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1、第四节 函数的单调性与极值,一、函数的单调性,二、函数的极值,一、函数的单调性,定理,证,应用拉氏定理,得,例1,解,注意:函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性,单调区间求法,问题:如上例，函数在定义区间上不是单调的，但在各个部分区间上单调,定义:若函数在其定义域的某个区间内是单调的，则该区间称为函数的单调区间.,导数等于零的点和不可导点，可能是单调区间的分界点,方法:,例2,解,单调区间为,例3,解,单调区间为,例4,证,注意:区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.,例如,二、函数的极值,定义,函数的极大值与极
2、小值统称为极值,使函数取得极值的点称为极值点.,函数极值的求法,定理1(必要条件),定义,注意:,例如,定理2(第一充分条件),(是极值点情形),求极值的步骤:,(不是极值点情形),例5,解,列表讨论,极大值,极小值,图形如下,定理3(第二充分条件),证,同理可证(2).,例6,解,图形如下,注意:,例7,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,在1和1之间振荡,故命题不成立,小结,单调性的判别是拉格朗日中值定理的重要应用.,定理中的区间换成其它有限或无限区间，结论仍然成立.,应用：利用函数的单调性可以确定某些方程实根的个数和证明不等式.,极值是函数的局部性概念:极大值可能小于极小值,极小值可能大于极大值.,驻点和不可导点统称为临界点.,函数的极值必在临界点取得.,判别法,第一充分条件;,第二充分条件;,(注意使用条件),思考题,1.,2.下命题正确吗？,思考题解答,1.不能断定.,例,但,当 时，,当 时，,注意 可以任意大，故在 点的任何邻域内，都不单调递增,2.不正确,例,练 习 题（一）,练 习 题（二）,练习题（一）答案,练习题（二）答案,
