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1、2023/5/20,1,无穷级数,无穷级数是研究函数的工具,表示函数,研究性质,数值计算,常数项级数,幂级数,傅立叶级数,第6章 无穷级数,函数项级数,一、常数项级数的概念,二、收敛级数的基本性质,6.1 常数项级数的概念和性质,三、收敛级数的必要条件,一、常数项级数的概念,引例.用圆内接正多边形面积逼近圆面积.,依次作圆内接正,边形,这个和逼近于圆的面积 A.,设 a0 表示,即,内接正三角形面积,ak 表示边数,增加时增加的面积,则圆内接正,1、定义：,给定一个数列,将各项依次相加，记为：,称上式为常数项无穷级数，,其中第 n 项,叫做级数的一般项,如,以上均为常数项级数.,这样,所给级数
2、对应一个部分和数列:,2.级数的收敛与发散,为级数的,称级数的前n项和,部分和.,则称无穷级数收敛，,并称 S 为级数的和,记作：,则称无穷级数发散.,解,(重要),例,讨论等比级数(几何级数),的收敛性.,收敛,发散,发散,发散,综上,级数变为,例2.判别下列级数的敛散性:,解:(1),所以级数(1)发散;,技巧:,利用“拆项相消”求和,(2),所以级数(2)收敛,其和为 1.,技巧:,利用“拆项相消”求和,例3 证明调和级数,发散.,证明：假设调和级数收敛于 S,则,但,矛盾!,所以假设不真.,二、无穷级数的基本性质,性质1.若级数,收敛于 S,则各项,乘以常数 c 所得级数,也收敛,即,
3、其和为 c S.,性质2.设有两个收敛级数,则级数,也收敛,其和为,发散.,收敛,发散,均发散,敛散性,不确定.,例:,都收敛,都发散.,但,收敛.,例,性质3,添加或去掉有限项不影响一个级数的敛散性.,性质4,设级数,收敛,则对其各项任意加括号所得,新级数仍收敛于原级数的和.,一个级数加括号后所得新级数发散,则原级数发散.,收敛,发散,一个级数加括号后收敛,原级数不一定收敛.,例4.判断级数的敛散性:,解:考虑加括号后的级数,发散,从而原级数发散.,三、级数收敛的必要条件,设收敛级数,则必有,注1:若级数的一般项不趋于0,则级数必发散.,注2:,并非级数收敛的充分条件.,例如,调和级数,虽然,但此级数发散.,常数项级数的基本概念,基本审敛法,3.按基本性质,则级数收敛,由定义,2.,则级数发散,一般项、部分和、收敛、发散及级数的性质,四、小结,级数收敛的必要条件,记住1.等比级数(几何级数),的收敛性,1.,2.调和级数发散,
