第四章量纲分析和相似理论.ppt

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1、第四章 相似理论与量纲分析,流体力学的研究方法主要有三种：理论分析、实验研究、数值模拟 其中，流体力学实验是发展流体力学理论，验证流体力学假说，理解流体力学现象，解决流体力学工程问题的一个重要手段。本章将探讨流体力学实验的基础理论：相似理论 量纲分析,第一节 有因次量和无因次量,一、因次的概念 因次又称量纲，它指的是物理量的物理属性，或者说是指具有相同物理意义的物理量的类别。以小时、分、秒为例，它们是测量时间的不同单位，但这些单位都是用来测量时间的，都属于时间的类别。因次的符号一般用方括号内英文字母等来表示，如质量的因次、长度的因次、时间的因次、压力的因次ML1T2和温度的因次等等。在国际单位

2、制中，取长度、质量、时间、电流、热力学温度、物质的量和发光强度这七个物理量作为“基本量”。,第一节 有因次量和无因次量,这七个基本量的因次相应地用、来表示，称为基本因次。其它一些物理量的因次是用上述基本因次根据一定的物理方程推导出来的，称为“导来因次”。如速度的因次LT1是根据运动方程u=dl/d用长度的因次和时间的因次推导而来的，是导来因次。在流体力学中，常用的基本因次为：长度、质量、时间、温度等；常用的导来因次列于表4-1中。在因次运算过程中，在不致于引起混淆的情况下可将因次外的方括号省略，否则必须加上方括号。,第一节 有因次量和无因次量,二、有因次量和有因次方程 具有因次的物理量称为有因

3、次量。如速度u、压力p和密度等物理量都是有因次量。用加()、减()、等号()等运算符号把描述现象的各有因次参量联系在一起组成的方程，称为有因次方程。对有因次方程而言，各项的因次必须是相同的，否则将不能保持因次的和谐性。如水静力学基本方程 各项的因次都必须是ML1T2。,第一节 有因次量和无因次量,再如伯努利方程 各项的因次都必须是。由此可给出因次分析的一个重要原理，即 因次和谐原理：“凡正确的物理方程，其中各项的因次都必须相同，这是完整物理方程所必然具有的特征”。有因次方程体现了参与过程的各物理参量之间的具体的依变关系，给人以直观感。,第一节 有因次量和无因次量,三、无因次量和无因次方程 以某

4、一有因次量作为参考尺度，其它具有相同因次的量都用该尺度所度量，得出的失去了因次的量称为无因次量。如管道的无因次长度l/d；无因次坐标r/R；管内流动的无因次速度u/umax等。参考尺度可选取固定量，也可选取有规律的变量。如马赫数M=u/a，其中 为当地音速，它是个有规律的变量。用加()、减()、等号()等运算符号将描述现象的无因次量联系起来组成的方程,称为无因次方程。一般地，无因次方程比有因次方程更能体现同类现象或物理过程的一般规律。,第一节 有因次量和无因次量,如管内层流的无因次速度(u/umax)与无因次坐标(r/R)之间的函数关系式为 可压缩流体按等熵过程膨胀加速时,无因次速度(u/um

5、ax)与无因次压力(p/p0)之间的函数关系式为 式中umax为可压缩流体的极限速度，p0为可压缩流体的滞止压力。,第一节 有因次量和无因次量,四、准数和准数方程 无因次量可以是两个简单的同类量之间的比值关系，也可以把一些具有一定物理含义和相同因次的复合数群相比，得出新的无因次值，这个无因次值就称为准数或称准则数，也有人称作特征数。简单地说，准数就是“由某些有关的物理量所组成的无因次复合数群”。即它是一个复杂的无因次量。例如，与流体质点运动相关的有四种力：惯性力、粘性力、重力和压力。研究流体流动时，常常将它们进行无因次化(准数化)，推导过程如下：,第一节 有因次量和无因次量,当流体在流动过程中

