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1、2.1 公平的席位分配(第四版 p.278),某学校有3个系，共200名学生。其中甲系100名,乙系60名,丙系40名.若学生会设20个席位,公平而又简单的席位分配办法是按学生人数的比例分配,显然甲、乙、丙三系分别应占有10,6,4个席位。,现在丙系有6名学生转入甲、乙两系,各系人数如表1第2列所示.,一、问题的提出,仍按比例(表中第3列)分配席位时出现了小数(表中第4列),在将取得整数的19席分配完毕后,三系同意剩下的1席参照所谓惯例分给比例中小数最大的丙系,于是三系仍分别占有10,6,4席(表中第5列).,惯例在特殊的情况下暴露了一个问题,因为有20个席位的代表会议，在表决提案时可能出现1
2、0:10的局面,会议决定下一届增加1席。按照上述方法重新分配席位,计算结果见表6、7列显然这个结果对丙系不满意。因为席位增加1席,而丙系却由4席减为3席.,第6列,第7列,生活中，一般规则在特殊情况下暴露问题的案例比比皆是,重庆郭家沱，2005年的一天早上，三个初一女生结伴乘一辆三轮摩托上学。途中，突遇车祸，三人同时身亡。两个城市籍的分别赔偿16余万，而农村籍的仅出于道义，赔偿了两三万。这是按照不同生活地区，年平均劳动收入来确定赔偿标准的。事情一报道，舆论哗然：普遍认为不公平。如果事情是发生在不同的地区，不公平的问题也许不太突出。只有在特殊的情况下，不公平的问题才会显现。现在，重庆市政府已制定
3、了符合公平原则的新规定。,公平、正义比太阳还要有光辉,二、设定目标：找到衡量公平分配席位的指标,并由此建立新的分配方法.,讨论A,B两方公平分配席位的情况，并建立评价指标。设两方人数分别p1和p2,占有席位分别是n1和n2,则两方每个席位代表的人数分别为p1/n1和p2/n2.显然仅当 p1/n1=p2/n2时席位的分配才是公平的.但是因为人数和席位都是整数,所以通常 p1/n1p2/n2。其中 pi/ni i=1,2数值较大的一方吃亏,或者说对较大的一方不公平。,下面度量不公平程度,不妨假设p1/n1p2/n2,不公平程度可用数值p1/n1-p2/n2衡量.如设 p1=120,p2=100,
4、n1=n2=10,则p1/n1-p2/n2=12-10=2,它衡量的是不公平的绝对程度。但是仅仅依靠差值无法区分两种程度明显不同的不公平情况.,例如上述双方人数增加为p1=1020和p2=1000,而席位N1=N2=10不变时,p1/n1-p2/n2=102-100=2,即绝对不公平程度不变.但是常识告诉我们,后面这种席位分配造成的不公平程度比起前面p1=102,p2=100来已经大为改善了.,两会提出修改选举法：改变4个农村人口才拥有一个选举权；改变明星、劳模、领导当人大代表的现状,因此，考虑用相对标准代替绝对标准,为了改进上述绝对标准,自然想到用相对标准.仍记p1,p2为A,B两方的固定人
5、数,n1,n2为两方分配的席位.若p1/n1p2/n2,则定义,(1),为对A的相对不公平度.,若p1/n1p2/n2 则定义,(2),为对B的相对不公平度.,差额占标准的几分之几,建立了衡量分配不公平程度的数量指标 后,选择席位分配方案的原则是使相对不公平度尽可能的小。,下面讨论在已有分配方案的情况下增加1席时的分配方案。假设A,B两方分别占有 和 席。当总席位增加1席时,利用相对不公平度 和 讨论应分配给A还是B.,不失一般，可设,即对A不公平.当再分配1个席位时，可能有以下3种情况：,三、试用新指标,1、尝试给A方，出现,这说明即使A方增加1席,仍然对A不公平,所以这一席显然应分给A方.
