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1、2014第二讲一般物体的平衡一、相关概念（一）力臂：从转动轴到力的作用线的垂直距离叫力臂。（二）力矩:力和力臂的乘积叫力对转动轴的力矩。记为M=FL，单位“牛米”.一般规定逆时针方向 转动为正方向，顺时针方向转动为负方向。（三）有固定转轴物体的平衡条件作用在物体上各力对转轴的力矩的代数和为零，即NM=0,或NM逆=SM顺。（四）重心：计算重心位置的方法：顷1、同向平行力的合成法：各分力对合力作用点合力矩为零，则合力作用点为重心2、割补法：把几何形状不规则的质量分布均匀的物体分割或填补成形状规则的物体，再由同向（或 反向）平行力合成法求重心位置。3、公式法：x =气阡+ m2吐+，当坐标原点移到
2、重心上，则两边的重力矩平衡.m1 g + m 2 g +二、常用方法 巧选转轴简化方程：选择未知量多，又不需求解结果的力线交点为轴，这些力的力矩为零，式 子简化得多； 复杂的物体系平衡问题有时巧选对象：选整体分析，常常转化为力矩平衡问题求解； 无规则形状的物体重心位置计算常用方法是通过割补思想，结合平行力合成与分解的原则处理， 或者助物体重心公式计算。三、巩固练习1. 如右图所示，匀质球质量为M、半径为R；匀质棒B质量为m、长度为1。求它的重心。【解】第一种方法是：将它分隔成球和棒两部分，然后用同向平行力合成的方法找出重心（3。C在AB连线上，且AC M=BC m；，矿B第二种方法是：将棒锤看
3、成一个对称的“哑铃和一个质量为一M的球A的、& /合成，用反向平行力合成的方法找出重心 C在AB连线上，且BC（2M+m）=ACM。不难看出两种方法的结果都是(2M+m) gAR+l/2BCr1 FmMg(M+m) g(l M R + 一BC =2M + m2. 将重为30N的均匀球放在斜面上，球用绳子拉住，如图所示。绳虬与水平面平行,C点为球的最高点斜 面倾角为37o.求：（1）绳子的张力.（2）斜面对球的摩擦力和弹力。占答案：（1） 10N；（2） 10N，30N h,无论为何值，都不可能使杆滑倒，这种现象即称为自锁。10。用两个爬犁（雪橇）在水平雪地上运送一根质量为m长为l的均匀横粱,
4、横梁保持水平，简化示意示图，如图141所示.每个爬犁的上端A与被运 送的横梁端头固连，下端B与雪地接触，假设接触而积很小。一水平牵引力F 作用于前爬犁.作用点到雪地的距离用h表示.已知前爬犁与雪地间的动摩 擦因数为k.后爬犁与雪地间的动摩擦因数为k.问要在前后两爬犁都与雪 地接触的条件下，使横梁沿雪地匀速向前移动.仲应满足什么条件?水平牵引 力F应多大?设爬犁的质量可忽略不计.旗 F = 0分析正确地物体进行受力分析,应用物体平衡的条件 J是求解平衡问题的基本出发点，乙 M = 0准确地领会题中隐含信息,则是求解的关键所在，本题体现了这一解题思路。解整个装置的受力如解图1-24所示，其中与区分
5、别为雪地对爬犁的支持力,二和七分别为摩擦 力，根据平衡条件有1212F = f1 + f2厂，mg = N1 + N 2-1-g T f * hFh + N l = -mglT F +2 2根据摩擦力与正压力的关系有：f=wf2 = k2 N2 1h越大以爬犁与地的前接触点为轴，*的力矩越大。故N越小。h最大时对应N=0的情况。将 N=0代入以上各式，可以解得：22 h F = 1 1 （ki+k2）mg 2k2 1 - （k - k ）hL l 1 2 故:h应满足的条件是：h 2k111。半径为r，质量为m的三个刚性球放在光滑的水平面上，两两接触。用一个 圆柱形刚性圆筒（上、下均无盖）将此
