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1、第十六章 多元函数的极限与连续,16.1 平面点集与多元函数 16.2 二元函数的极限 16.3 二元函数的连续性,1.简要介绍多元函数的概念(一元函数只依赖一个自变量，多元函数依赖多个自变量)。,2.多元微积分是一元微积分的推广（思想方法完全一致；同样有：极限、函数、连续、导数、微分、积分几个部分；许多结论可以完全类似地给出；但是，也有部分内容，多元与一元是不一样的。应当注意！）,引言,3.二元函数是多元函数的代表（特别是在微分学中）。一元函数推广到二元函数，不论是本质上，还是形式上都不相同。差异较大。而二元函数推广到n元函数（n3），形式上稍有差异，本质相同。因此，二元函数有，书写简便，内
2、容直观，又能反映出多元函数的特征。,我们将重点研究二元函数。,16.1 平面点集与多元函数,一.平面点集:,由平面解析几何知道，,矩形域,圆域：开圆，闭圆，圆环，圆的某个部分.,特别极坐标表示圆域,角域：,简单域,2.邻域,注：圆邻域内有方邻域，方邻域内有圆邻域.,二.点集拓扑的基本概念:,1.内点、外点和界点,的内点、外点集和边界.,内点,外点集,边界,2.(以凝聚程度分为)聚点和孤立点:,3.(以包含不包含边界分为)开集和闭集:,4.(以连通性分为)开区域、闭区域、区域：,以上常见平面点集均为区域,5.有界集与无界集:,7.不等式：,三.点列的极限:,在实数(数轴上的点)的连续性理论中,有
3、几个描述连续性的定理,这些定理可以推广成坐标平面上的点的连续性理论.其中有:,闭区域套定理、柯西收敛准则、聚点定理（魏尔斯托拉斯定理）、有限覆盖定理。,它们是极限理论的基础。,1.Cauchy收敛准则:,（与一元函数平行地有）,2.闭集套定理:（与一元函数平行地有）,3.聚点原理:Weierstrass聚点原理.（与一元函数平行地有）,(自证),4.有限复盖定理:（与一元函数平行地有）,五.二元函数:,1.二元函数的定义、记法、图象：,二元函数 f 的图象通常是一张曲面.f 的定义域D便是这张曲面在xoy平面上的投影.,例如,图形如右图.,例如,如左图球面.,单值分支:,2.定义域：,问:多元函数的定义域的确定方法?,例6 求 的定义域,解,所求定义域为,3.二元函数求值,定义:若二元函数的值域是有界数集,则称此函数为有界函数；若二元函数的值域是无界数集，则称此函数为无界函数。,
