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1、杨辉三角的研究课,复习,1、什么是杨辉三角？,二项式（a+b）n展开式的二项式系数，当n依次取1，2，3时，列出的一张表，叫做二项式系数表，因它形如三角形，南宋的杨辉对其有过深入研究，所以我们又称它为杨辉三角,2、杨辉三角蕴含的二项式性质,（1）表中每个数都是组合数，第n行的第r+1个数是（2）三角形的两条斜边上都是数字1，而其余的数都等于它肩上的两个数字相加，也就是（3）杨辉三角具有对称性、等距性（对称美），即（4）第n行的和，即（5）偶数项的二项式系数和=奇数项的二项式系数和=（6）若n为偶数，则中间项的二项式系数最大;若n为奇数，则中间项两项的二项式系数最大。,3、介绍杨辉古代数学家的杰
2、出代表,杨辉，杭州钱塘人。中国南宋末年数学家，数学教育家著作甚多，他编著的数学书共五种二十一卷，著有详解九章算法十二卷（1261年）、日用算法二卷、乘除通变本末三卷、田亩比类乘除算法二卷、续古摘奇算法二卷其中后三种合称杨辉算法，朝鲜、日本等国均有译本出版，流传世界。“杨辉三角”出现在杨辉编著的详解九章算法一书中，此书还说明表内除“一”以外的每一个数都等于它肩上两个数的和杨辉指出这个方法出于释锁算书，且我国北宋数学家贾宪（约公元11世纪）已经用过它，这表明我国发现这个表不晚于11世纪 在欧洲，这个表被认为是法国数学家物理学家帕斯卡首先发现的（Blaise Pascal,1623年1662年）,他
3、们把这个表叫做帕斯卡三角这就是说，杨辉三角的发现要比欧洲早500年左右，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的,4观察杨辉三角所蕴含的数量关系，及有趣的数字排列规律,（1）计算杨辉三角中各行数字的和，看有何规律：,第0行 1=1 第1行112第2行121422第3行1331823第4行146411624第5行151010513225第n行,结论:(1)第n行数字的和为2 n(2)前n行(含第0行)所有数的和为2 n 1，它恰好比第n行的和2 n小1,（2）斜看杨辉三角中各数的和，又有何规律？,第P列斜线上的前Q个数之和等于第(P+1)列斜线上的第Q个数。,（3）如图，写出斜线上各行
4、数字的和，有什么规律？,1，1，2，3，5，8，13，21，34，,此数列an满足,a1=1,a2=1,且an=an-1+an-2(n3)这就是著名的斐波那契数列,介绍斐波那契“兔子繁殖问题”增强趣味性,中世纪意大利数学家斐波那契的传世之作算术之法中提出了一个饶有趣味的问题：假定一对刚出生的兔子一个月就能长成大兔子，再过一个月就开始生下一对小兔子，并且以后每个月都生一对小兔子设所生一对兔子均为一雄一雌，且均无死亡问一对刚出生的小兔一年内可以繁殖成多少对兔子？,兔子繁殖问题也可以从杨辉三角得到答案：1，1，2，3，5，8，13，21，34，,讓我們慢慢地算一下一月初 兔子剛出生，但是還沒成熟，還
5、不能生小兔子 一對小兔子二月初 但是還沒成熟，還不能生小兔子 一對小兔子三月初 成熟第一代兔子生了一對小兔子 二對小兔子四月初 成熟第一代兔子生了一對小兔子 三對小兔子五月初 成熟第一二代兔子各生了一對小兔子 五對小兔子六月初 成熟三對兔子各生了一對小兔子 八對小兔子七月初 成熟五對兔子各生了一對小兔子 13對小兔子八月初 成熟八對兔子各生了一對小兔子 21對小兔子九月初 成熟13對兔子各生了一對小兔子 34對小兔子十月初 成熟21對兔子各生了一對小兔子 55對小兔子11月初 成熟34對兔子各生了一對小兔子 89對小兔子12月初 成熟55對兔子各生了一對小兔子 144對小兔子,2.已知：110
6、=1，111=11，112=121，113=1331 请借助贾宪三角求出114的值。,答：114=14641,3.已知：1+2=3，1+2+3=4，1+2+3+4=10，1+2+3+4+5=15 请借助贾宪三角求出下列各式的值：1+2+3+4+5+6+7 1+3+6+10+15+21 1+5+15+35+56,=28,=56,=126,4.已知：1+1=2，1+2+1=4，1+3+3+1=8，1+4+6+4+1=16 请求出下列各式的值：1+5+10+10+5+1；1+6+15+20+15+6+1。并总结出规律。,这是一个由数字组成的三角形数表，它具有以下特点。,1.除第一行外，每行两端都是
7、1，除1以外，每个数都等于它上面 两个数之和；2.每一横行都表示(a+b)n展开式中的系数，其中n等于行数减1；3.可以求出n7、8、9时二项展开式各项的系数；4.第(n+1)行各数之和，即(a+b)n展开式各项系数之和等于2n；5.如果二项式的幂指数是偶数，中间一项的系数最大；如果二项式 的幂指数是奇数，中间两项系数相同并且最大；6.若n是一个质数，那么第(n+1)行除了两端的1以外的各个数，都 是n的倍数。如3、5、7是质数，则第4、6、8 行都有这一特性；7.斜数第一列的数字全是1；斜数第二列的数字是1、2、3、4那 么第n个数等n；斜数第三列的数字是1，3，6，10那么第n个数 等n(n+1)/2；8.第P列斜线上的前Q个数之和等于第(P+1)列斜线上的第Q个数。,5教学小结：,
