一次函数、二次函数与幂函数.ppt

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1、要点梳理1.一次函数、二次函数的图象及性质(1)一次函数y=kx+b，当k0时，在实数集R上是增函 数,当k0时在实数集R上是减函数.b叫纵截距,当b=0 时图象过原点，且此时函数是奇函数；当b0时函 数为非奇非偶函数.,2.6 一次函数、二次函数与幂函数,基础知识 自主学习,(2)二次函数的解析式二次函数的一般式为_.二次函数的顶点式为_,其中顶点为_.二次函数的两根式为_,其中x1,x2是方程ax2+bx+c=0的两根.(也就是函数的零点)根据已知条件,选择恰当的形式,利用待定系数法可求解析式.,y=ax2+bx+c（a0）,y=a(x-h)2+k(a0),y=a(x-x1)(x-x2)(

2、a0),(h,k),(3)二次函数图象和性质 二次函数y=ax2+bx+c(a0)的顶点坐标为;对称轴方程为.熟练通过配方法求顶点坐标及对称轴,并会画示意图.在对称轴的两侧单调性相反.当b=0时为偶函数,当b0时为非奇非偶函数.,2.二次函数、一元二次方程、一元二次不等式三者之 间的关系,x1,x2(x1x2),x0,x|xx2或xx1,x|xR且xx0,R,x|x1xx2,3.幂函数(1)幂函数的定义 形如_(R)的函数称为幂函数,其中x是 _,为_.(2)幂函数的图象,自变量,常数,(3)幂函数的性质,函数,特 征,性质,R,R,R,0,+),x|xR且x0,R,0,+),R,0,+),y

3、|yR且y0,奇,奇,奇,偶,非奇非偶,(1，1),(0，0),x0,+)时,增x(-,0时,减,增,增,增,x(0,+)时,减x(-,0)时,减,(1，1),基础自测1.直线 的图象可能是（）解析 a0，C不可能.当a0时，排除A.当a0时，排除D，故选B.,B,2.一次函数y=ax+b与二次函数y=ax2+bx+c在同一坐标 系中的图象大致是（）解析 选项A中，一次函数的斜率a0，而二次函数 开口向下，相互矛盾，排除A.同理排除D,y=ax2+bx+c的对称轴为 当a0,b0时，排除B.当a0,b0时，故选C.,C,3.设 则使函数 的定义域为 R且为奇函数的所有 值为（）A.1,3 B.

4、-1,1 C.-1,3 D.1,3，解析 当=1，3时，的定义域为R且为奇函 数，当=-1时，的定义域为x|x0,xR,淘汰B、C,当 时,的定义域为0,+),排除D.故选A.,A,4.已知二次函数y=x2-2ax+1在区间（2，3）内是单调 函数，则实数a的取值范围是（）A.a2或a3 B.2a3 C.a-3或a-2 D.-3a-2 解析 本题考查二次函数图象及其性质，由于二次 函数的开口向上,对称轴为x=a,若使其在区间(2,3)内是单调函数，则需所给区间在对称轴的同一侧，即a2或a3.,A,5.方程x2-mx+1=0的两根为 且 则实数m的取值范围是_.解析 方法一,方法二 设f(x)=

5、x2-mx+1,则f(0)=1.由图可知，f(1)f(2)=(2-m)(5-2m)0,2m 答案,题型一 二次函数的解析式的求法【例1】已知二次函数f(x)满足f(2)=-1,f(-1)=-1,且 f(x)的最大值是8，试确定此二次函数.确定二次函数采用待定系数法，有三种 形式，可根据条件灵活运用.,思维启迪,题型分类 深度剖析,解 方法一 设f(x)=ax2+bx+c(a0),依题意有所求二次函数为y=-4x2+4x+7.方法二 设f(x)=a(x-m)2+n.f(2)=f(-1),抛物线对称轴为 m=,又根据题意函数有最大值为n=8，y=f（x）=f（2）=-1，解之，得a=-4.方法三

6、依题意知：f(x)+1=0的两根为x1=2,x2=-1,故可设f(x)+1=a(x-2)(x+1),即f(x)=ax2-ax-2a-1.又函数有最大值ymax=8,即,解之，得a=-4或a=0(舍去）.函数解析式为f(x)=-4x2+4x+7.二次函数的解析式有三种形式：(1)一般式：f(x)=ax2+bx+c(a0)(2)顶点式：f(x)=a(x-h)2+k(a0)(3)两点式：f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a0)具体用哪种形式，可根据具体情况而定.,探究提高,知能迁移1 设二次函数f(x)满足f(x+2)=f(2-x)，且 f（x）=0的两实数根平方和为10，图象过点(0,3),求

