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1、2023/5/20,1,1.5 亥姆霍兹定理,一、亥姆霍兹定理：,若矢量场 在无限空间中处处单值，且其导数连续有界，而源分布在有 限空间中，则矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定；且可表示为一个标量函数的梯度和一个矢量函数的旋度之和。,2023/5/20,2,二、亥姆霍兹定理的证明：,1、证矢量场由其散度、旋度和边界条件唯一确定：,设在无限空间中存在两个矢量函数，它们具有相同的散度和旋度。,令,（1-5-2）,则,（1-5-3）,2023/5/20,3,对 两边取旋度,（1-5-2）,根据矢量恒等式,则令,（1-5-4）,2023/5/20,4,将（1-5-4）代入,（1-5-3）,（1-5
2、-5）,而满足拉普拉斯方程的函数不会出现极值，若给定边界条件，则满足拉普拉斯方程的 函数应该是,由（1-5-4）,由（1-5-2）,有限的常数,唯一,2023/5/20,5,处处为零，任一物理场必有源来激发它，若这个场,设在无限空间中一个既有散度又有旋度的矢量场，可表示为一个无旋场（有散场）和一个有旋场（无散场）之和：,2、证：,即,（1-5-6）,（1）对无旋场,必使其散度不会,的旋涡源和通量源都为零，则场不存在。,（1-5-7）,两个重要的恒等式之一,2023/5/20,6,（2）对有旋场,（1-5-8）,（3）综合（1）与（2），则,证毕,两个重要的恒等式之一,2023/5/20,7,应用：静电场是无旋场，可以表示为标量场的梯度，这个标量场就是电位；用标量场的电位间接表示矢量场的电场，在数学处理上带来许多便利。,已知,矢量 的通量源密度 矢量 的旋度源密度 场域边界条件,在电磁场中,电荷密度 电流密度 场域边界条件,（矢量 唯一地确定）,亥姆霍兹定理在电磁理论中的意义：研究电磁场的一条主线。,
