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1、半角模型过等腰 ABC（AB=AC）顶角A引两条射线且它们的夹角为；/A,这两条射线 与底角顶点的相关直线交于M、N两点，则BM、MN、NC之间必然存在固定的 关系，这种关系仅与两条相关直线及顶角A相关解决办法：以A为中心，把ACAN （顺时针或逆时针）旋转a度，至 ABN，连接MN结论：1、AMNAMN，MN=MN2、若BM、MN、NB共线，则存在x+y+z型的关系若不共线，则 BMN中，/MBN必与/A相关应用环境：1、顶角为特殊角的等腰三角形，如顶角为30、45、60、75 90，或它们 的补角为这些特殊角度的时候；2、正方形、菱形等也能产生等腰三角形3、过底角顶点的两条相关直线：底边、
2、底角两条角平分线、腰上的高、底角的 邻补角的两条角平分线，底角的邻余角另外两边等；正方形或菱形的另外两边4、此等腰三角形的相关弦半角模型以=。且0 + Y = 1800.条件： 2思路：（1）、延长其中一个补角的线段（延长CD到E，使ED=BM，连AE或延长CB到F，使FB=DN，连AF ） 结论:MN=BM+DN Cmmn = 2AB AMAN 分别平分NBMN 和 NDNMM（2）对称（翻折）思路:分别将AlBM和&以AM和AN为对称轴翻折，但一定要证明 M、P、N三点共线（ZB+ND=1800且AB%D）例题应用：例1、在正方形ABCD中，若M、N分别在边BC、CD 上移动，且满足MN二
3、BM+DN，求证：,匕man= 45 .2AB .AM、AN分别平分NBMN和NDNM；思路同上略.例2拓展：在正方形ABCD中，已知n MAN= 45 ,若M、N分别在边CB、DC的延长线上移动，.试探究线段MN、BM、DN之间的数量关系.,求证：AB=Aa（提示）BC、CD上，且满足EF=BE+DF.求证:ZEAF = - ABAD.2D（提示）例 4,在左ABC 中，AB=AC,ZBAC=2ZDAE=120，若 BD=5, CE=8，求 DE。例五.请阅读下列材料：已知：如图1在RtAABC中，ABAC = 90。，AB = AC，点D、E分别为线段BC上两 动点，若ADAE = 45。
4、.探究线段BD、DE、EC三条线段之间的数量关系.小明的思路是：把AAEC绕点A顺时针旋转90，得到AABE，连结ED，使问题得到解决.请你参考小明的思路探究并解决下列问题：（1）猜想BD、DE、EC三条线段之间存在的数量关系式，并对你的猜想给予证 明；（2）当动点E在线段BC上，动点D运动在线段CB延长线上时，如图2,其它条 件不变，中探究的结论是否发生改变？请说明你的猜想并给予证明.图1图2例6探究：(1) 如图1,在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且既AF = 45, 试判断BE、DF与EF三条线段之间的数量关系，直接写出判断结 果：;(2) 如图2,若把(1)问中的条件
5、变为“在四边形ABCD中，AB = AD,园B + l3D =180, E、F分别是边BC、CD上的点，且既AF=1园BAD”，则(1)问中的结论是2否仍然成立？若成立，请给出证明，若不成立，请说明理由；(3) 在(2)问中，若将园AEF绕点A逆时针旋转，当点分别E、F运动到BC、CD延长线上时，如图3所示，其它条件不变，则(1)问中的结论是否发生变化？若变化，请给 出结论并予以证明.E、F分别在边BC、CD上的点，且ZEAF = ABAD.2.求证：EF=BE+DF.（提示）的两边分别交CB、DC (或它们的延长线)于点M、N.(1) 如图1，当AMAN绕点A旋转到BM = DN时，有BM
6、+ DN = MN .当ZMAN绕点A旋转到BM丰DN时，如图2,请问图1中的结论还是否成立？ 如果成立，请给予证明，如果不成立，请说明理由；(2) 当AMAN绕点A旋转到如图3的位置时，线段BM，DN和MN之间有怎 样的等量关系？请写出你的猜想，并证明.练习巩固3如图，在四边形ABCD中，AB = AD , AB = AD = 90。，E, F分别是边BC,CD 上的点，且匕EAF = - ABAD .求证：EF = BE + FD ； 2(2)如图在四边形ABCD中，AB = AD, AB+ AD = 180， E, F分别是边BC, CD上的点，且AEAF =1 ABAD，(1)中的结论