7、f（x）的解析式.解 设f(x)=ax2+bx+c(a0).由f(x+2)=f(2-x)知，该函数图象关于直线x=2对称,即b=-4a.又图象过（0，3）点，c=3.,b2-2ac=10a2.由得a=1,b=-4,c=3.故f（x）=x2-4x+3.,题型二 二次函数的图象与性质【例2】已知函数 在区间0,1 上的最大值是2，求实数a的值.研究二次函数在给定区间上的最值问 题，要讨论对称轴与给定区间的关系.解 对称轴为,思维启迪,(1)当0 1，即0a2时，得a=3或a=-2,与0a2矛盾.不合要求；(2)当 1，即a2时，y在0，1上单调递增，有ymax=f(1),f(1)=2 综上，得a=

8、-6或a=,探究提高(1)要注意抛物线的对称轴所在的位置对函数最值的影响.(2)解二次函数求最值问题，首先采用配方法，将二次函数化为y=a(x-m)2+n的形式，得顶点（m，n）或对称轴方程x=m，分三个类型：顶点固定，区间固定；顶点含参数，区间固定；顶点固定，区间变动.,知能迁移2 已知函数f(x)=-x2+8x,求函数f(x)在区间 t,t+1上的最大值h(t).解 f（x）=-x2+8x=-(x-4)2+16 当t+14时，f(x)在t,t+1上单调递减.此时h(t)=f(t)=-t2+8t.综上可知,题型三 幂函数的图象及应用【例3】点(,2)在幂函数f(x)的图象上,点 在幂函数g（

9、x）的图象上，问当x为何值时，有 f(x)g(x)，f(x)=g(x)，f(x)g(x).由幂函数的定义，求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可.解 设 则由题意得=2，即f（x）=x2，再设 则由题意得=-2，即g（x）=x-2，,思维启迪,在同一坐标系中作出f(x)与g(x)的图象，如图所示.由图象可知：当x1或x-1时，f（x）g（x）;当x=1时,f(x)=g(x);当-1x1且x0时，f（x）g（x）.(1)函数图象在解方程和不等式时有着重要的应用.(2)注意本题中，g（x）的定义域为x|x0，所以中不包含x=0这一元素.,探究提高,知能迁移3 已知幂函数 的图象与x、y

10、 轴都无公共点，且关于y轴对称，求整数n的值并画 出该函数的草图.解 函数图象与x、y轴都无公共点，n2-2n-30，-1n3.又n为整数，n-1，0，1，2，3.又图象关于y轴对称，n2-2n-3为偶数.n=-1，1，3.,当n=-1和3时,n2-2n-3=0，y=x0图象如图（1）所示;当n=1时，y=x-4，图象如图（2）所示.图（1）图（2）,题型四 幂函数的性质【例4】（12分）已知幂函数(mN*)的图象关于y轴对称，且在（0，+）上是减函数，求满足 的a的取值范围.由(mN*)的图象关于y 轴对称知m2-2m-3为偶数,又在（0，+）上是减函 数，m2-2m-30，从而确定m值，再

11、由函数f(x)=的单调性求a的值.,思维启迪,解 函数在(0，+)上递减，m2-2m-33-2a0或0a+13-2a或a+103-2a.10分,解得 故a的取值范围为 12分 本题集幂函数的概念、图象及单调性、奇偶性于一体,综合性较强，解此题的关键是弄清幂函数的概念及性质.解答此类问题可分为两大步：第一步，利用单调性和奇偶性（图象对称性）求出m的值或范围;第二步，利用分类讨论的思想，结合函数的图象求出参数a的取值范围.,探究提高,知能迁移4 指出函数 的单调区间,并比较 的大小.解=1+(x+2)-2,其图象可由幂函数y=x-2的图象向左平移2个单位,再 向上平移1个单位得到，,该函数在(-2

12、，+)上是减函数，在(-，-2)上是增函数，且其图象关于直线x=-2对称（如图所示）.,1.二次函数的解析式有三种形式:一般式、顶点式和 两根式.根据已知条件灵活选用.2.二次函数的单调性只与对称轴和开口方向有关系,因此单调性的判断通常用数形结合法来判断.3.幂函数（R）,其中 为常数,其本质特征 是以幂的底x为自变量，指数 为常数，这是判断一 个函数是否是幂函数的重要依据和唯一标准.应当注 意并不是任意的一次函数、二次函数都是幂函数，如y=x+1，y=x2-2x等都不是幂函数.,方法与技巧,思想方法 感悟提高,4.在（0，1）上，幂函数中指数愈大，函数图象愈靠 近x轴（简记为“指大图低”），

13、在（1，+）上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴.1.幂函数的图象一定会出现在第一象限内，一定不会 出现在第四象限内，至于是否出现在第二、三象限 内，要看函数的奇偶性；幂函数的图象最多只能同 时出现在两个象限内；如果幂函数图象与坐标轴相 交，则交点一定是原点.,失误与防范,2.幂函数的定义域的求法可分5种情况：为零；为正整数；为负整数；为正分数；为负分数.3.作幂函数的图象要联系函数的定义域、值域、单 调性、奇偶性等，只要作出幂函数在第一象限内的 图象，然后根据它的奇偶性就可作出幂函数在定义 域内完整的图象.4.利用幂函数的图象和性质可处理比较大小、判断复 合函数的单调性及在实际问题中的应

