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1、一阶倒立摆系统模型分析、状态反馈与观测器设计,1.建立一级倒立摆数学模型,图1.一级倒立摆模型 注意：后面建立倒立摆数学模型过程中忽略了空气阻力和弹性形变等。,首先对摆杆进行受力分析，如图2所示。其中H表示摆杆受到的水平方向力，N表示摆杆所受的竖直方向的力，摆杆所受的旋转摩擦力矩用 表示，则得到摆杆平面运动微分方程。图2.摆杆受力分析图,（1）水平方向：摆杆质心的水平位移 摆杆受到的水平方向力（2）竖直方向 摆杆质心的竖直位移：摆杆受到的竖直方向力（3）绕质心的转动,根据以上方程可得消去H和N可得 由则得,根据系统最终的控制方式，给系统施加的控制量是车体的加速度，因此选择加速度为系统的输入，从
2、而可得倒立摆系统的运动学方程：根据以上系统方程可以看出倒立摆模型是非线性的。为了应用线性系统理论，可在倒立摆平衡位置附近对系统进行线性化，取，令 并忽略高次项，可得如下方程：,可以用线性系统理论对倒立摆系统进行控制，选择状态变量x。则状态空间表达式可表示为：,倒立摆系统参数如下,代入数据计算得状态空间表达式：,2.倒立摆数学模型分析,（1）稳定性分析根据特征方程的根来判断系统的稳定性，由计算得特征根为知系统是不稳定的。,（2）可控性分析由知系统是完全能控的，满足特征值可任意配置的极点配置定理。,（3）可观测性分析由可知系统完全能观，满足全维观测器极点配置条件。,3.状态反馈,对于系统的状态方程
3、状态反馈的基本结构为：K为状态反馈增益阵。,状态反馈闭环系统的状态空间表达式为：状态反馈实际上是通过状态反馈增益阵K的选择来改变闭环系统的特征值，从而获得系统所要求的性能。反之，可以根据系统所要求的性能来确定闭环系统的特征值，进而确定K的值（对应于极点配置的内容）。,4.极点配置,假设系统要求超调量不超过10%，调整时间为2s，根据公式 经计算取，可得系统特征方程为 主导极点为,对于倒立摆系统，选取其余n-2=2个期望的闭环极点（选取的闭环极点应远离主导极点）。则取为因此得期望的闭环特征多项式为：,对于原被控系统，引入反馈后闭环系统 特征多项式为 比较 可求得,解得则反馈增益阵为状态反馈通过调
4、整K能任意配置闭环系统的极点，有效地改善系统的性能。同时，系统解耦、镇定、渐近跟踪以及最优控制等都离不开状态反馈。但状态反馈的前提条件是必须得到系统内部的各个状态变量，而系统的状态变量往往比较难获取，甚至是无法测量，因此需要设计状态观测器来重构系统的状态。,4.状态观测器设计,状态观测器的定义：设系统 的状态x不能直接检测，构造一个动态系统，以 的输入u和输出y为输入量，能产生一组输出量 渐进与x，使则称 为 的状态观测器。,状态观测器的方程为：虚线框为状态观测器，状态逼近的速度取决于G的选择和A-GC的配置。,倒立摆系统状态观测器的设计：根据观测器综合原则，可取期望的观测器特征值为-20，-
5、20，采用极点配置算法可计算得观测器增益矩阵G为计算,带状态观测器的状态反馈系统为,5.仿真分析,基于全维状态观测器下的倒立摆控制系统仿真：,仿真结果,状态估计值与系统状态比较从仿真结果看，控制性能满足系统要求的性能指标。,全维观测器状态跟踪误差仿真结果：,降维观测器设计,在实际工程实践中，系统的输出是能够测量的，因此可以考虑用输出量直接产生响应的部分状态变量，其余状态变量则通过构造观测器来实现，所构造的观测器为降维观测器。本实验的倒立摆系统采用P变换方法设计降维观测器。,（1）由rank(C)=2,对于C取如下非奇异阵P 则（2）取期望的特征值为，则特征多项式为，解方程得,进一步计算 综合得
6、到降维状态观测器为,基于降维观测器的倒立摆控制系统仿真：,基于降维状态观测器的倒立摆控制系统仿真从仿真结果看，控制性能也满足系统要求。,降维观测器状态跟踪误差仿真结果：,不管是系统的极点配置、镇定、解耦控制、无静差跟踪还是线性二次型的最优控制,都可以用状态反馈去加以实现。但是状态不易直接量测,或者是由于量测的设备在经济上和使用上的限制,使得不可能来实际获得系统的全部状态变量,从而使状态反馈的物理实现成为不可能。状态反馈在性能上的不可替代性和在物理上的不能实现性形成了一个尖锐的矛盾。解决这个矛盾的途径之一,就是通过重构系统的状态,并用这个重构的状态来代替系统的真实状态,以实现所要求的状态反馈。状态观测器正是在这样的背景下提出的一个同时具有理论意义和应用价值的研究课题。,对线性系统而言,著名的Kalman 滤波器和Luenberger 观测器为该领域的观测器设计问题提供了较为完美的答案（对非线性系统而言,观测器问题没有系统的方法可采用,非线性系统观测器设计问题要比线性系统复杂得多）。对于观测器而言，有降维观测器，也有扩张观测器。目前对于观测器的研究更多的是趋向于应用。扩张观测器通过把系统中的内外扰动扩张成新的一阶状态，再利用特定的误差反馈，然后选择适当的观测器参数得到系统所有状态的观测值，其中包括对象模型的不确定性和未知扰动的观测值。,