6、三球套在筒内.圆筒的半径取适当值， 使得各球间以及球与筒壁之间保持接触，但互相无作用力。现取一个质量亦为 m、半径为R的第四个球，放在三个球的上方正中。四个球和圆筒之间的静摩擦 系数均为婚3M15 （约等于0.775）.问R取何值时，用手轻轻竖直向上提起圆 厂厂筒即能将四个球一起提起来？答案:（登3 - 1）r v R N，故大球与小球接触处先滑动（这是确定何处先滑动的常甬方法）而大球沿筒滚动，1 2当R最大时：f邮2有上述四式得：128soc20+24cos0-77=0，解得：cos0=11，16因 cos0 = 3 v3r /(r + R) = 1，所以 R = (3；3 1)r。一 1）
7、r。但上面的小球不能太小，否则上球要从下面三个小球之间掉下去，必须使R （空3故得1)r R (亨 1)r.四、自主招生试题1。（2009清华大学）质量为m、长为L的三根相同的匀质细棒对称地搁在地面上，三棒的顶端O重合， 底端A、B、C的间距均为L，如图所示。（1）求OA棒顶端所受的作用力F的大小。（2）若有一质量也为m的人（视为质点）坐在OA棒的中点处，三棒仍然保持不动，这时OA棒顶端所受 的作用力F的大小又为多大？（3）在（2）的情况下，地面与棒之间的静摩擦因数u至少为多大？a析：（1） Fh = mg -a = (- /、-2 =豆 l23h = E 2 a 2 = -13日 1 h 八
8、2F = mg - 1 /1) = -mg(2)在OC中点坐一人F .马 1 = F2 .专 1 + mg 季 13_ 2mg - 1 = 2 F - 1 + F- 13F - = mg .-3-1v2F = 6 mg, F=- mg(MW淋A冲腭(2F2)2 + F;=4 mg2O （2010北大）如图，一个质量M、棱边长为L的立方体放在粗糙的平面上，在左上棱施力，使立方 体向前或向后翻转，立方体不与平面发生相对滑动，求向前和向后施加力的最小值以及对应的摩擦因 素。设想立方体开始翻转后，施加的外力F大小和方向会改变，以维持F始终为最小值。解：先考虑向前翻倒的情况，设AC与水平而夹世角，能然这
9、时加雁直AC连绶撕向上的丸/时满足贺求，如图听示蜜?=则式中甘W里579侦，国此a=45r所需F最大-这也就址要施加的取小，故 F血=克燮4,这表明只要D点施够府开地面或后F即使变小一些.立方林也 能祥转.在口点将要离开地面时，r J_ Fg 烦 .,2干 N 一 Mh Fain. IS 3以后为使力F始终鼠小,则F 直更直At?斜向 在启示情抚F，另职Mg知F的交点为轴，有村以况厂项七志十皿】! - f 制口 也淄 /a _ J*fi taWZ) * co迎“n Nq ?w | i + ?a jg m | j(1 Oh Seos fl) 2 cos S五、备用1. （第二届全国复赛）如图所示
10、，匀质管子AB长为L,重为G，其A端放在水平面上而点C则靠在高h = L的光滑铅直支座上，设管子与水平面成倾角9=45，试求要使管子处于平衡时，它与水平面之间的摩擦 因数的最小值C B2。（第十届全国预赛）半径为R质量为M的均匀圆球与一质量为M的重物分别用细绳AD和ACE 悬挂于同一点A，并处于平衡，如图所示.已知悬点A到球心的距为L，不考虑绳的质量和绳与球间的摩擦，求悬挂圆球的绳AD与竖直方向AB的夹角0。答案：0=arcsin 2 L（M + M ）解：球受重力Mg, AD绳受拉力为T,ACE压力为N,因重力Mg通过圆心、，N也通过 圆心（但不是水平方向），所以T也通过圆（三力共点），OA
