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1、一、利用直角坐标计算二重积分,二、利用极坐标计算二重积分,一、利用直角坐标计算二重积分,如果区域D可以表示为不等式 j1(x)yj2(x),axb,则称区域D为X型区域.,X型区域与Y型区域,如果区域D可以表示为不等式 y1(y)xy2(y),cyd,则称区域D为Y型区域.,有的区域既是X型区域又是Y型区域,而有的区域既不是X型区域又不是Y型区域,但它总可以表示为若干个X型区域和Y型区域的并.,下页,提示 zf(x,y)为顶,以区域D为底的曲顶柱体的体积.,提示 截面是以区间j1(x0),j2(x0)为底、以曲线zf(x0,y)为曲边的曲边梯形.,提示 根据平行截面面积为已知的立体体积的求法.
2、,设f(x,y)0,D=(x,y)|j1(x)yj2(x),axb.,二重积分的计算,对于x0a,b,曲顶柱体在xx0的截面面积为,曲顶柱体体积为,下页,即,注 计算一般二重积分只需取消f(x,y)0的限制.,下页,设f(x,y)0,D=(x,y)|j1(x)yj2(x),axb.,二重积分的计算,对于x0a,b,曲顶柱体在xx0的截面面积为,曲顶柱体体积为,如果D是X型区域:D=(x,y)|j1(x)yj2(x),axb,则,上式也可以记为,如果D是Y型区域:D=(x,y)|y1(y)xy2(y),cyd,则,下页,二重积分的计算,先对x后对y的二次积分,先对y后对x的二次积分,如果D是X型
3、区域:j1(x)yj2(x),axb,则,计算二重积分的步骤,如果D是Y型区域:y1(y)xy2(y),cyd,则,(1)画出积分区域D的草图.,(2)用不等式组表示积分区域D.,(3)把二重积分表示为二次积分:,(4)计算二次积分.,下页,解,画出区域D.,方法一,把D看成是X型区域:,于是,D:1x2,1yx.,下页,围成的闭区域,注,积分还可以写成,D:1y2,yx2.,下页,解,画出区域D.,方法二,把D看成是Y型区域:,围成的闭区域,于是,分析,积分区域可表示为X型区域,D:1y1,1xy.,D:1x1,xy1.,积分区域也可表示为Y型区域,下页,及yx所围成的闭区域.,或,提问 哪
4、个二次积分容易计算？,下页,解,积分区域可表示为X型区域,D:1x1,xy1.,及yx所围成的闭区域.,分析,积分区域可表示为DD1+D2,其中,积分区域也可表示为,下页,所围成的闭区域.,D:1y2,y2xy2.,下页,分析,积分区域可表示为DD1+D2,其中,积分区域也可表示为,D:1y2,y2xy2.,所围成的闭区域.,提问 哪个二次积分容易计算？,下页,解,积分区域可表示为,D:1y2,y2xy2.,所围成的闭区域.,提示:,由对称性,所求体积是第一卦限部分体积的8倍.,例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.,解,设这两个圆柱面的方程分别为,x2y2R2及x2z2
5、R2.,所求立体的体积为,下页,首页,例4 求两个底圆半径都等于R的直交圆柱面所围成的立体的体积.,解,设这两个圆柱面的方程分别为,x2y2R2及x2z2R2.,所求立体的体积为,二、利用极坐标计算二重积分,有些二重积分,其积分区域D或其被积函数用极坐标变量 r、q 表达比较简单.这时我们就可以考虑利用极坐标来计算二重积分.,下页,提示,我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.,小区域si的面积为:,下页,下页,我们用从极点O出发的一族射线与以极点为中心的一族同心圆构成的网将区域D分为n个小闭区域.,小区域si的面积为:,在极坐标系下的二重积分,
6、在极坐标系下二重积分的计算,如果积分区域可表示为 D:j1(q)j2(q),aqb,则,下页,提示,下页,解,下页,为a的圆周所围成的闭区域,在极坐标系中 闭区域D可表示为 0a 02,下页,解,为a的圆周所围成的闭区域,在极坐标系中 闭区域D可表示为 0a 02,下页,例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍,在极坐标系中D可表示为,结束,例6 求球体x2y2z24a2被圆柱面x2y22ax所截得的(含在圆柱面内的部分)立体的体积,解,由对称性 立体体积为第一卦限部分的四倍,在极坐标系中D可表示为,