14、用等类型.进一 步培养学生的数形结合、分类讨论等数学思想和 方法.,一、选择题 1.下列函数:y=3x-2；y=x4+x2；,其中 幂函数的个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4 解析 中y=x-3;中 符合幂函数定义;而中y=3x-2，中y=x4+x2不符合幂函数的定义.,B,定时检测,2.函数(nN*,n9)的图象可能是（）,解析 函数为偶函数，图象关于y轴对称，故排除A、B.令n=18，则 当x0时，由其在第一象限的图象知选C.答案 C,3.（2009湖北理，9）设球的半径为时间t的函数 R（t）.若球的体积以均匀速度c增长，则球的表面 积的增长速度与球半径（）A.成正比，比例系数为c

15、 B.成正比，比例系数为2c C.成反比，比例系数为c D.成反比，比例系数为2c,解析 V(t)=4 R2(t)R(t)=c.S(t)=4 R2(t),S(t)=8 R(t)R(t)答案 D,4.函数f(x)=-x2+(2a-1)|x|+1的定义域被分成了四个 不同的单调区间，则实数a的取值范围是（）A.B.C.D.,解析 f（x）=-x2+(2a-1)|x|+1是由函数f(x)=-x2+(2a-1)x+1变化得到，第一步保留y轴右侧的图象，再作关于y轴对称的图象.因为定义域被分成四个单调区间，所以f(x)=-x2+(2a-1)x+1的对称轴在y轴的右侧，使y轴右侧有两个单调区间，对称后有四

16、个单调区间.所以答案 C,5.若0y1,则下列关系式中正确的个数是（）axay xaya logaxlogay logxalogya A.4 B.3 C.2 D.1 解析 0y1,y=ax递减，故不正确；y=xa递增，故正确；y=logax递减，故不正确.logxalogya logaxlogay,正确.综上，正确.,C,6.已知函数 的值域为R，则实 数k的取值范围是（）A.(0，1)B.(-，01，+)C.0，1)D.k=0或k1 解析 要满足题意，t=x2-2kx+k要能取到所有正实 数，抛物线要与坐标轴有交点，=4k2-4k0.解得k1或k0.,B,二、填空题 7.当 时,幂函数 的图

17、象不可能 经过第_象限.解析 当x0时，y0，故不过第四象限；当x0时，y0或无意义.故不过第二象限.综上，不过二、四象限.也可画图观察.,二、四,8.函数 在区间0,4上的最大值M与最小 值N的和M+N=_.解析 令t=0,2,y=t2+2t=(t+1)2-1,在t0,2上递增.当t=0时,N=0,当t=2时,M=8.M+N=8.,8,9.已知(0.71.3)m1.30=1,0.71.30.,（0,+),三、解答题 10.已知函数f(x)=(m2-m-1)x-5m-3，m为何值时，f(x):(1)是正比例函数;(2)是反比例函数;(3)是二次函数;(4)是幂函数.解(1)若f(x)是正比例函

18、数，则-5m-3=1,解得 此时m2-m-10,故(2)若f(x)是反比例函数，则-5m-3=-1,则m=此时m2-m-10，故m=,(3)若f(x)是二次函数，则-5m-3=2,即m=-1,此时m2-m-10，故m=-1,(4)若f(x)是幂函数，则m2-m-1=1，即m2-m-2=0,解得m=2或m=-1.综上所述，(1)当m=时，f(x)是正比例函数.(2)当m=时，f(x)是反比例函数.(3)当m=-1时，f(x)是二次函数.(4)当m=2或m=-1时，f(x)是幂函数.,11.即将开工的上海与周边城市的城际列车铁路线将 大大缓解交通的压力，加速城市之间的流通.根据 测算，如果一列火车

19、每次拖4节车厢，每天能来回 16次；如果每次拖7节车厢，则每天能来回10次，每天来回次数是每次拖挂车厢个数的一次函数,每 节车厢一次能载客110人，试问每次应拖挂多少节 车厢才能使每天营运人数最多?并求出每天最多的 营运人数.（注:营运人数指火车运送的人数）,解 设这列火车每天来回次数为t次,每次拖挂车厢 n节，则设t=kn+b.由t=-2n+24.设每次拖挂n节车厢每天营运人数为y，则y=tn1102=440(-n2+12n)，当n=6时，总人数最多为15 840人.答 每次应拖挂6节车厢才能使每天的营运人数最多 为15 840人.,12.已知函数f(x)=x2,g(x)=x-1.(1)若存在xR使f(x)0 b4.,(2)F（x）=x2-mx+1-m2,=m2-4(1-m2）=5m2-4.当0，即 时，则必需当0,即 时,设方程F(x)=0的根为x1,x2(x1x2).,若 1,则x10,若 0,则x20,综上所述：-1m0或m2.,返回,