11、=L.取整体为研究对象对A 点的力矩平衡，M gOB=M gBC,或 MgLsin0=Mg（R-Lsin0），得0=arcsinM2R一。1212L（M + M ）3。如图所示，一根细长棒上端A处用铰链与天花板相连，下端用铰链与另一细棒相连， 两棒的长度相等，两棒限以图示的竖直平面内运动，且不计铰链处的摩擦，当但端加 一个适当的外力（在纸面内）可使两棒平衡在图示的位置处，即两棒间的夹角为90。,且C端正好在入端的正下方。（1）不管两棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向的范围内？说明道理（不要求推算）。（2）如果AB棒的质量为m15 BC棒的质量为皿2，求此外力的大小和方向.答案：（1） F的方
12、向与AC夹角范围 18。24-45。间；（2） F = 4 g2m； + 10m2 + 8m1 m2 解（1）设F的方向与AC夹角为0,如果当m质量很小时,AB对BC的作用力沿AB方向，则F的方向必交11于AB的中点，0=45Otan-12 =18。24； 如果当m质量很小时，则F的方向沿BC方向,0=45。所以F方向的范围是0=18。24-45。间。（2）以A为转轴，对两棒有：（m. + m ）g x -2 sin 450 = F xt2Lsin0以B为转轴，对BC有: m g x W sin 45。= F x L sin（45。一0）sin （45。-0）=、345。00、0cso45Os
13、in0有式得F的大小：F = 4 g 2m2 + 10m2 + 8m. m ；F的方向与竖直线的夹角0= tan-1 mi + %。3m + m可见,m0时，0= tan-1 3 = 18。.24;皿2=0时，0= tan-11 = 45。4. 如图两把相同的均匀梯子AC和BC，由C端的铰链 连起来，组成人字形梯子，下端A和B相距6m,C 端离水平地面4m，总重200 N, 一人重600 N，由B端上爬，若梯子与地面的静摩擦因数u=0.6，则人 爬到何处梯子就要滑动？解：进行受力分析，如图所示，把人和梯子看成一个整体，整个系统处于平衡状 态：八燮AB=6m，CD=4m, .AC=BC=5m/
14、气设人到收链C的距离为I/满足F = 0， LM = 077777777777777所以 G + G + G = F + F七=2犯-G -1 - cos 0 + G -1BD +日 F - CD = F - BDBC 2N1N1整理后：F = F = 400N，l = 2.5m 所以人在爬到梯子中点处时梯子就要滑动a = tan-1 瑚 ）2口1f已N2 （同时达到最大,与上题5. 架均匀梯子，一端放置在水平地面上，另一端靠在竖直的墙上，梯子与地面及梯子与墙间的静摩擦因数分别为出、已。求梯子能平衡时与地面所成的最小夹角。（答案：解法1：设梯子能平衡时与地面所成的最小夹角为则有f1=1N1有区
15、别）1 1 1水平方向：料nN2,竖直方向：EM+ng，得:G=2N2+N2/ 料取入点为转轴：G cos a-LN 2 sin a-L 日 2 N 2 cos a = 0 -解得tan a =上冬，即a = tan-i 瑚凹2口2口11解法2:地对梯和墙对梯的二个全反力与重力必交于一点（如图的0点） 贝有：tan中日，tang=Py有几何关系：tana =些 AC可解得:a = tan-17ADH - DE DH DE2 AH112ah 2eb = 2 cot - 2 tan 2 ,6. 如图所示.梯子长为21，重量为G,梯子上的人的重量为G,人离梯子下端距离为h,梯子与地面夹 角为，梯子下
16、端与地面间的摩擦因数为，梯子上端与墙的摩擦力忽略不计，试求梯子不滑动时的h 值.解杆的受力情况如图所示： 由于杆静止， F = 0, M = 0，N = fN，= G + GGL cos 0 + Gh cos 0 = N 2 L sin 0、f = P N，12 日l（G + G ）tan。 Gl解方程可以得出：h =土（原答案有误）G，,2pl （G + G ）tan 0-Gl所以，只要h，梯子就不会滑动。7. 如图所示，方桌重G=100 N，前后腿与地面的动摩擦因数P = 0.20 ,桌的 宽与高相等。求：（1）拉力F、地面对前、后腿的支持力和摩擦力。（2）设前、后腿与地面间的静摩擦因数P
