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1、概率论与数理统计,第一节 一维随机变量 及其分布(2),三、离散型随机变量,四、典型的离散型随机 变量及其分布,三、离散型随机变量,定义,或记为,称上面两式为离散型随机变量X 的分布律或,1.离散型随机变量的分布律,分布列.,注,1 分布律中的 pi 必须满足:,2 若X是离散型随机变量，则其分布函数为:,设随机变量的分布律为,解,例1,2.离散型随机变量分布律与分布函数的关系,(1)若已知X 的分布律:,则X的分布函数,(2)若已知X的分布函数F(x),则,X的分布律,或,离散型随机变量的概率计算公式:,2,1,注,例2,一盒内装有5个乒乓球，其中2个旧的，3个新的，从中任取2个，求取得的新
2、球个数X的分布律与分布函数，并计算：,解,X=取得的新球个数，其分布律为,或,X的分布函数为,0.1+0.6,0.1+0.6+0.3,0.7,1,0.1,0.7,1,方法1,方法2,四、典型的离散型随机变量及其分布,若X的分布律为,2.两点分布,1.退化分布(单点分布),若随机变量X取常数值C的概率为1,即,则称X服从退化分布.,或记为,则称 X 服从(0-1)分布或两点分布.记为XB(1,p).,注 两点分布是一种比较简单的分布,任何一个只,有两种可能结果的随机现象,例如在产品的一次检,验中出现“正品”或“次品”;抛掷一次硬币出现“正,面”或“反面”;做一次试验事件“A发生”或“A不发,生”
3、均可用这一数学模型描述.,若X的分布律为,则称X服从离散型均匀分布,这里要求 各不相同.,例如掷骰子试验,若记出现的点数为X,则X的可,能取值为1,2,3,4,5,6.那么X的分布律为:,3.离散型均匀分布,二项分布可以用来描述n重贝努里试验,事件,4.二项分布,A恰好发生k次的概率,是概率论中一种重要的,分布.,解,因此,其中,例3,泊松分布可以描述某一段时间内电话交换台,5.泊松分布,来到的电话呼唤次数,在某一时间间隔里放射性,物质发出的经过计数器的粒子数.它也可以作为,二项分布的极限分布.即下面要讲的泊松定理.,泊松定理,证,利用泊松定理,当n 很大时可用泊松分布近似,注,二项分布,达到
4、简化计算的目的.,解,例4,两种计算表明,结果误差不大,计算机停止工作的概率约为0.777.,例5,解,已知,一时段内通过某交叉路口的汽车数X可看,作服从泊松分布的随机变量，若在该时段内没,有汽车通过的概率为0.2,求在这一时段内多于,一车通过的概率.,设某批产品的次品率为 p,对该批产品做有,放回的抽样检查,直到第一次抽到一只次品为,止(在此之前抽到的全是正品),那么所抽到的,产品数目 X 是一个随机变量,求X 的分布律.,6.几何分布,例6,所以 X 服从几何分布.,注 几何分布可作为描述某个试验“首次成功”,解,的概率模型.,超几何分布在关于废品的记件检验中经常用到.,7.超几何分布,内
5、容小结,1.离散型随机变量 X 的分布律(分布列),2.常见的离散型分布及其应用背景.,退化分布,(单点分布),必然事件,两点分布,(或 01分布),X B(1,p),贝努里 概型,(0p1),离散型均匀分布,古典概型,二项分布,X B(n,p),n重贝努里概型,泊松分布,X P(),(0),(0p1),稀有事件,几何分布,在n重独立试验中，A首次发生的试验次数为X.,超几何分布,设N件产品中有M件次品，从中任取n件，其中的次品数为X.,再见,备用题,例1-1,设随机变量的分布律为,试确定常数 a.,解,所以 a=1.,一汽车沿一街道行驶，需要通过三个均设 有红绿信号灯的路口，每个信号灯为红或
6、绿与其它 信号灯为红或绿相互独立，且红绿两种信号灯显示 的时间相等.以X表示该汽车首次遇到红灯前已通过 的路口的个数，求X的概率分布.,解 依题意,X可取值0,1,2,3.,P(X=0)=P(A1)=1/2,设,例2-1,即,例2-2,两名蓝球队员轮流投篮,直到某人投中为,止,若第一名队员投中的概率为0.4,第二名队员投中,的概率为0.6,求每一名队员投篮次数的概率分布列,(设由第一名队员先投).,解,设X,Y分别表示第一、二名队员的投篮次数.,表示第一名运动员和第二名运动员在前k-1次都未,投中,而第一名运动员的第k次投中,或者第一名运,动员在自己的前k次中未投中及第二名运动员在自,己的前k
7、-1次中未投中,但在第k次时投中,故,仿上述分析,可得,从一批含有10件正品及3件次品的产品中一件、一件地取产品.设每次抽取时,所面对的各件产品被抽到的可能性相等.在下列三种情形下,分别求出直到取得正品为止所需次数 X 的分布律.(1)每次取出的产品经检定后又放回这批产品中去在取下一件产品;(2)每次取出的产品都不放回这批产品中;(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批产品中.,例3-1,解,(1)X 所取的可能值是,(2)若每次取出的产品都不放回这批产品中时,X 所取的可能值是,(3)每次取出一件产品后总以一件正品放回这批 产品中.,故 X 的分布律为,X 所取的可能值是,例3-2,某射
8、手命中10环的概率为0.7,命中9环的概,率为0.3.试求该射手三次射击所得的环数不少于29,环的概率.,解,记X为三次射击中命中10环的次数,则,因为“所得的环数不少于29环”相当于,“射击三次至少二次命中10环”，故所求概率为,例3-3,经验表明：预定餐厅座位而不来就餐的顾,客比例为20%如今餐厅有50个座位，但预定给,了52位顾客，问到时顾客来到餐厅而没有座位的,概率是多少？,解,记X为预定的52位顾客中不来就餐的顾客数，,因为“顾客来到就餐没有座位”相当,于“52位顾客中最多1位顾客不来就餐”，所以所求,概率为,在保险公司里有2500名同龄和同社会阶层的人参加了人寿保险，在一年中每个人
9、的死亡的概率为0.002,每个参加保险的人在1月1日须交12元保险费，而在死亡时家属可从保险公司里领取2000元赔偿金.求：,(1)保险公司亏本的概率；,(2)保险公司获利不少于20000元的概率.,解,(1)以“年”为单位，在1年的1月1日，保险,公司的总收入为：,例4-1,保险公司在这一年中，应付出：,2000X(元),设 A=保险公司亏本，则,(2)保险公司获利不少于20000元的概率.,B,即 保险公司获利不少于20000元的概率接近于62%.,某射手连续向一目标射击，直到命中为止，已知他每发命中的概率是p，求所需射击发数X 的分布律.,解 显然，X 可能取的值是1,2,，,P(X=1)=P(A1)=p,为计算 P(X=k)，k=1,2,，,设,于是,例6-1,这就是求所需射击发数X的分布律.,不难验证,例6-2,已知患色盲者占0.25%,试求:(1)为发现一,例患色盲者至少要检查25人的概率;(2)为使发现色,盲者的概率不小于0.9,至少要对多少人的辩色力进,行检查?,解,(2)设至少对n个人的辩色力进行检查,于是,至少要检查920人才能使发现一例色盲患者的概率,不少于0.9.,注,从本题可看出根据概率分布律求事件的概率,一般要分两步进行:一是要求随机变量X的分布,二,是求相应事件的概率.,
