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1、第二章 函数,2007.8,一.课标与大纲的比较,函数概念及其表示的比较,1通过丰富实例，进一步体会函数是描述变量之间的依赖关系的重要数学模型，在此基础上学习用集合与对应的语言来刻画函数，体会对应关系在刻画函数概念中的作用；了解构成函数的要素，会求一些简单函数的定义域和值域；了解映射的概念2在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法、列表法、解析法）表示函数3通过具体的实例，了解简单的分段函数，并能简单应用,1了解映射的概念；在此基础上加深对函数概念的理解，（明确决定函数三要素，即定义域、值域和对应法则；会求某些函数的定义域和值域）（2掌握函数的三种主要表示方法，即解析法、列表法、
2、图象法。）,对函数“要素”要求的变化：,了解函数的构成要素；会求一些简单函数的定义域和值域。减弱了求定义域、值域的要求，尤其是要避免人为地编制一些求定义域和值域的偏题，进行过于繁琐的技巧训练。,函数基本性质的比较,1通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数，了解奇偶性的含义2学会运用函数图象理解和研究函数的性质3知道指数函数与对数函数互为反函数,1.了解函数的单调性概念，掌握判断一些简单函数单调性的方法；了解奇偶函数的意义2.了解反函数的概念及互为反函数的函数图像间的关系，会求一些简单函数的反函数。,关于“反函数”的变化,课程标准降低了对反函数的
3、要求，削弱了反函数的概念，只以具体函数为例进行解释和直观理解。通过比较同底的指数函数和对数函数，说明指数函数 y=ax(a0，a1）和对数函数 y=loga x(a0,a1）互为反函数。不一般地讨论形式化的反函数定义，也不要求求已知函数的反函数。互为反函数的两个函数的图象间关于直线 y=x 对称的性质，只通过具体函数理解。,函数与方程,1.结合二次函数的图象,判断一元二次方程根的存在性及根的个数,从而了解函数的零点与方程根的关系;2.根据具体函数的图象,能够借助计算器用二分法求相应方程的近似解,了解这种方法是求方程近似解的常用方法.,大纲无相关要求,二.函数在高中数学中的地位,函数内容的知识链
4、,必修数学1：函数概念与基本初等函数I（指数函数、对数函数、幂函数）；必修数学4：基本初等函数II（三角函数）；必修数学5：数列；选修系列1-1、选修系列2-2：导数及其应用。,三.教材解读,B必修1共三章 第一章 集合；第二章 函数；第三章 基本初等函数（1）A必修1共三章：第一章 集合与函数概念 第二章 基本初等函数（1）第三章 函数的应用（函数与方程；函数模型及其应用）,2.1.1 函数,函数的要素,1.定义域2.值域 y|y=f(x),xA 例2：y=1/(x2+1)练习：函数f(x)=3x-4的值域为-10，5，求它的定义域3.对应法则f,2.1.2 函数的表示方法,1从集合角度描述
5、函数图像 所有这些点的集合F叫做函数y=f(x)的图像，即 F=P(x,y)|y=f(x),xA什么样的图形才可能成为函数的图像？,P(x,y)|y=f(x),xA y|y=f(x),xA x|y=f(x),2.画图能力要求较高（1）“画函数图像是学习数学必须掌握的一个重要技能”（2）画函数图像的题目多且有难度（3）教材提供选学内容：用scilab语言求函数值的方法；用计算机画函数的图像等内容。,3.分段函数 课标第一次对分段函数提出明确的要求 几个例题的结论和分析方法也很有用,2.1.3 函数的单调性,函数的单调性学生在初中有所接触，对此有直观、感性的认识。高中学习单调性要求把它上升到理论的
6、高度，用准确的数学语言去刻画，这种由形到数，由直观到抽象的转化对学生来说比较困难。因此本节的教学要在概念的形成上下功夫。,单调性概念的形成,B版教材的编写：观察函数y=2x,y=-2x,y=x2+1的图像特征，直接给出单调性定义，用定义证明函数的单调性。显得比较生硬、突然。,A版教材的编写：分三个阶段 第一：观察y=x,y=x2的图像，描述图像特征。“上升”“下降”第二：结合函数值表，用自然语言描述函数特征 问题：“如何描述函数图像的上升与下降呢？”给出函数y=x2的一组自变量和函数值,图像在y轴左侧下降，就是在区间（-，0）随着x的增大，相应的f(x)反而随着减小；图像在y轴右侧上升，就是在
7、区间（0，+）随着x的增大，相应的f(x)也随着增大。第三：引进数学符号，用符号语言描述函数性质问题：“如何利用函数解析式y=x2描述随着x的增大，相应的f(x)反而随着减小；”分析回答：“在区间（-，0）任取x1,x2,当x1f(x2），这时我们称函数在（-，0）是减函数。”一般化，得到单调性定义。,单调性定义,B版教材的定义在形式上有所变化 设函数y=f(x)的定义域为A，区间M A,如果取区间M中的任意两个值x1,x2,改变量 x=x2-x10,则 当 y=f(x2)-f(x1)0时，就称函数在区间M上是增函数。本节最后的探索与研究继续探索几个问题1.给出平均变化率的概念2.平均变化率的
