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1、一元二次方程的概念和解法,主讲人：扬州市梅岭中学 余云中,分以下几个方面进行探讨：,六、一元二次方程的解法,五、一元二次方程的有关概念,四、几个实际问题,三、本章知识结构,二、重点、难点和关键,一、第22章一元二次方程教材分析,一、第22章一元二次方程教材分析：,本章从实际问题引入基本概念，其主要内容为两大部分。一部分是方程的基本解法直接开平方法、因式分解法、配方法与公式法，由最为简单的方程开始，经过学生的自主探索，让学生体会并掌握各种方法的使用。,另一部分是数学建模思想，最开始的从实际问题引入基本概念，学习方程的基本解法之后所提出的一些实际问题，以及最后一节的实践与探索，都是为了这一目的。给
2、教师与学生都创造一些探索交流的机会，了解数学知识的发生发展过程，学会解决一些简单问题的方法，特别是从实际情景寻找所隐含的数量关系，建立适当的数学模型。,教材联系前几册已经学习的方程知识，进一步加强方程是反映现实世界数量关系的一个有效的数学模型的体会，了解一元二次方程的各种解法，着重体会相互之间的关系及其转化的思想，增强学数学、用数学的自觉性。“判别式”的阅读材料，可以为一些较好的学生提供一个有用的工具。,一元二次方程是中学数学的主要内容，在初中代数中占有重要的地位在一元二次方程的前面，学生学了实数与代数式的运算、一元一次方程(包括可化为一元一次方程的分式方程)和一次方程组，上述内容都是学习一元
3、二次方程的基础，通过一元二次方程的学习，就可以对上述内容加以巩固一元二次方程也是以后学习(指数方程、对数方程、三角方程以及不等式、函数、二次曲线等内容)的基础此外，学习一元二次方程对其他学科也有重要意义,二、重点、难点和关键：,本章教材的重点是一元二次方程的解法、列方程解应用题本章教材的难点是配方法和列方程解应用题 学好本章教材的关键是一元二次方程的解法（特别是公式法）一元二次方程的解法，除其本身是学习重点外，它还是学习根与系数的关系、可化为一元二次方程的方程与简单的二元二次方程组的基础,三、本章知识结构：,四、几个实际问题,解：设较小的数为x，则另一个为x2根据题意，得,根据题意，列出方程（
4、不必求解）引例 1、两个正数的差为2，它们的平方和为52，求这两个数。,引例2、某商店四月份电扇的销售量为500台，随着天气的变化，第二季度电扇的销售量为1820台，问五月份、六月份平均每月电扇销售量的增长率是多少？,解：设五月份、六月份平均每月电扇销售量的增长率为x。根据题意，得,变化：党的十六大提出全面建设小康社会，加快推进社会主义现代化，力争国民生产总值到2020年比2000年翻两番。本世纪的头二十年（2001年2020年），要实现这一目标，以十年为单位，设每个十年的国民生产总值的增长率都是x，那么x满足的方程为（）A、(1+x)2=2B、(1+x)2=4C、1+2x=2D、（1+x）+
5、2（1+x)=4,答案：B,关键是理解“翻两番”是原来的4倍，而不是原来的2倍。,分析：从图中可以看出，四块小试验田的面积与两条道路所占的面积的和等于整个矩形田地的面积。这是本题的相等关系。关键是如何把两条道路所占的面积表示出来。设道路的宽为xm，则横向道路面积为32xm，纵向道路面积为20 xm，但两条道路的面积和并不等于阴影部分的面积，而是多了一个宽为xm的小正方形的面积。所以，矩形田地面积：3220m；四块小实验田的面积:1354m；两条道路所占的面积：,2,2,2,2,解：设道路的宽为xm，根据题意，得,五、一元二次方程的有关概念：,1、一元二次方程,只含有一个未知数，并且未知数的最高
6、次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程（quadric equation with one unknown）。一般形式：ax2bxc0(a、b、c是已知数，a0),其中a、b、c分别叫做二次项系数、一次项系数和常数项；ax2、bx、c分别叫做二次项、一次项和常数项。,例1、下列各等式是否是关于的一元二次方程？为什么？（1）（2）（a为常数）（3）（4）（5）（6）,（1）是。因为两边整理后得,（6）不是。因为m可能是未知数。,（5）是。,（4）当时，是。当时，不是。,（3）不是。因为方程中有x,y两个未知数，不是一元方程。,（2）是。a在方程中是一次项系数，并不是未知数。,例2、把下列方程化
7、成一元二次方程的一般形式，再写出它的二次项系数、一次项系数及常数项。（关于x的一元二次方程）,（1）,（2）,（3）,（4）,解：（1）一般形式：；二次项系数是1，一次项系数是5，常数项是-3。,（4）一般形式：；二次项系数是a，一次项系数是b-2ab，常数项是b2-c。,（3）一般形式：；二次项系数是6，一次项系数是-2，常数项是1。一般形式写成 不好，关键系数未化简。,（2）一般形式：；二次项系数是1，一次项系数是0，常数项是0。,2、利用方程解的定义：,根据方程的解的定义将x=1代入原方程，解之得,例4、关于的一元二次方程，若有一个根为2，,求另一个根和t的值。,分析：此例已知方程的一个
