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1、第四章随机信号通过线性系统,2,3.1 线性系统基本理论,主要内容,3.2 随机信号通过连续时间系统,3.3 随机序列通过离散时间系统,3,系统可分为：（1）线性系统：线性放大器、线性滤波器（2）非线性系统：限幅器、平方律检波器对于线性系统：已知系统特性和输入信号的统计特性，可以求出输出信号的统计特性,3.1 线性系统的基本理论,所研究的系统：单输入单输出（响应）连续或离散线性时不变物理可实现（因果性）稳定性,4,连续时间系统：输入和输出都是连续时间信号；离散时间系统：输入和输出都是离散时间信号。,连续与离散系统：,（1）线性性：（2）时不变：,线性时不变系统：,称作算子,5,什么是线性系统？
2、,时不变线性系统,连续时不变线性系统,离散时不变线性系统,3.1 线性系统的基本理论,6,时不变线性系统,若任意常数a,b,输入信号x1(t),x2(t),有Lax1(t)+bx2(t)=aLx1(t)+bLx2(t),若输入信号x(t)时移C,输出y(t)也只引时移C，即y(t-C)=Lx(t-C),L.,x(t),y(t)=Lx(t),3.1 线性系统的基本理论,什么是线性系统？,7,连续时不变线性系统,h(t),x(t),y(t)=x(t)*h(t),3.1 线性系统的基本理论,什么是线性系统？,8,3.1 线性系统的基本理论,3.1.2 连续时不变线性系统的分析方法,9,3.1 线性系
3、统的基本理论,3.1.3 离散时不变线性系统的分析方法,10,3.1 线性系统的基本理论,3.1.4 卷积积分回顾,1.卷积积分计算,11,3.1 线性系统的基本理论,2.冲激函数性质,12,3.2 随机信号通过连续时间系统,13,3.2.1 时域分析法 1、输出信号的均值2、输出信号的自相关函数3、输入信号与输出信号之间的互相关函数,3.2 随机信号通过连续时间系统,14,：,1、输出信号的均值,3.2.1 时域分析法,2、输出信号的自相关函数,输入信号的自相关函数RX输出信号的自相关函数RY，即：,15,输入x(t)与输出y(t)的互相关函数RXY输出y(t)的自相关函数 RY,2、输出信
4、号的自相关函数,3.2.1 时域分析法,t时刻的Xt+时刻的Y以Y为计时起点，则-时刻的X,t时刻的Yt+时刻的X以Y为计时起点，则+时刻的X,16,3、输入X与输出Y之间的互相关函数RXY,3.2.1 时域分析法,t时刻的Xt+时刻的Y若以X为计时起点，则+时刻的Y,t时刻的Yt+时刻的X若以X为计时起点，则-时刻的Y,17,小 结,平稳随机信号,18,解：,19,(1)输出信号均值,20,(2)输出自相关函数,21,(3)输出平均功率,(4)输入输出互相关函数,22,当输入信号带宽远大于系统带宽时，输入信号白噪声。,23,前提:系统处于稳定状态时，t=0系统输出响应也已处于稳态,3.2 随
5、机信号通过连续时间系统,24,3.2.2 频域分析法,3.2 随机信号通过连续时间系统,1、输出信号的均值 2、输出信号的功率谱密度 3、输入信号与输出信号的互谱密度 4、拉氏变换与付氏变换的关系,25,1、输出信号的均值,对于平稳随机信号x(t)：,3.2.2 频域分析法,3.2 随机信号通过连续时间系统,26,2、输出的功率谱密度SY,3.2.2 频域分析法,3.2 随机信号通过连续时间系统,3、输入与输出的互谱密度SXY/SYX,x为起点,27,28,29,3.3.1 时域分析法 1、输出序列的均值 2、输入序列与输出序列的互相关函数 3、输出序列的自相关函数,3.3 随机序列通过离散时
6、间系统,平稳随机序列类似于平稳随机信号。,30,3.3.1 时域分析法 1、输出序列的均值,3.3 随机信号通过离散时间系统的分析,2、输入与输出的互相关函数RXY/RYX,31,3.3.1 时域分析法 3、输出序列的自相关函数,32,3.3.2 频域分析法,3.3 随机信号通过离散时间系统的分析,1、输出序列的功率谱密度 2、输出序列的自相关函数 3、输出序列的平均功率,33,3.3.2 频域分析法,3.3 随机信号通过离散时间系统的分析,1、输出序列的功率谱密度,34,35,3.3.2 频域分析法,3.3 随机信号通过离散时间系统的分析,2、输出序列的自相关函数,36,3.3.2 频域分析