8、符号与函数单调性的关系。3.平均变化率的大小（绝对值的大小）与函数值增 长快慢有什么关系？图像上的反应是什么？,单调性证明,单调性的证明是学生在函数内容（甚至是数学学习）中首次接触到的代数论证内容，另外在变形定号时，要用到分解因式、配方法、不等式等知识，所以单调性证明是教学的一个难点.教学要求上要把握“度”，只要求证明线性函数和简单幂函数的单调性。例1.y=2x+1;例2.y=1/x 练习:y=单调性，要用到分子有理化的知识，,函数最值,课标要求“通过已学过的函数特别是二次函数，理解函数的单调性，最大(小)值及其几何意义”。,A 版教材在函数的单调性中有一部分内容介绍最值：观察函数图像可以发现
9、，函数f(x)=x2的图像上有一个最低点（0，0），即对于任意的实数x,都有f(x)f(0)。当一个函数的图像f(x)有最低点时，我们就说函数f(x)有最小值。而函数f(x)=x的图像没有最低点，所以函数f(x)=x没有最小值。一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：对于任意的xI，都有（1）f(x)M（2）存在x0I，使得f(x0)=M那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值配备例题：已知函数y=2/(x-1),x2,6,求函数的最大值和最小值,2.1.4 函数的奇偶性,1.概念的形成过程：,问题：y=x2,y=(1)观察两个函数的图像有什么共同特征(2)相应的两个函数值
10、对应表是如何体现这些特征(3)如何利用函数解析式描述函数图像的这个特征,2.奇偶性定义,旧：如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x)，那么函数f(x)就叫奇函数B：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有-xD，且f(-x)=-f(x)，则这个函数叫做奇函数,3.图像特点,3.例习题的配备及处理,例2.研究函数y=的性质并画出函数图像 52页6（3）作出函数的图像，并研究它们的单调性 y=,53页A组9题：已知分段函数f(x)是奇函数，当x(0,+)时的解析式为y=x2，求这个函数在区间（-，0）上的解析式。B组2题：已知函数f(x)在R上是奇函
11、数，而且(0,+)上是减函数，试问：函数f(x)在（-，0）上是减函数还是增函数?并说明理由。,2.2 一次函数与二次函数,设计意图：以这两个重要的函数模型为载体，学习研究函数性质的一般方法；沟通初高中知识的衔接；提高学生对配方法、待定系数法、数形结合、分类讨论等思想方法的认识。教学要求：诊断学生的情况，选择合理的教学方法，合理安排课时,知识整理,一次函数：k=0时，平均变化率,二次函数,1.解析式：一般式 y=ax2+bx+c 顶点式 y=a(x-k)2+h 双根式 y=a(x-x1)(x-x2)2.性质：值域（最值），单调性，奇偶性63页2-2第8题（2）f(x)=ax2+bx+c,4逼近
12、思想的渗透 教材57页：对任意一个特殊的二次函数y=ax2,当x的绝对值无限地逐渐变小，函数值的绝对值也随着无限地变得越来越小，其图像就从x轴的上方（或下方）无限逼近x轴.,5.证明二次函数的对称性教材58页：f(-4-h)=f(-4+h)函数关于直线 x=-4 对称。教材80页5题：已知二次函数f(x)满足f(-2+k)=f(-2-k)，且该函数的图像与y 轴交于点（0，1），在x轴上截得的线段长为 2，求函数的解析式。,教学调整建议,23 函数的应用（1）,要求比初中要高：分析变量之间的关系；能准确写出自变量的取值范围，体会实际问题中函数的定义域是使实际问题有意义的自变量的取值范围；多种方
13、法解题。通过例4初步体会数学建模的思想和基本步骤,24 函数与方程,(一)体现以下意图 1加强知识之间的联系 2 加强数形结合、函数与方程等数学思想方法的教学 3 加强与信息技术的整合,（1）函数的零点（2）为什么要介绍二分法 2.1二分法思想简单，应用广泛 其理论依据是“函数的介值定理”：函数f(x)在区间a,b连续,在(a,b)可导，最大值为M,最小值为N。若NcM,则必存在（a，b）使f()=c.,2.2二分法是必修算法教学的一个准备，也是算法教学的一个案例 算法作为一种计算机时代最重要的教学思想方法，被加入高中数学的必修内容。算法的教学一案例教学为主。二分法是一个很好的案例,2.3 二分法朴素而又寓意深刻，其中体现着重要的数学思想方法可以让学生感受到整体到局部，定性到定量，精确到近似，计算与技术，逐渐逼近等思想方法。,(二)二分法的思想,