6、,2、尝试给A方，出现,即A方增加1席时将变为对B方不公平,参照(2)式可计算出对B的相对不公平度为,(3),3、尝试给B方，出现,即给B方增加1席时，对A不公平。参照(1)式可计算出对A的相对不公平度为,(4),不可能出现 的情况.,公平分配席位的原则是使得相对不公平度尽可能地小,所以如果,则，给B对A造成更大的不公平，这1席应分给A方;反之则分给B方。,(5),为两方分配席位的原则是选择不公平尽可能地小的方案,可以举出实例：席位分配起初对A不公平。新加1席，如果给A，会对B造成较大的不公平，所以，最后还是给了B方。,例：p1=11,n1=2，每5.5个人拥有一个席位。p2=100,n2=2
7、0，每5个人拥有一个席位。p1/n1p2/n2对A方不公平。试给A方加1席，因为 p1/(n1+1)p2/(n2+1),即 11/2100/21 所以对A方不公平。相对不公平度为 rA=p1*(n2+1)/p2*n1-1=0.155=15/100显然，对B造成的不公平更大。于是，席位还是分给B方。,四、新指标使用方法的改进,(6),改进判别方法 根据(3),(4)两式,(5)式等价于，即,(3),(4),添加一席的公平分配为,给与A,(5),(6)式的意义在于：增加1席该给谁时，分别独立计算两方各自的数据，席位给与数值较大的一方.,p1/(n1+1)p2/n2 时两边平方，保持不等式方向p12
8、/(n1+1)2p22/n22左边分母变小，右边分母变大，依然保持方向p12/n1(n1+1)p22/n2(n2+1),对于 p1/(n1+1)p2/n2(席位该给A)的情形也可统一为(6)式,证明：,m方分配席位的情况,记,则增加的1席应分给Q值较大的一方.,上述方法可以推广到有m方分配席位的情况.设第i方人数为pi,已占有ni个席位,i=1,2,m.当总席位增加1席时,计算,(7),两两比较后，较大一方做种子又与下一方比较，较大一方做种子再与下一方比较，如此类推，最终把席位分给Q值最大的一方.这种席位分配方法称为Q值法.,先按照比例计算，将整数部分的19席分配完毕,有,然后再用Q值方法分配
9、第20席和第21席.,第20席:计算,Q1最大,于是这一席应分给甲系.,下面用Q值法重新讨论本节开始提出的甲乙丙三系分配21个席位的问题.,这样,21个席位的分配结果是三系分别占有11,6,4席,丙系保住了险些丧失的1席.你觉得这种分配方法公平吗？,同上.Q3最大,于是这一席应分给丙系.,第21席:计算,席位分配表,五、存在公平的分配方法吗,在发现了”比例加惯例”分配方法的弊端之后,按照相对不公平度最小的原则,提出了Q值方法。如果承认相对不公平度是衡量公平分配的合理指标,那么Q值法就是好的方法.但是,还可以有其它衡量公平指标及分配方法(如习题1),所以有人想到,能否先提出一些人们公认的衡量公平
10、分配的理想化原则,然后看看有哪些方法满足这些原则.,设第i方人数为pi,i=1,2,m,总人数,待分配的席位为N,qi=N*(pi/P)为按比例的席位数,ni为理想化的席位数。,是N和pi的函数,记,分别为,向左取整和向右取整。,原则一,二者之一,不应减少.,原则二,即总席位增加1时，,按比例分配原则,保持原有分配状态（照顾既得利益）,“比例加惯例”的方法显然满足原则一，但是前面的例子说明它不满足原则二。对于教材中的例题,Q值法在第20席的分配上即不满足原则一。,令人遗憾的是,没有找到同时满足这两个原则的分配方法.评注 寻求公平分配席位方法的关键,是建立衡量公平程度的既合理又简明的数量指标,本模型提出的指标是相对不公平度,在这个前提下得到的Q值方法应该是公平的,但是,如果跳出这个前提,站得更高些,提出所谓公平分配的理想化原则,那么这个问题还远未解决.,不应减少.,原则三,即总席位增加1时，,保持原有分配状态（照顾既得利益）,会不会出现两个Q值一样最大？此时如何分配？,我提了一个问题,一个同学提的问题：,