6、，粘性力起主导作用时，将惯性力与粘性力相比，得 Re称为雷诺准数。它体现了流体运动过程中惯性力与粘性力之间的比值关系。,第一节 有因次量和无因次量,当流体在流动过程中，压力起主导作用时，如管内有压流动，将压力与惯性力相比，得 Eu称为欧拉准数。它体现了流体在运动过程中压力与惯性力之间的比值关系。当流体在流动过程中，重力起主导作用时，如液体在明渠内的流动，将流体的惯性力与重力相比，得,第一节 有因次量和无因次量,Fr称为付鲁德准数。它体现了运动流体的惯性力与重力之间的比值关系。再如，当研究液体薄膜或液体薄膜的破碎问题时，表面张力起主导作用。将液体的惯性力与表面张力相比，得 We称为伟伯准数。它体

7、现了液体的惯性力与表面张力之间的比值关系。又如，可压缩流体在运动过程中，弹性力起主导作用，可将惯性力与弹性力相比，(弹性力)得,第一节 有因次量和无因次量,M称为马赫准数。它体现了可压缩流体在运动过程中惯性力与弹性力之间的比值关系。以后将证明，准数相等是两现象相似的必要条件。由准数所组成的方程式称为准数方程。如 Eu=f(Re，Fr)上式体现了运动流体的欧拉准数(Eu)依变于雷诺准数(Re)和付鲁德准数(Fr)的函数关系，它是一个准数方程。,第一节 有因次量和无因次量,再如对流传热过程中，奴谢尔特准数(Nu)依变于雷诺数(Re)、普朗特准数(Pr)和格拉晓夫准数(Gr)的函数关系式 Nu=f(

8、Re，Pr，Gr)它也是一个准数方程。准数方程比一般的有因次方程更能体现同类现象变化的一般规律。在科学实验中，把得到的某些有因次量之间的依变关系转换为准数方程，可以把由个别现象得来的规律共性化，一般化，有利于把研究结果推广到相似的同类现象中去。,4.1 量纲分析 4.1.1 量纲和谐原理 1.量纲分析的基本概念（1）量纲 流体力学中涉及到许多物理量都由两个因素构成：一是自身的物理属性，二是量度单位。我们把物理量的属性称为量纲或因次，通常用x表示物理量x的量纲。（2）基本量纲和导出量纲,基本量纲是指具有独立性的，不能由其它基本量纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体，基本量纲共有三个：长度量纲L、

9、时间量纲T和质量量纲M。导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。除长度、时间、质量和温度，其它物理量的量纲均为导出量纲。任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三个基本量纲的指数乘积来表示，即,（3）无量纲量 各量纲的指数为零，即=0时，物理量，则称x为无量纲量。阐述无量纲量的特点 2.量纲和谐原理 量纲和谐原理：凡正确反映客观规律的物理方程，其各项的量纲都必须是一致的。4.1.2 量纲分析法 在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种：一种为瑞利法；一种为定理。,1.瑞利法 若某一物理过程与n个物理量有关，即 由于所有物理量的量纲均可表示为基本量纲的指数乘积形式，因此上式中任一物理量x

10、i可以表示为其它物理量的指数乘积形式，即 式中k为常数，a1、a2为待定指数。上式的量纲式为,根据量纲和谐原理，确定待定指数a1、a2，即可求得该物理过程的方程式。2.定理 定理的基本内容：若某一物理过程包含有n个物理量，存在函数关系 其中有m个基本量（量纲独立，不能相互导出的物理量），则该物理过程可由（nm）个无量纲项所表达的关系式来描述。即,式中 为（nm）个无量纲数，因为这些无量纲数是用来表示的，所以称此定理为定理。定理的应用步骤（1）确定物理过程的有关物理量（2）从n个物理量中选取m个基本量。对于不可压缩流体运动，一般取m=3。设x1、x2、x3为所选的基本量，由量纲公式，可得,满足x

