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1、第二章 一维随机变量及其分布,上一章用集合来表示事件和事件的运算，实现了第一步抽象化、符号化的工作。但在这里，集合中的元素对应的还是随机试验中具体出现的结果。本章首先要作的就是把这些结果和实数对应，相应的变量即为随机变量，则事件对应着相应的数集，进一步的，我们可以把已有的数学工具应用到概率分布问题的研究，从而实现研究方法的函数化，这有利于更好、更深入地揭示随机现象的规律性。看下面简单的例子,例:抛掷一枚硬币的两个结果：正面，反面，也可以用数字表示：1，0,这时对应的关系可以反映为一个变量,一、随机变量的概念,1 随机变量及其分布,随机变量一般用 X,Y,Z,或小写希腊字母,表示。,例1(1)随
2、机地掷一颗骰子，表示所有的样本点,X():1 2 3 4 5 6,(2)某人买彩票直至买中为止，表示买入次数，则,(3)记录下午两点到晚上12点电话呼入时间,则,：,(3)X()表示记录下午两点到晚上12点电话呼入时间对应的随机变量，讨论,注:1.分布函数对应的集合可以表示随机变量其它等式或不等式表示的集合；2.分布函数给出了研究统计规律性统一的基本概念。它完整地描述了随机变量的统计规律性（见下页）.,二、随机变量的分布函数,若把 X 看作数轴上的坐标，则表示 X 落在区间 上的概率，则利用分布函数可以计算,而,分布函数的性质,单调不减，即,3.右连续，即,注：后两条性质做直观理解即可！,即,
3、图像：,解：由分布函数的性质，我们有,得,解得,试求常数A,B.,例2 设随机变量 X 的分布函数为,描述离散型随机变量的概率特性常用它的概率分布或称分布律，即,概率分布的性质,2 离散型随机变量,(1)0 1 分布,二、常见的离散型随机变量的分布,应用场合 凡是试验的目的只考虑两个可能的结果，常用0 1分布描述，如考试是否及格、产品是否格、人口性别统计、系统是否正常、电力消耗是否超负荷等等.简单且普便,或写成,分布律：,(2)二项分布,回顾：n 重 Bernoulli 试验中，每次试验感兴趣的事件 A 在 n 次试验中发生的k次的概率？,称 X 服从参数为n,p 的二项分布，记作,0 1 分
4、布是 n=1 的二项分布,例2 一大批产品的次品率为0.1，现从中取出15件试求下列事件的概率：B=取出的15件产品中恰有2件次品 C=取出的15件产品中至少有2件次品,解：由于从一大批产品中取15件产品，故可近似看作是15重Bernoulli试验,所以，,X 表示“抽取的产品中次品的个数”，则,例3:一个完全不懂英语的人去参加英语考试.假设此考试有5个选择题，每题有4重选择，其中只有一个答案正确.试求：他居然能答对3题以上而及格的概率.,解:由于此人完全是瞎懵，所以每一题，每一个答案对于他来说都是一样的，而且他是否正确回答各题也是相互独立的.这样，他答题的过程就是一个Bernoulli试验。
5、,另问：全部答错的概率？,0.237,回顾：的幂级数展开式？,解：随机变量 X 的分布律为,3 连续型随机变量及其概率密度,引例 考虑某车床加工的零件长度与规定的长度的偏差，通常知道偏差的范围，设其偏差的绝对值最大是a,那么 V-a,a,定义 设X 是一随机变量，若存在一个非负可积函数 f(x),使得,其中F(x)是它的分布函数.,则称 X 是连续型随机变量，f(x)是它的概率密度函数，简称为密度函数或概率密度.,一、连续型随机变量的概念,分布函数 F(x)与密度函数 f(x)的几何意义:建立坐标系,给出f(x)的图像。,f(x)的性质：,1、,2、,我们常利用此性质检验一个函数能否作为连续性
6、随机变量的密度函数，或求其中的未知参数。,f(x)描述了X 在 x 点分布函数值的变化率。,命题 连续型随机变量取任一常数的概率为零，则要注意不可能事件的概念与不同。,那么，对于连续型随机变量X,例1 设随机变量 具有概率密度函数试确定常数A，以及 的分布函数.,解 由,知A=3，即,而 的分布函数为,(1)均匀分布,则称 X 服从区间(a,b)上的均匀分布,记作,若X 的密度函数为,X 的分布函数为,二、常见的连续性随机变量的分布,均匀分布的密度函数和分布函数图像：,密度函数：,分布函数：,x,(2)指数分布,若 X 的密度函数为,则称 X 服从 参数为的指数分布。,记作,X 的分布函数为,
7、0 为常数,(3)正态分布,首先看标准正态分布,f(x)的性质：,图形关于直线 x=对称：f(+x)=f(-x),在 x=时,f(x)取得最大值,在 x=时,曲线 y=f(x)在对应的点处有拐点,曲线 y=f(x)以x轴为渐近线,曲线 y=f(x)的图形呈单峰状,x,f(x),0,应用场合,若随机变量 X 受到众多相互独立的随机因素的影响，而每一个别因素的影响都是微小的，且这些影响可以叠加,则X 服从正态分布.,密度函数的验证,可以验证,标准正态分布N(0,1),分布函数为,回忆：,怎么计算？,图形,-x,x,对一般的正态分布 N(,2),其分布函数,作变量代换,例5设 X N(1,4),求
8、P(0 X 1.6),解,即由随机变量X来考察Y=g(X)的概率特性。,4 随机变量函数的分布,设随机变量 X 的分布律为,由已知函数 Y=g(X)可求出随机变量Y 的所有可能取值，则Y 的概率分布为,一、离散型随机变量函数的分布,例1 已知 X 的概率分布为,求 Y=X 2 的分布律.,解,已知随机变量X 的密度函数 f(x)(或分布函数)求 Y=g(X)的密度函数或分布函数.,基本方法的步骤：,二、连续性随机变量函数的分布,先看例子,解：(1)先求 Y=X-4 的分布函数 FY(y)：,整理得 Y=X-4 的概率密度为：,本例用到变限的定积分的求导公式：,注意：求Y的密度函数并不需要把Y的分布函数具体求出。,总结一般规律，回节首,解,当a 0 时，,当a 0 时，,故,例如，设 X N(,2),Y=a X+b,则,Y N(a+b,a22),特别地，若 X N(,2),则,解：(1)先求 Y=X 2 的分布函数 FY(y).,(2)可得,例如,设 XN(0,1),则 Y=X 2 的概率密度为：,
