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1、第三章 随机变量的数字特征,一、随机变量的数学期望,二、随机变量函数的数学期望,三、数学期望的性质,1.数学期望,引例1 分赌本问题(产生背景),A,B 两人赌技相同,各出赌金100元,并约定先胜三局者为胜,取得全部 200 元.由于出现意外情况,在 A 胜 2 局 B 胜1 局时,不得不终止赌博,如果要分赌金,该如何分配才算公平?,注:1654年,一个骑士就此问题求教于帕斯卡,帕斯卡与费马通信讨论这一问题,共同建立了概率论的第一个基本概念-数学期望,在已赌过的三局(A 胜2局B 胜1局)的基础上，若继续赌,A胜出的概率 1/2+1/2*1/2=3/4,B胜出的概率 1/2*1/2=1/4,即
2、A 应获得赌金的 而 B 只能获得赌金的,因而A期望所得的赌金即为X的“期望”值,等于,X 的可能值与其概率之积的累加.,即为,若设随机变量 X 为:在 A 胜2局B 胜1局的前提下,继续赌下去 A 最终所得的赌金.,则X 所取可能值为:,其概率分别为:,引例2(射击问题)射手在同样条件下进行射击，命中的环数为随机变量，其分布律如下：,求该射手平均每次命中的环数。,数学期望又可以称为期望，均值。,离散型随机变量的数学期望,关于定义的几点说明,(1)E(X)是一个实数,它是一种加权平均,也称均值.,(2)级数的绝对收敛性保证了级数的和不随级数各项次序的改变而改变.,试问哪个射手技术较好?,例1
3、谁的技术好?,比一比,解,故甲射手的技术比较好.,例2 投资理财决策,某人现有10万元现金进行为期一年的投资，现有2种投资方案：一是购买股票，二是存入银行获利息。若买股票，则一年收益主要取决于全年经济形式好（概率30%）、中等（概率50%）、和差（概率20%）三种状态，形式好就能获利40000元，形式中等也能获利10000元，形式差就要损失20000元。若存入银行，则按8%的年利率获得利息8000元。,解,设 X 为投资利润，则,存入银行的利息:,故应选择股票投资.,例3 最优订购方案,某商场订购下一年的挂历，零售价80元/本，进价50元/本，若当年卖不出去，则降价到20元/本全部销售出去。根
4、据往年经验，需求概率如下：在当年售出150本、160本、170本和180本的概率分别为0.1，0.4，0.3，0.2。有以下四种订购方案：(1)订购150本；(2)订购160本；(3)订购170本；(4)订购180本，请问哪种方案可使期望利润最大？,(1)订购150本:设随机变量X表示该方案下的利润(百元),(2)订购160本:设随机变量Y表示该方案下的利润(百元),(3)订购170本:设随机变量Z表示该方案下的利润(百元),(4)订购180本:设随机变量R表示该方案下的利润(百元),选择方案2或3，可使期望利润最大。,连续型随机变量的数学期望,例 已知随机变量 在区间a,b上服从均匀分布，求
5、,例：对圆的直径作近似测量，其值均匀分布在区间a,b上，求圆的面积的数学期望。,例 设随机变量XE(1)，求,解 X的概率密度为,小结,三、数学期望的性质,性质1 若C是常数,则E(C)=C.,性质2 若C是常数,则E(C)=CE().,例 应用数学期望提高工效,医院常用验血的方法在人群中普查某种疾病。假设共有10个人验血。有如下两种方案：方案一：每个人的血分别化验，要化验10次；方案二：把这10个人的血液样本混合起来进行化验。如果结果为阴性，则10个人只需化验1次；若结果为阳性，则需对10个人再逐个化验，总计化验11次。假定人群中这种病的患病率p为10%，且每人患病（血液化验为阳性）与否是相
6、互独立的。试问：哪种方案工作效率更高？,解：设化验次数为随机变量X,结论：,分组化验法的平均化验次数少于逐一化验法的次数,提高了工效.,方案一：X=10,方案二：X的分布律为：,进一步思考,（1）当人数为10时，方案一有没有可能优于方案二，此时对患病率p有什么要求？,（2）当患病率p=0.1时，要使方案二优于方案一，对验血人数有什么要求？,1、概率p对是否分组的影响,若p=0.2，则,当p0.2057时，E(X)10,2、概率p对每组人数n的影响,当p=0.2时，可得出n10.32，才能保证EX10.,当p=0.1时，为使,3 方差,一、随机变量方差的概念,二、随机变量方差的计算,三、随机变量
7、方差的性质,设有两种球形产品，其直径的取值规律如下：,两种产品的直径均值是相同的，但产品2的偏差大，如果需要使用直径为5的产品，则产品1较产品2理想。,引例,一、随机变量方差的概念,若需要直径为5的产品，选哪种产品较理想？,甲、乙两门炮同时向一目标射击10发炮弹，其落点距目标的位置如图：,你认为哪门炮射击效果好一些呢?,甲炮射击结果,乙炮射击结果,因为乙炮的弹着点较集中在中心附近.,1、方差的定义,称为均方差或标准差.,即,方差刻画了随机变量的取值与数学期望的偏离程度,它的大小可以衡量随机变量取值的稳定性.,设 是一随机变量，如果 存在，则称为 的方差，记作 或.,2.方差的意义,(1)方差是一个常用来体现随机变量 取值分散程度的量.如果 值大,表示 取值分散程度大,的代表性差;而如果 值小,则表示 的取值比较集中,以 作为随机变量的代表性好.,（2）若方差，则随机变量 恒取常数值。,解,例 设有一种球形产品，其直径的取值规律如下：,求。,离散型,连续型,小结：用定义计算,设离散型随机变量 的分布律为,设连续型随机变量 的概率密度为 f(x),2、（常用的）计算方差的简化公式:,解,例 设有一种球形产品，其直径的取值规律如下：,求。,三、方差的性质,C 为常数,a为常数,