11、1、x2、x3量纲独立的条件是量纲式中的指数行列式不等于零。（3）基本量依次与其余物理量组成（nm）个无量纲项,（4）根据量纲和谐原理，确定各项基本量的指数ai、bi、ci，求出1、2、n3。（5）整理方程式。,例4-1 不可压缩粘性流体在水平圆管内流动，试用定理导出其压强损失p的表达式。（1）确定有关物理量。根据实验可知，压强损失p与管径d，管长l，管壁粗糙度，断面平均流速v，流体的动力粘度和管内流体密度有关，即（2）选取基本量。在有关物理量中选取d、v、为基本量，它们的指数行列式不等于零，符合基本量条件。（3）组成项，应有nm=73=4个项。即,（4）确定各项基本量的指数，求1、2、3、4

12、。（5）整理方程式。实验证明，沿程水头损失hf与管长l成正比，与管径d成反比，故,令，则 上式即为有压管流压强损失的计算公式，又称达西公式。,4.2 相似理论,4.2.1 流动相似 为了保证模型流动（用下标m表示）与原型流动（用下标p表示）具有相同的流动规律，并能通过模型实验结果预测原型流动情况，模型与原型必须满足流动相似，即两个流动在对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系，具体地说，流动相似就是要求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相似。,一、几何相似几何相似：指模型和原型流动流场的几何形状相似，即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。,式中kl称为长度比尺，则面积比尺体积

13、比尺,二、运动相似 运动相似：指模型和原型流动的速度场相似，即两个流动在对应时刻对应点上的速度方向相同，大小成同一比例。式中ku称为速度比尺。,由于各对应点速度成同一比例，相应断面的平均速度必然有同样的比尺 式中 称为时间比尺。同理，其它运动学物理量的比尺,的单位是m2/s,Q的单位是m3/s,a的单位是m/s2,v的单位是m/s,三、动力相似 动力相似：指模型和原型流动对应点处质点所受同名力的方向相同，大小成同一比例。,所谓同名力，指具有相同物理性质的力，如粘滞力T、压力P、重力G等。设作用在模型与原型流动对应流体质点上的外力分别为Tm、Pm、Gm和Tp、Pp、Gp，则 式中F为合外力，kF

14、称为力的比尺。将FmaVa代入上式，得,因 所以（51）同样，可写出其它力学量的比尺，如,模型和原型流动只要满足上述的几何相似、运动相似和动力相似条件，则两流动相似。而动力相似又可以用相似准则（相似准数）的形式来表示，换句话说，两流动在几何相似、运动相似的条件下，满足各相似准则，则模型和原型流动相似。,4.2.2 相似准则 根据几何相似、运动相似和动力相似的定义，得到长度比尺、速度比尺、力的比尺等，由力学基本定律，这些比尺之间具有一定的约束关系，这些约束关系称为相似准则。一、雷诺相似准则 当流动受粘滞力T作用时，由动力相似条件有,粘滞力 代入上式整理，约简后得 式中 为无量纲数，即前已介绍过的

15、雷诺数Re。上式用雷诺数表示为 上式称为雷诺相似准则，该式表明两流动的粘滞力相似时，模型与原型流动的雷诺数相等。因惯性力IF，故雷诺数反映了流动中惯性力和粘滞力之比。,二、弗劳德相似准则 当流动受重力G作用时，由动力相似条件有 重力 代入上式整理，约简后得 令 为无量纲数，称为弗劳德数。,上式可用弗劳德数表示为 上式称为弗劳德相似准则，该式表明两流动重力相似时，模型与原型流动的弗劳德数相等。弗劳德数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和重力之比。三、欧拉相似准则 当流动受压力P作用时，由动力相似条件 压力,代入上式整理，约简后得 令 为无量纲数，称为欧拉数。在有压流动中，起作用的是压差p，故 前

16、式可用欧拉数表示为,上式称为欧拉相似准则，该式表明两流动压力相似时，模型与原型流动的欧拉数相等。欧拉数的物理意义在于它反映了流动中所受压力和惯性力之比。四、韦伯相似准则 当流动受表面张力S作用时，由动力相似条件 表面张力 代入上式整理，约简后得,令 为无量纲数，称为韦伯数。上式可用韦伯数表示为 上式称为韦伯相似准则，该式表明两流动表面张力相似时，模型与原型流动的韦伯数相等。韦伯数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和表面张力之比。,五、柯西相似准则与马赫相似准则 当流动受弹性力E作用时，由动力相似 弹性力 代入上式整理，约简后得 式中：K称为流体的体积弹性模量。,令 为无量纲数，称为柯西数。上式