17、0 = 0.60。在方桌的前端用多大水 平力拉桌可使桌子以前腿为轴向前翻倒？解土（ I）据也体一般平衡条件有_卜 一匚一T iS=F-Ui 十为）=。_一 . S气=叫+ Mi =。顼电侦_广回= F * A jV; G*=0nhwz h.u*2联立以上四式可得HhF - 20 N, M =30 N, E =70 N, /E =14 H, f. =8 N&H处禅力和摩擦力均恰好为零时，以A点为轴而同时”九=上仁=6。N,（否则方桌会滑动）|8。如图所示:，一根细棒AB，A端用绞链与天花板相连，B端用绞链与另一细棒BC相连，I二棒长度相等.限于在图示的竖直面内运动，且不计绞链处的摩擦，当在C端加
18、一个C图 135适当的外力(与AB, BC在一个平面内)可使二棒静止在图示位置，即二棒相互垂直.且C在A端的正下 方(1)不论二棒的质量如何，此外力只可能在哪个方向范围内？试说明理由(2)如果AB棒的质量为m , BC棒质量为m求此外力的大小和力向.12(3) 此时BC棒对AB棒的作用力的大小是多少解(1)外力的范围应在竖直线右且在BC棒以上。将两根棒看作整体,整体受的重力力矩为顺时针，若整体保持平衡，力F的力矩须产生逆时针力矩。 即力F应指在AC线的右侧。以BC为研究对象，B点为轴,BC的重力有逆时针力矩，外力F的力矩须产生顺时针力矩.即F应在 BC以上.(2)以BC为研究对象，合力为0,合
19、力矩为0，角y= 450 -6如解图所示JF cos y = G cos 45o + NF sin y + N = G sin 45o由方程可得：F = 4 g 2m 2 + 8m m + 10m 2求F的方向可以将AB和BC看作一个整体.以A点为轴力矩平衡(如解图 172所示):F 2Lsin6 = (Q + G )?sin45。可以求出.6m + m2m 2 + 8mm + 10m 2即 6 = arcsin_ 叫 + 吐J2m2 + 8mm + 10m 2(3) BC杆对AB杆的力可以分解为N；,N；其反作用力为%, N2 如解图117-3所示：以A点为轴，AB力矩平衡.G11sin45
20、0 = N；L 以C点为轴，BC力矩平衡：G 2 sin 45。= N L 由可得：N=，序2 N =竺21424由于N与N为相互作用力，所以N = WBC对AB的作用力为N；,N2的合力为:2 + m 222249. 在竖直墙面L.有两根相距为2a的水平木桩A和B，有一 细木棒置于A之上，B之下时与竖直方向成 角静止，棒与A,B的摩擦因数为现由于两木桩的摩擦力恰好能使木棒不下坠。如图所示，求此时棒的重心的位置离A桩的距离.解对棒受力分析。由棒静止，合力为0,J N + G sin 9 = Nf + / = G cos 9设重心到A的距离为x,分别以B点和A点为轴，合力矩为0可得：J N - 2a = G - (2a + x)sin 9| N - 2a = G - x - sin 94GI 1又有ffN1以上三组方程联立可得：x = a(C0t9 -1)P0解法2 “恰好”不下坠时,A、B两处均达到最大运动趋势，这时两处的全反力R、R和重力G必共点，受力分析如右图(其中C为重心，乳为最大摩擦角)A BAOAO.AC对AAOC ,有一cos（9 +9 ） sin92a 对AAOB，有f2 = * N2sin 29cos 9针对两式消AO解AC即可（注意：巾=arctan u ） 答案：x = a（竺9 -1）.P0
