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1、,一、幂函数,二、指数函数与对数函数,三、三角函数与反三角函数,四、复合函数 初等函数,五、双曲函数与反双曲函数,12 初等函数,对数函数,指数函数、,正弦和余弦函数、,反正弦和反余弦函数、,正切和余切函数、,正割和余割函数、,反正切函数、,反余切函数,复合函数、,基本初等函数与初等函数,双曲函数、,双曲函数的性质、,反双曲函数,一、幂函数,函数 y=xm（m 是常数）叫做幂函数幂函数的定义域：与常数m 有关，但函数在（0，）内总有定义最常见的幂函数：,二、指数函数与对数函数,1,a1,y=ax,常用的指数函数为 y=ex.,1指数函数函数 y=ax(a是常数，且a0，a 1)叫做指数函数指数
2、函数的定义域：D=（-，+）单调性：若a1，则指数函数单调增加；若0a1，则指数函数单调减少,1,a1,y=ax,y=logax,2对数函数指数函数y=ax的反函数叫做对数函数，记为y=logax(a0，a 1)对数函数的定义域是区间(0，+)自然对数函数：y=ln x=loge x.,常用的三角函数有：正弦函数：y=sin x,1,-1,y=sin x,1,-1,y=cos x,余弦函数：y=cos x,三、三角函数与反三角函数,1三角函数,正切函数：y=tan x,余切函数：y=cot x,y=tan x,y=cot x,正割、余割函数的性质：是以2p为周期的函数，在区间(0,),正割函数
3、：,p2,余割函数：,内是无界函数,反正弦函数的主值：y=arcsin x，其值域规定为，.,反三角函数是三角函数的反函数，它们都是多值函数.,y=Arcsin x,y=arcsin x,反正弦函数：y=Arcsin x，定义域为-1，1.,反余弦函数：y=Arccos x定义域为-1，1,反余弦函数的主值：y=arccos x，其值域规定为(0，p),y=Arccos x,y=arccos x,2反三角函数,反正切函数的主值：y=arctan x，,反正切函数：y=Arctan x,定义域为(-，).,y=Arctan x,y=arctan x,反余切函数的主值：y=arccot x，其值域
4、规定为(0，p),反余切函数：y=Arccot x，,定义域为(-，).,y=Arccot x,y=arccot x,设 u=1-x2，则函数 y=的值可以按如下方法计算：,对于任一 x-1，1，先计算 u=1-x2，然后再计算 y=，,例 函数 y=表示 y是 x的函数，它的定义域为-1，1,这就是说函数 y=的对应法则是由函数u=1-x2和y=,所决定的，我们称函数 y=是由函数u=1-x2和y=,复合而成的复合函数，变量 u称为中间变量,1复合函数,四、复合函数 初等函数,u=j(x),y=f(u),y=f j(x),复合函数：,一般地，设函数y=f(u)的定义域为D1，函数u=j(x)
5、在数集D2上有定义，如果 u|u=j(x)，xD2 D1则对于任一 xD2，通过变量u能确定一个变量y的值，这样就得到了一个以x为自变量、y为因变量的函数，这个函数称为由函数 y=f(u)和u=j(x)复合而成的复合函数，记为y=f j(x)，其中定义域为D2，u称为中间变量,复合而成的其中u，v 都是中间变量,函数y=可看作是由y=，u=1+v2，v=lnx,函数y=，u=cot v，v=经复合可得函数,问：函数y=arcsin u与u=2+x2能构成复合函数吗？,y=,例 函数y=arctan(x)2可看作是由y=arctan x和u=x2复合而成的,2基本初等函数与初等函数,幂函数、指数
6、函数、对数函数、三函数和反三角函数统称为基本初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的并可用一个式子表示的函数，称为初等函数,都是初等函数,例如,，,，,五、双曲函数与反双曲函数,1双曲函数 应用上常遇到的双曲函数是：,y=ch x,y=sh x,1,-1,y=th x,双曲函数的性质：,sh(x y)=sh x ch y ch x sh y，比较 sin(x y)=sin x cos y cos x sin y;ch(x y)=ch x ch y sh x sh y;比较 cos(x y)=cos x cos y sin x sin y;,-+,ch2 x-sh2 x=1;sh 2x=2sh x ch x;ch 2x=ch2 x+sh2 x.,2反双曲函数,双曲函数 y=sh x，y=ch x，y=th x的反函数依次记为 反双曲正弦：y=arsh x，反双曲余弦：y=arch x，反双曲正切：y=arth x可以证明,arsh x=ln(x+)的证明：,y=arsh x是x=sh y的反函数，因此满足,令u=ey，由上式得 u2-2xu-1=0，,解方程得,两边取对数得,