17、可用柯西数表示为 上式称为柯西相似准则，该式表明两流动弹性力相似时，模型与原型流动的柯西数相等。柯西数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和弹性力之比。对于液体，柯西相似准则只应用在压缩性显著起作用的流动中，例如水击现象。,气体体积弹性模量 令 为无量纲数，称为马赫数。上式可用马赫数表示为 上式称为马赫相似准则。当可压缩气流流速接近或超过声速时，实现流动相似要求相应的马赫数相等。,4.2.3 模型实验 模型实验是根据相似原理，制成与原型几何相似的模型进行实验研究，并以实验结果预测原型将要发生的流动现象。1.模型律的选择 要使模型和原型流动完全相似，要求各相似准则同时满足。但要同时满足各相似准则很

18、困难，甚至是不可能的。比如，要同时满足雷诺相似准则和弗劳德相似准则，要求,（1）若模型与原型采用同种流体，温度也相同。则，代入上式得 模型和原型的尺寸一样，实验失去了意义。（2）若模型和原型采用不同流体，长度比尺 则 若原型是水，模型就需选用运动粘度是水的1/31.62的流体作为实验流体，这样的流体是很难找到的。,模型律的选择：选择一个合适的相似准则来进行模型设计，模型律选择的原则就是保证对流动起主要作用的力相似，而忽略次要力的相似。例如：堰顶溢流、闸孔出流、明渠流动、自然界中的江、河、溪流等，重力起主要作用，应按弗劳德数相似准则设计模型；有压管流、潜体绕流以及流体机械、液压技术中的流动，粘滞

19、力起主要作用，应按雷诺数相似准则设计模型；对于可压缩流动，应按马赫相似准则设计模型。,2.模型设计 进行模型设计，通常是先根据原型要求的实验范围、现有实验场地的大小、模型制作和量测条件，定出长度比尺kl。再根据对流动受力情况的分析，满足对流动起主要作用的力相似，选择模型律，并按所选择的相似准则，确定流速比尺及模型的流量。,例4-2 已知直径为15cm的输油管，流量0.18m3/s，油的运动粘度p=0.13cm2/s。现用水作模型实验，水的运动粘度m=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时，要达到两流动相似，求水的流量Qm。若测得5m长输水管两端的压强水头差，试求100m长的输油管两端的

20、压强差？解：（1）因圆管中流动主要受粘滞力作用，所以应满足雷诺相似准则 因，上式可简化为,流量比尺，所以模型中水的流量为（2）流动的压降满足欧拉准则 因，则5m长输油管两端的压强差为（油柱）100m长的输油管两端的压强差（油柱）,第四章 相似原理和量纲分析,4.1 量纲分析的基本概念,1 量纲 是物理量的单位种类，又称因次，如长度、宽度、高度、深度、厚度等都可以用米、英寸、公尺等不同单位来度量，但它们属于同一单位，即属于同一单位量纲（长度量纲），用L表示。2 基本量纲 导出量纲 基本量纲是具有独立性的量纲，在流体力学领域中有三个基本量纲：长度量纲L 时间量纲T 质量量纲M 导出量纲由基本量纲组

21、合表示，如 加速度的量纲 a=LT-2 力的量纲 F=ma=MLT-2 任何物理量B的量纲可写成B=MLT,用 表示物理量的量纲，用（）表示物理量的单位,3 基本量 导出量 一个物理问题中诸多的物理量分成基本物理量（基本量）和其他物理量（导出量），后者可由前者通过某种关系到除，前者互为独立的物理量。基本量个数取基本量纲个数，所取定的基本量必须包括三个基本量纲在内，这就是选取基本量的原则。如、v、l可以构成一组基本量，包含了L、M、T这三个基本量纲，而a、v、l就不能构成基本量，因为不包含基本量纲M,4 无量纲量 指该物理量的量纲为1，用L0M0T0表示，实际是一个数，但与单纯的数不一样，它是几

