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1、3.2立体几何中的向量方法（1）方向向量与法向量（2）平行关系（3）垂直关系（4）夹角问题（5）距离问题（6）综合问题,（1）方向向量与法向量,1、空间中点的位置的确定：,点的位置向量,A,P,除此之外,还可以用垂直于平面的直线的方向向量(这个平面的法向量)表示空间中平面的位置.,3、平面的确定：,平面的法向量：如果表示向量 的有向线段所在直线垂直于平面，则称这个向量垂直于平面,记作，如果，那 么 向 量 叫做平面 的法向量.,给定一点A和一个向量,那么过点A,以向量 为法向量的平面是完全确定的.,几点注意：1.法向量一定是非零向量;2.一个平面的所有法向量都互相平行;3.向量 是平面的法向量
2、，向量 是与平面平行或在平面内，则有,例1.如图所示,正方体的棱长为1直线OA的一个方向向量坐标为_平面OABC 的一个法向量坐标为_平面OAA1O1 的一个法向量坐标为_,(0,0,1),(1,0,0),例1.如图所示,正方体的棱长为1平面AB1C 的一个法向量坐标为_,(-1,-1,1),(1,1,-1),三、简单应用,练习1：,设直线l，m的方向向量分别为，根据下列条件判断l，m的位置关系：,因为方向向量与法向量可以确定直线和平面的位置，所以我们可以利用直线的方向向量与平面的法向量表示空间直线、平面间的平行、垂直、夹角、距离等位置关系.,用向量方法解决几何问题,3.2立体几何中的向量方法
3、（2）平行关系,m,l,一.平行关系：,例1 四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形,PD底面ABCD，PD=DC=6,E是PB的中点，DF:FB=CG:GP=1:2.求证：AE/FG.,A,B,C,D,P,G,F,E,A(6,0,0),F(2,2,0),E(3,3,3),G(0,4,2),AE/FG,证：如图所示,建立空间直角坐标系.,/,AE与FG不共线,几何法呢？,例2 如图,在正方形ABCD-A1B1C1D1中,M,N分别是C1C、B1C1的中点,求证:MN平面A1BD,分析:证明线面问题,可利用三种方法:一是证明 与平面A1BD的法向量垂直;二是在平面A1BD内找一向量与 平行;
4、三是证明 可以用平面A1BD中的两不共线向量线性表示.,:建立如图所示的空间直角坐标系.,设正方体的棱长为1,则可求得M(0,1,1/2),N(1/2,1,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),B(1,1,0).于是,设平面A1BD的法向量是则 得,取x=1,得y=-1,z=-1,方法:证明 与平面A1BD的法向量垂直;,X,Y,Z,三、练习:,1，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P在A1B1上，Q在BC上，且A1P=QB，M、N分别为AB1、PQ的中点。求证：MN/平面ABCD。,z,y,x,o,证明：建立如图所示的空间直角坐标系o-xyz,设正方形边长为2，又设A1P=BQ=2
5、x,则P(2，2x，2)、Q(2-2x，2，0)故N(2-x,1+x,1),而M(2,1,1),2、四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD底面ABCD，PD=DC,E是PC的中点，(1)求证：PA/平面EDB.,A,B,C,D,P,E,解1 立体几何法,A,B,C,D,P,E,解2：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：连结AC,AC交BD于点G,连结EG,A,B,C,D,P,E,解3：如图所示建立空间直角坐标系，点D为坐标原点，设DC=1,(1)证明：,设平面EDB的法向量为,3.2立体几何中的向量方法（3）垂直关系,l,m,l,A,B,C,例1：棱长
6、为a 的正方体 中,E、F分别是棱AB,OA上的动点，且AF=BE,求证：,Z,x,y,解：如图所示建立空间直角坐标系，设AF=BE=b.,证明：设正方体棱长为1，为单位正交 基底，建立如图所示坐标系D-xyz，,所以,证明2：,E是AA1中点，,例3 正方体,平面C1BD.,证明：,E,求证：平面EBD,设正方体棱长为2,建立如图所示坐标系,平面C1BD的一个法向量是,E(0,0,1),D(0,2,0),B(2,0,0),设平面EBD的一个法向量是,平面C1BD.,平面EBD,练习：如图所示，PA 矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC的中点。（1）求证：MN CD（2）若平面PDC与
7、平面ABCD成45度的角，求证：MN 平面PDC.（3）当AD:AP为何值时,MN 面PDC并证明。,练习：如图所示，PA 矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC的中点。（1）求证：MN CD,设AB=2a,AD=2b,AP=2c,则M(a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2c)N(a,b,c),练习：如图，PA 矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC的中点。(2)若平面PDC与平面ABCD成45度的角，求证：MN 平面PDC.,易证：PDA=450,PA=AD,设AB=2a,PA=AD=2b,则M(a,0,0),C(2a,2b,0),D(0,2b,0),P(0,0,2b)N(a,b,b),练习：如图所示，PA 矩形ABCD所在平面，M,N分别是AB,PC的中点。(3)当AD:AP为何值时，MN 面PDC,并证明。,设AD:AP=时，MN 面PDC,设AB=2a,AD=2b,AP=2c,则b=c,