7、法,3.3 随机信号通过离散时间系统的分析,3、输出序列的平均功率R(0),式中 l 代表 z 平面上的单位圆,37,38,解:由题知,例 设计一稳定线性系统,使其在具有单位谱的白噪声激励下输出谱为:,39,3.3.3 色噪声和白化滤波器,问题：如何设计一个线性系统，使输入为白噪声时，输出信号具有所希望的功率谱密度？,问题：如何设计一个线性系统，将色噪声转化为白噪声(即白化滤波器),40,1.色噪声的产生,设输入信号为具有单位功率谱密度的白噪声，则系统输出信号的功率谱密度为,41,2.白化滤波器,42,例 求功率谱密度为 的白化滤波器.,解:,43,例3.9 求功率谱密度为 的白化滤波器.,解
8、:,44,白噪声通过线性系统分析,系统输出的功率谱密度为,或物理谱密度为,注意：该式表明，若输入信号是具有均匀谱的白噪声，则输出信号的功率谱密度主要由系统的幅频特性决定。这是因为无线电系统都具有一定的选择性，系统只允许与其频率特性一致的频率分量通过。,45,白噪声通过线性系统，可得所需的随机信号。该随机信号特性完全由系统特性决定，所以，随机信号可用系统的传递函数/系统函数表征（即随机信号的参数模型）,输出自相关函数为,输出平均功率为,46,3.4 平稳随机序列的参数模型,平稳随机序列的特征描述：时域特征参数：均值、均方值（平均功率）、方差、自相关、自协方差频域特征参数：功率谱密度平稳随机序列的
9、参数模型：从实验角度，描述平稳随机序列。同样的白噪声信号w(n)输入不同的线性系统h(n)，就可得不同的平稳随机序列x(n)。可见，平稳随机序列x(n)的特征由线性系统决定。即线性系统的系统函数H(Z)可用来描述平稳随机序列。故H(Z)就是平稳随机序列的参数模型。,47,3.4 平稳随机序列的参数模型,48,3.4.1 滑动平均模型-Moving Average 简称MA模型,49,3.4.1 滑动平均模型-Moving Average 简称MA模型,50,3.4.2 自回归模型(常用)-Autoregressive 简称AR模型,51,AR模型的参数估计可以归结为求解一组线性方程组，计算简单
10、。因此，AR模型的应用最广。,52,53,如AR参数模型,54,3.4.3 自回归滑动平均模型Autoregressive Moving Average 简称ARMA模型,55,56,3.5平稳随机序列参数模型的适应性,3.5.1 有限阶的MA信号模型,57,任一MA序列都可以用无限阶的AR信号模型表示，或者可以用足够大阶数的AR信号模型近似表示。,3.5.2 无限阶的AR信号模型,3.5平稳随机序列参数模型的适应性,58,任一ARMA序列都可以用无限阶的AR信号模型表示,3.5.2 无限阶的AR信号模型,3.5平稳随机序列参数模型的适应性,59,3.5.3 无限阶的MA信号模型,任一ARMA
11、序列都可以用无限阶的MA信号模型表示,3.5平稳随机序列参数模型的适应性,60,3.5.4 总结,三种信号模型可互相转换，具有普遍适应性。同一序列可用不同信号模型表示，但效率有差别。模型系数越少，效率越高。AR模型适合：功率谱仅有尖峰的信号MA模型适合：功率谱仅有深谷的信号ARMA模型适合：功率谱有尖峰有深谷的信号所谓适合，即该方法的模型系数少，效率高。值得注意的是，AR模型计算简单，为工程上常用，工程师宁愿阶数高，系数多，以求更近似表达。,3.5平稳随机序列参数模型的适应性,61,3.6 随机序列参数模型与功率谱、自相关函数,平稳随机序列以三种不同的方式描述，从不同角度说明其统计特性。自相关
12、函数和功率谱密度是一对傅里叶变换。3.6.1 如果已知系统函数H(Z)和白噪声信号w(n),则可以求得实平稳随机序列的功率谱密度PXX。,62,3.6.2 如果已知实平稳随机序列的功率谱密度PXX，求线性系统的系统函数H(Z),有理谱信号：白噪声通过线性稳定系统后所产生的随机信号,63,3.6.2 如果已知实平稳随机序列的功率谱密度PXX，求线性系统的系统函数H(Z),谱分解定理：,64,3.6.2 如果已知实平稳随机序列的功率谱密度PXX，求线性系统的系统函数H(Z),由谱分解定理可得以下推论：1）在谱分解定理的约束条件下，由信号X(n)的功率谱密度PXX只能分解出唯一的零极点在单位圆内的稳定系统H(Z)2）所分解出的系统H(Z)一定是最小相位系统（所有零点都在单位圆内），即系统具有可逆性。3）已知随机信号的功率谱PXX，可按照谱分解定理，求得该随机序列的参数模型H(Z)4)已知随机序列参数模型H(Z)，求该随机信号的的功率谱PXX，这种计算则更容易些。,65,66,67,方法2：谱分解,68,69,谱分解的步骤,
