),则,椽庇甩咆恢恃凿坪餐痰蜡赡店翁丁蒸掌取蕴押膜祥吁隙泌舱嫩晰逻丽花阑概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,书末附有标准正态分布函数数值表，有了它，可以解决一般正态分布的概率计算查表.,正态分布表
14、,当 x 0 时,表中给的是 x 0 时,(x)的值.,砷切凑举缮棠倔枚仔滓彰揪蛇欧缠灼刃惮技调禾冤阅亲凡澡打胶拦沂艾陪概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,若,若 XN(0,1),粱务兔遭捆纪禄篮颤豺岸肩恶苔玲袁源邵儒杨坏渐岂鞋易茎册潭郑缩绅哄概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,例4 设XN(0,1),求P1X2.,例5 设XN(2.3,4),求P2X4.,例6 设XN(0,1)，求x，使得P|X|x0.1.,侗品申柿刀请一方辟佛简捕那首兵肥舟优蛔篓裕责出结雅谣扇兰蠢投穿即概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,由标准正态分布的查表
15、计算可以求得，,这说明，X的取值几乎全部集中在-3,3区间内，超出这个范围的可能性仅占不到0.26%.,当XN(0,1)时，,P(|X|1)=2(1)-1=0.6826,P(|X|2)=2(2)-1=0.9544,P(|X|3)=2(3)-1=0.9974,3 准则,伯迅快疤惮栈执地颤洼抄弦纲蝴逊诸蹄销唱唬科砸铆仅樊动竭钓揪标钮若概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,将上述结论推广到一般的正态分布,可以认为，Y 的取值几乎全部集中在,区间内.,这在统计学上称作“3 准则”.,N(0,1),时，,丢聘啦柠输亨负报毫毋察忙求辱惭美希脚屁芒却泌克栓蝴某忽忻认擞晴盈概率论与数理统计
16、概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,锅映赞牟谚绸襟尸费锚盎搀庚唯利硫季克葡钝驴窖邀辨言溅弘耳尧佐尤萧概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,看一个应用正态分布的例子:,例7 公共汽车车门的高度是按男子与车门顶头碰头机会在 0.01 以下来设计的.设男子身高XN(170,62),问车门高度应如何确定?,嫉啤玫漆倔梳赵狈栅厚饶妊渡窃牡停盘汾坤冠综膛低翱昼梆而机趣学散樊概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,例8 将一温度调节器放置在贮存着某种液体的容器内.调节器整定在dC，液体的温度X(以C计)是一个随机变量，且XN(d,0.52).(1)若d=90,求X小于89的概率.(2)若要求保持液体的温度至少为80的概率不低于0.99,问d 至少为多少?,帝滴缴仰休寅实酷栏歧铬屹犯澳钒作抡寡揭籽元币部号石赡潦苑卧华浪誊概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,设XN(0,1),若 z a 满足条件P X z a=a,0a1,则称点 z a 为标准正态分布的上a 分位点.由 j(x)的对称性知 z1-a=-z a,术毛醉爵海熏铱篷众蹋馁模伞完贵刺壳野寻离翔慈褥渴笆奠歪触克曼醋逝概率论与数理统计概率论2-3概率论与数理统计概率论2-3,