22、个物理量组合而成的综合物理量，如后面讲的相似准数,4.2 相似性原理,1.力学相似,（1）几何相似,kl长度比尺,几何相似只有一个长度比尺，几何相似是力学相似的前提,（2）运动相似,kv速度比尺,时间比尺,加速度比尺,（3）动力相似,kF力的比尺,运动相似只有一个速度比尺，运动相似是实验的目的,常选惯性力为特征力，将其它作用力与惯性力相比，组成一些准则，由这些准则得到的准则数（准数）在相似流动中应该是相等的,（1）雷诺准则粘性力是主要的力,改成,4.3 相似准则数,无量纲数,雷诺数粘性力的相似准数,（2）佛劳德准则重力是主要的力,改成,无量纲数,佛劳德数重力的相似准数,（3）欧拉准则压力是主要

23、的力,改成,无量纲数,欧拉数压力的相似准数,（4）柯西准则弹性力是主要的力,改成,E弹性模量,无量纲数,柯西数弹性力的相似准数,气体：,将,无量纲数,马赫数弹性力的相似准数,（*）,代入（*）式，得,（5）其它准数,韦伯数表面张力的相似准数,斯特洛哈尔数脉动角频率的相似准数,阿基米德准数温差、浓差射流的轴线弯曲的相似准数,很难实现同时满足两个以上准数相等,例：若同时满足Re数相等和Fr数相等,（1）同种介质（p=m）,Re：,Fr（gp=gm）：,失去模型实验的价值,4.5 近似模型实验,（2）不同介质（pm）,Re：,Fr：,p水m很困难如果p空气（15.710-6m2/s）m水（1.007

24、10-6m2/s）,取,结论：根据影响流动的主要作用力，正确选择相似准则，是模型实验的关键,自模区阻力平方区（与Re无关）,4.例1：某车间长30m，宽15m，高10m，用直径为0.6m的风口送风，要求风口风速8m/s，如取l=5，确定模型尺寸及模型的出口风速,解：kl=5，则模型长为30/5=6m，宽为15/5=3m，高为10/5=2m，风口直径为0.6/5=0.12m原型是空气p=15.710-6m2/s,属阻力平方区（自模区）,因此采用粗糙度较大的管子，提前进入自模区（Re=50000）,此时,例2：弦长为3m的机翼以300km/h的速度在温度为20、压强为1at的静止空气中飞行，用l=

25、20的模型在风洞中作试验：（1）如果风洞中空气的温度和压强不变，风洞中空气速度应为多少？,解：风洞实验中粘性力是主要的雷诺准则,相同,难以实现，要改变实验条件,（2）改用水,（3）改变压强（30at），温度不变,等温过程p，且相同,例3：溢水堰模型，l=20，测得模型流量为300L/s，水的推力为300N，求实际流量和推力,解：溢水堰受到的主要作用力是重力，用佛劳德准则,佛劳德准则：,温度不变的水：,由佛劳德准则,5.按雷诺准则和佛劳德准则导出的物理量比尺表,4.1 量 纲 分 析,1.量纲,量纲的和谐性,基本量纲相互独立的,不可压缩流体的基本量纲M、L、T,物理量A的量纲,如,几何学量,运动

26、学量,动力学量,2.无量纲的物理量,如,无量纲物理量的意义：（1）客观性；（2）不受运动规模的影响；（3）清楚反映问题实质（如一个系列一条曲线）；（4）可进行超越函数的运算,3.量纲分析法,（1）定理（布金汉法）,取m个基本量，组成(nm)个无量纲的项,例：求有压管流压强损失的表达式,解：步骤,a.找出物理过程中有关的物理量，组成未知的函数关系,b.选取基本量,常取：几何学量l（d），运动学量v，动力学量m=3,基本量独立条件：指数行列式不等于零,c.基本量依次与其余物理量组成项，共nm=73=4个,d.决定各项的基本量的指数,比较两边系数,M,L,T,得a1=2，b1=0，c1=1,同理,e.整理方程式,（2）瑞利法,有关物理量少于5个,3个基本量，只有一个项,小结：变量的选取对物理过程有一定程度的理解是非常重要的,