7、是否仍然成立？不用证明.2 如图，在四边形ABCD中，AB = AD，AB + AADC = 180，E, F分别是边BC , CD延长线上的点，且AEAF =1 ABAD，(1)中的结论是否仍然成立？若成立，请证2明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.E(4)如图，将边长为4cm的正方形纸片ABCD沿EF折叠(点E、F分别在边AB、 CD上)，使点B落在AD边上的点M处，点C落在点N处，MN与CD交于点P，连接EP.(1) 如图，若M为AD边的中点， E1AEM的周长=6 cm； 求证：EP=AE+DP；(2) 随着落点M在AD边上取遍所有的位置(点M不与A、D重合)，图PDM的周
8、长是 否发生变化？请说明理由.(5).如图17，正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点.(1) 若/EAF=45 .求证：EF=BE+DF.(2) 若/AEF绕A点旋转，保持ZEAF=45，问/CEF的周长是否随/AEF位置 的变化而变化？(3) 已知正方形ABCD的边长为1，如果/CEF的周长为2.求ZEAF的度数.图17B练习巩固4. 如图，五边形 ABCDE 中，AB=BC=CD=DE=EA, ACAD = -/BAE，求 2ZBAE练习巩固5.如图，已知在正方形ABCD中，/MAN =45，连接BD与AM，AN分别交于E、F两点。求证：（1）MN=MB+DN；（2）点A到MN的
9、距离等于正方形的边长;（3）.CMN的周长等于正方形ABCD边长的2倍;（4）（5）（6）Sabcd = 2AB ；S MN若/MAB =20，求/AMN ；Y a y 45），求 /AMN ；若 /MAB = a（7）EF2 = EB2 + DF2 ；（8）.AEN与.AFM是等腰三角形;Dc（9）1AaEF = 2amn练习巩固6.在等边abc的两边ab , AC所在直线上分别有两点M ,N ,D为 AABC 外一点，且ZMDN = 60。，ZBDC = 120。，BD = CD，探究：当点M ,N 分别爱 直线AB，AC上移动时，BM，BN，MN之间的数量关系及AAMN的周长Q与等边 A
10、ABC的周长L的关系.（1）如图，当点M ,N在边AB ,AC上，且DM = DN时，BM , NC , MN之间的 数量关系式 ；此时Q =L（2）如图，当点M，N在边AB，AC上，且DM。DN时，猜想（1）问的两个结 论还成立吗？写出你的猜想并加以证明；（3）如图，当点M，N分别在边AB，CA的延长线上时，若AN = n则Q =（用x，L表示）练习巩固7.如图所示，AABC是边长为1的等边三角形，ABDC是顶角为120 的等腰三角形，以D为顶点作一个60。的ZMDN，点M, N分别在AB, AC上，求 AMN的周长练习巩固8. 如图，在正方形 ABCD 中，BE=3，EF=5，DF=4，求
11、/BAE+/DCF 为多少度。巩固练习 9（三新练习册 P131）如图 1，RtMBCRtEDF，ZACB=ZF=90，ZA=ZE=30. EDF绕着边AB的中点D旋转，DE，DF分别交线段AC于点 M，K.（1）如图 2、图 3,当口CDF=0 或 60时，AM+CKMK（填”，“”或“”）.猜想：如图1，当0DCDF A尸分别交8D于H、G，连时.一、全等关系(1) 求证： DF + BE = EF ; DG2 + BH = HG2 ; AE 平 分 ZBEF , AF 平分/QFE.二、相似关系(2) 求证：CE = 41DG ; CF = 41BH ; EF = J1HG (3 )求证
12、： AB2 =BG DH ; AG = BG HG ;BE DF 1CE CF2二、垂直关系(4) 求证：AGLEG; AH 1FH ; tan ZHCF =BE(5) 、和差关系求证： BG-DG = 41BE ; AD+ DF = J1DH ;BE-DF=41BH-DG.中考链接-正方形二相关题型-半角模型1, (2016石景山28).在正方形ABCD中，E为边CD上一点，连接BE.(1) 请你在图-1画出8EM,使得qEM与BEC关于直线BE对称；(2) 若边AD上存在一点F,使得AF+CE=EF，请你在图2中探究/ABF与ZCBE的数量关系并证明；(3) 在(2)的条件下，若点E为边C
13、D的三等分点，且CEDE,请写出求 cosZFED的思路.(可以不写出计算结果).，如图1所示.答案1分(2) ZABF与ZCBE的数量关系：ZABF +ZCBE = 45。2 分 证明：连接BF，EF，延长DC到G，使得CG = AF，连接BG .3分.四边形ABCD为正方形，bA AB = BC，ZA BCD = ZABC = 90。. . I. BAF W BCG .F BF = BG，ZABF = ZCBG .AF + CE = EF，ef=ge4 分 G一 一ED:. BEF # BEG.*.Z FBE = Z MBE = ZABF + ZCBE. ZABF +Z CBE = 45。