8、根，可利用这个根，先确定t的值，再求另一个根。也可利用根与系数的关系来求t的值及另一个根。,解：,1、已知一元二次方程ax2+bx+c=0,a、b、c任取2、4、0三个数中的任一个数，分别写出这些一元二次方程.,练习一：,答案：2x2-4x=0，-4x2+2x=0，2x2-4=0，-4x2+2=0,2、写出一个一元二次方程，使它满足以下条件：（1）关于x的一元二次方程；（2）有一个根为1。,答案不唯一，例如：x 2=1x(x-1)=0 x 2+x-2=0,3、已知：方程x25x5=0的一个根为m，求m 的值.,解：m是x2-5x+5=0的根 m2-5m+5=0 m2+5=5m m0 m+=5,
9、未知数的个数是一个，方程是整式方程；未知数的最高次项的次数是二次；若方程有实数根，则解的个数一定是两个,学习一元二次方程要强调三点：,例5、若a是方程 的根，求 的值。,解：因为a是方程 的根，所以 所求代数式的值为1,第22章一元二次方程的概念和解法,主讲人：扬州市梅岭中学 余云中,六、一元二次方程的解法,基本解法,例6、解下列方程（1）x2=0（2）,解：（1）x1=x2=0,（2）,注意：第（1）题容易解得x=0这一个解；第（2）题若方程两边都除以x6，得：x=2，则原方程少了一个解，原因是在除以。故此种做法不可取，应避免在方程两边都除以一个代数式。,练习二：,4x2=x,甲同学是这样做
10、的，你看对吗？方程两边同除以4，得x2=直接开平方得x=所以原方程的解是x1=，x2=,乙同学是这样做的，也请你“诊断”一下：将方法两边同除以x,得4x=1即得方程的解为x=,甲、乙两人均错误,正确答案 x1 0，x2,例7、用指定的方法解下列方程：,（1）直接开平方法（2）配方法（3）公式法（4）因式分解法,（1）直接开平方法,（2）配方法,解：,2,3,用配方法解一元二次方程要注意两点：首先将二次项系数变为1；方程两边各加上一次项系数一半的平方，这是配方法的关键的一步，方程左边配成完全平方式，当右边是非负实数时，用开平方法即可求得方程的解,（3）公式法,（4）因式分解法,解：,运用因式分解
11、法时，首先应将右边各项移到方程的左边，使方程右边为；然后再将方程左边的式子分解因式，使原方程化为两个一元一次方程，常借助于提公因式法、平方差公式、完全平方公式等来分解因式。,练习三：,解下列方程,2、（x-2）(x-3)=12,x1=6，x2=-1,例8、至少用两种方法解下列方程,解法一：（公式法）,解法二：（配方法）,两边开方：,解法三：（因式分解法）,从这个题目我们发现：适当方法的选择也不是绝对的，它没有统一的模式和特征，不能死记硬背。,例9、选用适当方法解下列方程：,解：（1）（用直接开平方法）,（2）（用直接开平方法）,解：,（3）（用因式分解法）,（4）（用配方法）,小结：通过对本例
12、的分析及解题过程，可以得到：,（4）当因式分解有困难时，就用公式法。配方法一般不用。（如果把方程化为一般形式后，它的二次项系数为1，一次项系数是偶数，用配方法更好）,（3）解一元二次方程常用因式分解法。,（2）在解方程时，应注意方程的特点，合理选择简捷的方法。,（1）如果方程缺一次项，可以用直接开平方法来解（形如 的方程）。,例10、我们知道：对于任何实数，,x20，x2+10；,模仿上述方法解答下面问题。,（1）对于任何实数x，均有：0；,求证：,解：（1）2x2+4x+3=2(x+1)2+1x不论为何实数，(x+1)2总是非负数2x2+4x+30,x不论为何实数，总是非负数 0,一元二次方
13、程训练题,1、把方程（2x+1）（x-2）=5-3x整理成一般形式后，得，其中一次项系数为。2、若(m+1)xm-3+5x-3=0是关于x的一元二次方程，则m。3、ax2+bx+c=0(a0)的求根公式x=。4、方程(y-3)2=2的解为，方程t(t-5)=0 的解为。,2,2x2-7=0,0,5,y=3,t1=0，t2=5,5、配方：,、,4x2-12x+15=4()26,x2-3x+_=(x-_)2,B,二、解关于x的方程,3y(y1)2-2y,(1),(2),(3),(4),x2-6x-99910,x1103，x2-97,三、解答以下各题,若最简二次根式 是同类根式，则x的值为多少？,答案：3,x2+4x=x+18x2+3x-18=0解之得 x1=-6，x2=3检验：当x=-6时，x2+4x=12，不是最简二次根式，x=-6 舍去,3、已知a、b是实数，解关于x的方程(a+2)x2+b2x+8=0,答案：x1=4，x2=-2,