14、5 分(3) 求解思路如下：a.设正方形的边长为3a，AF为x，则EF = x + a，DF = 3a-x ；b.在 Rt EFD 中，由 EF2 = DF2 + DE2 , 可得(x + a )2 =(3a - x )2 +(2a )2从而得到X与a的关系2x = 3a ；c.根据cos/FED = 竺 =W%，可求得结果7分EF x + a2, (2016门头沟28).在正方形ABCD中，连接BD.(1) 如图1, AE1BD于E.直接写出/BAE的度数.(2) 如图1,在(1)的条件下，将AEB以A旋转中心，沿逆时针方向旋 转30后得到 ABE，AB与BD交于M，AE的延长线与BD交于N
15、. 依题意补全图1; 用等式表示线段BM、DN和MN之间的数量关系，并证明.BC门头沟28.(本小题满分7分)(3) 如图2, E、F是边BC、CD上的点，CEF周长是正方形ABCD周长的一 半，AE、AF分别与BD交于M、N，写出判断线段BM、DN、MN之间 数量关系的思路.(不必写出完整推理过程)AD解：(1)/BAE=45.1分(2)依题意补全图形(如图1)；2分 B M、 D N和 M N 之间的数量关系是B M 2 + N D 2 = M N 2 . 3 分证明：如图1，将AND绕点A顺时针旋转90，得AFB./ADB=/FBA，/1=/3，DN=BF，AF=AN.正方形 ABCD，
16、AEBD，AD./ADB=/ABD=45./FBM=/FBA +/ABD= /ADB+/ABD=90.由勾股定理得FB2+BM2=FM2.旋转ABE得【ABE，./EAB=45，./2+/3=90 45=45，G B E C 图 2又.N1=/3, ./2+/1=45. 即 /FAM=45./FAM = /EAB=45.又.am=am, AF=AN, :.AFANM. FM=MN又：FB2+BM2=FM2,DN2+BM2=MN 2.5分(3) 判断线段BM、DN、MN之间数量关系的思路如下：a. 如图2,将&DF绕点A瞬时针旋转90得ABG,推出DF=GB；b. 由CEF的周长等于正方形ABC
17、D周长的一半，得EF=DF+BE；c. 由 DF=GB 和 EF=DF+BE 推出 EF=GE,进而得AEGAEF；d. 由AEGAEF 推出 ZEAF=ZEAG=45；e . 与 同 理， 可 证MN 2 = BM 2 + DN 2 . 7分3 (. 2016 一模(1)如图1,点E、F分别是正方形ABCD的边BC、CD上的 点，/EAF=45,连接EF,则EF、BE、FD之间的数量关系是：EF=BE+FD.连结 BD,交 AE、AF 于点 M、N,且 MN、BM、DN 满足MN2 = BM2 + DN2，请证明 这个等量关系；(2)在ABC中，AB=AC,点D、E分别为BC边上的两点.如图
18、2,当ZBAC=60,ZDAE=30。时，BD、DE、EC应满足的等量关系是1如图 3,当ZBAC= a , (0a 90),/DAE=a 时，BD、DE、EC应满足的等 2量关系是.【参考：sin2a + cos2a= 1】5. (1)如图1,AABC中，ZC = 90 , AB的垂直平分线交AC于点。，连接BD.若 AC=2,BC=1,则BCD的周长为；(2)O为正方形ABCD的中心，E为CD边上一点，F为AD边上一点，且EDF的周长等于AD的长. 在图2中求作 EDF (要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)； 在图3中补全图形，求ZEOF的度数； 若AF = 8，则OF的值为.CE
19、9 OE25.(本小题10分)已知RtAABC中，ZACB = 90。，CA = CB，有一个圆心角为 45。，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE, CF分别与直线AB 交于点M, N.(I )当扇形CEF绕点C在ZACB的内部旋转时，如图，求证： MN 2 = AM 2 + BN 2 ;思路点拨：考虑MN2 = AM2 + BN2符合勾股定理的形式，需转化为在直角三角形中解决.可将 ACM沿直线CE对折，得 DCM，连DN，只需证DN = BN， ZMDN = 90。就可以了.请你完成证明过程：c/N B_ F图(II )当扇形CEF绕点C旋转至图的位置时，关系式MN2 = AM2 + BN2是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请C 说明理由.mTnBbF图26 (2012年西城期末)已知：如图，正方形人8。2的边长为。，BM，DN分别平 分正方形的两个外角，且满足ZMAN = 45。，连结MC，NC，MN .猜想线段BM， DN和MN之间的等量关系并证明你的结论.
